北师大版八年级下册第六章 平行四边形1 平行四边形的性质第2课时习题

1　平行四边形的性质

第2课时

(打“√”或“×”)

1.平行四边形对边相等. (√)

2.平行四边形对角线相互平分. (√)

3.平行四边形对角线互相垂直. (×)

4.平行四边形对角线把平行四边形分成四个面积相等的三角形. (√)

·知识点1　平行四边形对角线性质

1.(2021·福州永泰县期末)如图,在平行四边形ABCD中,下列结论中错误的是 (D)

A.∠1=∠2　　　　　　 B.∠BAD=∠BCD　　　　　　

C.AB=CD　　　　　　  D.AC=CD

2.(2021·泉州洛阳期末)如图,平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O.CE⊥AD于点E,AB=2,AC=4,BD=8,则CE=              (C)

A.  B.  C.  D.

3.如图,在▱ABCD中,对角线AC与BD交于点O,若AB=,AC=2,BD=4,则∠OAB+∠OBA的度数为　90°　. 

·知识点2　平行四边形性质综合运用

4.若平行四边形两个内角的度数比为1∶2,则其中较大内角的度数为 (C)

A.100° B.110° C.120° D.135°

5.(2021·龙岩永定期末)已知点A(2,0),B(-1,0),C(0,1),以点A,B,C三点为顶点画平行四边形,则第四个顶点不可能在              (C)

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

6.如图,在平行四边形ABCD中,连接BD,且BD=CD,过点A作AM⊥BD于点M,过点D作DN⊥AB于点N,且DN=3,在DB的延长线上取一点P,满足∠ABD=∠MAP+∠PAB,则AP的长是              (A)

A.3  B.3  C.6  D.12

7.(2021·福州马尾期末)如图所示,点O为▱ABCD内一点,连接BD,OA,OB,OC,OD,已知△BCO的面积为3,△ABO的面积为5,则阴影部分的面积是　5-3　. 

8.如图,O为平行四边形ABCD内任一点,分别记△ABO,△BCO,△CDO,△DAO的面积为S1,S2,S3,S4,试写出含S1,S2,S3,S4的一个等式　S1+S3=S2+S4　. 

1.如图,在平行四边形ABCD中,AB=4,AD=6,∠D=120°,延长CB至点M,使得BM=BC,连接AM,则AM的长为              (B)

A.3.5  B.  C.  D.

2.(2021·三明尤溪县期末)如图,在▱ABCD中,AC,BD相交于点O,把△AOB沿OA翻折,得到△AOE,若∠AOB=45°,BD=6,则DE的长为              (C)

A.  B.2  C.3  D.3

3.如图,在▱ABCD中,点E在BC上,AE平分∠BAD,且AB=AE,连接DE并延长与AB的延长线交于点F,连接CF,若AB=2 cm,则△CEF面积是 　 cm2. 

4.(2021·南平建阳期末)如图,在▱ABCD中,AB=3,AD=4,∠ABC=60°,过BC的中点E作EF⊥AB,垂足为点F,与DC的延长线相交于点H,则△DEF的面积是　2　. 

5.(2021·龙岩新罗期末)如图,在▱ABCD中,点M为边AD的中点,过点C作AB的垂线交AB于点E,连接ME.

(1)若AM=2AE=4,∠BCE=30°,求▱ABCD的面积;

(2)若BC=2AB,求证:∠EMD=3∠MEA.

【解析】见全解全析

6.已知,在平行四边形ABCD中,DE⊥BC于E,点F是DE上一点,满足BA⊥BF,连接CF.

(1)如图1,连接AF,若BF=2,DC=4,∠DAF=30°,求AD;

(2)如图2,延长CF,交AD于点G,若BA=BF,求证:AG=2EF.

【解析】见全解全析

过平行四边形中心的直线与平行四边形对边相交所形成的线段,被平行四边形中心平分.

如图所示

结论:OE=OF

第2课时

必备知识·基础练

【易错诊断】

1.√　2.√　3.×　4.√

【对点达标】

1.D　∵四边形ABCD是平行四边形,

∴AB∥DC,AD∥BC,AB=DC,AD=BC,∠BAD=∠BCD,

∴∠1=∠2.

2.C　∵AC=4,BD=8,AB=2,四边形ABCD是平行四边形,

∴CO=AC=2,DO=BD=4,CD=AB=2,

∵(2)2+22=16=42,

∴CD2+CO2=DO2,∴∠ACD=90°,

在Rt△ACD中,AD===2,

∴S△ACD=CD·AC=AD·CE,

∴2×4=2CE,

∴CE=.

3.【解析】∵四边形ABCD是平行四边形,AC=2,BD=4,

∴OA=AC=1,OB=BD=2,

∵AB=,∴AB2=OA2+OB2,

∴△AOB是直角三角形,

∴∠AOB=90°,

∴∠OAB+∠OBA=90°.

答案:90°

4.C　∵平行四边形两个内角的度数比为1∶2,

∴设较大内角为2x,较小内角为x,

∴2x+x=180°,

∴x=60°,

∴2x=120°.

5.C　如图所示:第四个顶点不可能在第三象限.

6.A　∵四边形ABCD是平行四边形,

∴AB=CD,

又∵BD=CD,

∴AB=BD,

∵AM⊥BD,DN⊥BC,

∵S△ABD=AB·DN=BD·AM,

∴AM=DN=3,

∵∠ABD=∠P+∠PAB,∠ABD=∠MAP+∠PAB,

∴∠P=∠MAP,

∴MP=AM=3,

∵∠AMP=90°,

∴AP==3.

7.【解析】∵▱ABCD的面积=2(S△AOB+S△COD)=2S△BCD,

设△COD的面积为x,

则2(5+x)=2(S阴影△BOD+x+3),

∴阴影部分△BOD的面积=5+x-x-3=5-3.

答案:5-3

8.【解析】过O点作EF⊥CD,垂足为F,交AB于E点,

∵ABCD是平行四边形,∴AB=CD,AB∥CD.

∵EF⊥CD,∴EF⊥AB,即EF是平行四边形CD边上的高.

∵S1=AB·OE,S3=CD·OF,

∴S1+S3=CD(OE+OF)=CD·EF=S▱ABCD.

同理:S2+S4=S▱ABCD.

∴S1+S3=S2+S4.

答案:S1+S3=S2+S4

关键能力·综合练

1.B　作AN⊥BM于N,如图所示:

则∠ANB=∠ANM=90°,

∵四边形ABCD是平行四边形,

∴BC=AD=6,∠ABC=∠D=120°,

∴∠ABN=180°-∠ABC=60°,

∴∠BAN=30°,

∴BN=AB=2,∴AN==2,

∵BM=BC=3,

∴MN=BM-BN=1,

∴AM===.

2.C　∵△AOB沿OA翻折,得到△AOE,且∠AOB=45°,

∴OB=OE,∠AOE=∠AOB=45°,

∴∠BOE=∠AOB+∠AOE=90°,

∴∠EOD=90°,

∵四边形ABCD是平行四边形.BD=6,

∴OB=OD=BD=3,

∴OE=OD=3,

∴△EOD是等腰直角三角形,

∴DE==3.

3.【解析】∵四边形ABCD是平行四边形,

∴AD∥BC,AD=BC,

∴∠EAD=∠AEB,

又∵AE平分∠BAD,

∴∠BAE=∠DAE,

∴∠BAE=∠BEA,

∴AB=BE,

∵AB=AE,

∴AB=BE=AE,

∴△ABE是等边三角形,

∵AB=2 cm,

∴△ABE的面积=×2×= cm2,

连接AC,∵△FCD与△ABC等底(AB=CD)等高(AB与CD间的距离相等),

∴S△FCD=S△ABC,

又∵△AEC与△DEC同底等高,

∴S△AEC=S△DEC,

∴S△CEF=S△ABE= cm2.

答案:

4.【解析】∵四边形ABCD是平行四边形,

∴AD=BC=4,AB∥CD,AB=CD=3,

∵E为BC中点,

∴BE=CE=2,

∵∠B=60°,EF⊥AB,

∴∠FEB=90°-∠B=30°,

∴BF=BE=1,

由勾股定理得:EF==,

∵AB∥CD,EF⊥AB

∴∠B=∠HCE,EF⊥CD,即EH⊥DH,

在△BFE和△CHE中,

∴△BFE≌△CHE(ASA),

∴EF=EH=,BF=CH=1,

即HD=1+3=4,

∴S△DEF=EF·DH=××4=2.

答案:2

5.【解析】(1)∵M为AD的中点,AM=2AE=4,

∴AD=2AM=8.AE=AM=2,在▱ABCD中,BC=AD=8,

又∵CE⊥AB,∴∠BEC=90°,

∵∠BCE=30°,∴BE=BC=4,

∴AB=AE+BE=6,CE==4,

∴▱ABCD的面积为:AB·CE=6×4=24;

(2)

如图,延长EM,CD交于点N,连接CM.

∵在▱ABCD中,AB∥CD,∴∠AEM=∠N,点M为边AD的中点,∴AM=DM

在△AEM和△DNM中,

∴△AEM≌△DNM(AAS),

∴EM=MN,

又∵AB∥CD,CE⊥AB,

∴CE⊥CD,

∴CM是Rt△ECN斜边的中线,

∴MN=MC.∴∠N=∠MCN,

∴∠EMC=2∠N=2∠AEM.

∵在平行四边形ABCD中,BC=AD=2DM,BC=2AB=2CD,

∴DC=MD,

∴∠DMC=∠MCD=∠N=∠AEM,

∴∠EMD=∠EMC+∠CMD=2∠AEM+∠AEM,

即∠EMD=3∠AEM.

6.【解析】(1)∵四边形ABCD是平行四边形,

∴AB=CD=4,

∵BA⊥BF,

∴∠ABF=90°,

在Rt△ABF中,∠ABF=90°,BF=2,

∴AF===10,

∵AD∥BC,DE⊥BC,

∴DE⊥AD,

∴∠ADF=90°,

∵∠DAF=30°,∴DF=AF=5,

∴AD==5;

(2)∵在平行四边形ABCD中,AB=CD,AD∥BC,∠A=∠BCD,

又∵BA=BF,

∴BF=CD,∠A+∠ABC=180°,

∵BA⊥BF,

∴∠ABF=90°,

∴∠A+∠EBF=90°,

∵DE⊥BC,

∴∠BEF=∠DEC=90°,

∴∠EOC+∠BCD=90°,∴∠EBF=∠EDC,

∴△BEF≌△DEC(AAS),

∴EF=CE,BE=DE,

∴∠EFC=∠ECF=45°,

∵∠DFG=∠CFE=45°,

∴△DFG是等腰直角三角形,

∴DG=DF,

设DG=DF=x,EF=CE=y,

∴BE=DE=x+y,

∴AD=BC=x+y+y=x+2y,

∴AG=AD-DG=x+2y-x=2y.

∴AG=2EF.