初中数学北师大版八年级下册3 三角形的中位线同步测试题

3　三角形的中位线

必备知识·基础练

(打“√”或“×”)

1．一个三角形必有三条中位线．(　√　)

2．三角形的三条中线与三条中位线能重合．(　×　)

3．三角形一条中线分成的两个三角形的面积相等．(　√　)

4．三角形的一条中位线分成的两部分面积相等．(　×　)

知识点1　三角形中位线定理

1．如图，在△ABC中，点D，E，F分别是边AB，AC，BC的中点，已知∠ADE＝65°，则∠EFC的度数为(B)

A．60°     B．65°     C．70°     D．75°

【解析】∵点D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，

∴DE∥BC，EF∥AB，

∴∠ADE＝∠B，∠B＝∠EFC，

∴∠ADE＝∠EFC＝65°.

2．(2021·衢州中考)如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝5，BC＝6，点D，E，F分别是边AB，BC，CA的中点，连接DE，EF，则四边形ADEF的周长为(B)

A．6    B．9    C．12    D．15

【解析】∵点D，E，F分别是边AB，BC，CA的中点，

∴DE＝AC＝2.5，AF＝AC＝2.5，

EF＝AB＝2，AD＝AB＝2，

∴四边形ADEF的周长为AD＋DE＋EF＋AF＝9.

3．如图，点G为△ABC的重心，连接CG，AG并延长分别交AB，BC于点E，F，连接EF，若AB＝4.4，AC＝3.4，BC＝3.6，则EF的长度为(A)

A．1.7　　     B．1.8    C．2.2　    D．2.4

【解析】∵点G为△ABC的重心，∴AE＝BE，BF＝CF，∴EF＝AC＝1.7.

4．如图，在四边形ABCD中，点E，F分别是边AB，AD的中点，若EF＝6，BC＝13，CD＝5，则S△DBC＝(B)

A．60　     B．30　    C．48    D．65

【解析】连接BD，

∵点E，F分别是边AB，AD的中点，

∴BD＝2EF＝12，

∵CD2＋BD2＝25＋144＝169，BC2＝169，

∴CD2＋BD2＝BC2，

∴∠BDC＝90°，

∴S△DBC＝BD·CD＝×12×5＝30.

5．(2021·长沙质检)如图，要测量池塘两岸相对的A，B两点间的距离，可以在池塘外选一点C，连接AC，BC，分别取AC，BC的中点D，E，测得DE＝50 m，则AB的长是__100__m.

【解析】∵点D，E分别是AC，BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴AB＝2DE＝2×50＝100 m．

6．如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，连接AC，点E，F，M分别是边AD，DC，AC的中点，连接EF，BM.求证：EF＝BM.

【证明】∵点E，F分别是边AD，DC的中点，

∴EF是△ADC的中位线，∴EF＝AC，

∵AB⊥BC，点M是边AC的中点，

∴BM＝AC，∴EF＝BM.

知识点2　三角形中位线定理的应用

7．如图，四边形ABCD的两条对角线长都为13，点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，则四边形EFGH的周长是(B)

A．13    B．26    C．36    D．39

【解析】连接AC，BD，

∵四边形ABCD的两条对角线长都为13，

∴AC＝BD＝13，

∵点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，

∴EH＝GF＝BD＝6.5，EF＝GH＝AC＝6.5，

∴四边形EFGH的周长是：EH＋EF＋FG＋GH＝26.

8．(2021·沈阳质检)如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是边AB，CD，AC，BD的中点，若AD＝BC＝2 ，则四边形EGFH的周长是__4__．

【解析】∵点E，G分别是边AB，AC的中点，

∴EG＝BC＝×2＝，

同理HF＝BC＝，

EH＝GF＝AD＝×2＝.

∴四边形EGFH的周长是：4×＝4.

9．如图，已知在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是边AB，CD，AC，BD的中点，并且点E，F，G，H不在同一条直线上．求证：EF和GH互相平分．

【证明】如图，连接EH，HF，FG，EG，

∵点E，F，G，H分别为边AB，CD，AC，BD的中点，

∴GEBC，HFBC，

∴GE綊HF，

∴四边形EHFG为平行四边形，

∴EF和GH互相平分．

关键能力·综合练

10．如图，点M，N分别是△ABC的边AB，AC的中点，若∠A＝65°，∠ANM＝45°，则∠B＝(D)

A．20°     B．45°     C．65°     D．70°

【解析】∵点M，N分别是△ABC的边AB，AC的中点，∴MN∥BC，∴∠C＝∠ANM＝45°，

∴∠B＝180°－∠A－∠C＝180°－65°－45°＝70°.

11．(2021·成都期末)如图，点D是△ABC内一点，BD⊥CD，点E，F，G，H分别是边AB，BD，CD，AC的中点．若AD＝10，BD＝8，CD＝6，则四边形EFGH的周长是(B)

A．24    B．20　     C．12    D．10

【解析】∵BD⊥CD，BD＝8，CD＝6，

∴BC＝＝＝10，

∵点E，F，G，H分别是边AB，BD，CD，AC的中点，

∴EH＝FG＝BC，EF＝GH＝AD，

∴四边形EFGH的周长为EH＋GH＋FG＋EF＝AD＋BC，

又∵AD＝10，

∴四边形EFGH的周长为10＋10＝20.

12．如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CM是斜边AB上的中线，点E，F分别为边MB，BC的中点，若EF＝1，则AB＝__4__．

【解析】∵点E，F分别为边MB，BC的中点，∴EF是△BCM的中位线，

∴CM＝2EF＝2，

∵∠ACB＝90°，CM是斜边AB上的中线，

∴AB＝2CM＝4.

13．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E，F分别是边AC，BD的中点，已知AB＝12，CD＝6，则EF＝__3__.

【解析】连接CF并延长交AB于点G，

∵AB∥CD，∴∠FDC＝∠FBG，

∵点F是边BD的中点，

∴FD＝FB，

在△FDC和△FBG中，

，

∴△FDC≌△FBG(ASA)

∴BG＝DC＝6，CF＝FG，

∴AG＝AB－BG＝12－6＝6，

∵CE＝EA，CF＝FG，

∴EF＝AG＝3.

14．(2021·南京中考)如图，在平面直角坐标系中，△AOB的边AO，AB的中点C，D的横坐标分别是1，4，则点B的横坐标是__6__．

【解析】∵边AO，AB的中点为点C，D，

∴CD是△OAB的中位线，CD∥OB，

∵点C，D的横坐标分别是1，4，

∴CD＝3，

∴OB＝2CD＝6，

∴点B的横坐标为6.

15．如图，在平行四边形ABCD中，点M为边AD上一点，AM＝2MD，点E，点F分别是边BM，CM的中点，若EF＝6，则AM的长为__8__．

【解析】∵点E，点F分别是边BM，CM的中点，

∴EF是△BCM的中位线，

∵EF＝6，∴BC＝2EF＝12，

∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC＝12，

∵AM＝2MD，∴AM＝8.

16．如图，CD是△ABC的中线，点E，F分别是边AC，DC的中点，EF＝1，则BD＝__2__．

【解析】∵点E，F分别是边AC，DC的中点，∴AD＝2EF＝2.∵CD是△ABC的中线，∴BD＝AD＝2.

17．(2021·镇江期中)如图，点O是△ABC内一点，连接OB，OC，线段AB，OB，OC，AC的中点分别为D，E，F，G.

(1)判断四边形DEFG的形状，并说明理由；

(2)若点M为边EF的中点，OM＝2，∠OBC和∠OCB互余，求线段BC的长．

【解析】(1)四边形DEFG是平行四边形，

理由如下：∵点E，F分别为线段OB，OC的中点，

∴EF＝BC，EF∥BC，

同理DG＝BC，DG∥BC，

∴EF＝DG，EF∥DG，

∴四边形DEFG是平行四边形；

(2)∵∠OBC和∠OCB互余，

∴∠BOC＝90°，

∵点M为边EF的中点，OM＝2，

∴EF＝2OM＝4，∴BC＝2EF＝8.

18．(素养提升题)如图，在等边△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，延长BC至点F，使CF＝BC，连接CD和EF.

(1)求证：CD＝EF；

(2)猜想：△ABC的面积与四边形BDEF的面积的关系，并说明理由．

【解析】(1)∵D，E分别为AB，AC的中点，

∴DE为△ABC的中位线，

∴DE∥BC，DE＝BC，

∵CF＝BC，∴DE＝FC，∵DE∥FC，∴四边形DCFE是平行四边形，∴CD＝EF.

(2)猜想：△ABC的面积＝四边形BDEF的面积，理由如下：

∵DE为△ABC的中位线，∴DE∥BC，DE＝BC，

∴△ADE的面积＝△DEC的面积，

∵四边形DCFE是平行四边形，

∴△DEC的面积＝△ECF的面积，

∴△ADE的面积＝△ECF的面积，

∴△ABC的面积＝四边形BDEF的面积．

易错点　忽略中位线定理导致失误

【案例】如图，在△ABC纸片中，AB＝BC＞AC，点D是AB边的中点，点E在边AC上，将纸片沿DE折叠，使点A落在BC边上的点F处．则下列结论成立的个数有(B)

①△BDF是等腰直角三角形；②∠DFE＝∠CFE；③DE是△ABC的中位线；

④BF＋CE＝DF＋DE.

A．1个    B．2个    C．3个    D．4个

【解析】①根据折叠知AD＝DF，所以BD＝DF，即△BDF一定是等腰三角形．因为∠B不一定等于45°，所以①错误；

②连接AF，交DE于点G，根据折叠知DE垂直平分AF，又点D是AB边的中点，在△ABF中，根据三角形的中位线定理，得DG∥BF.进一步得点E是边AC的中点．由折叠知AE＝EF，则EF＝EC，得∠C＝∠CFE.又∠DFE＝∠A＝∠C，所以∠DFE＝∠CFE，所以②正确；

③在②中已证明正确；

④根据折叠以及中位线定理得右边＝AB，要和左边相等，则需CE＝CF，则

△CEF应是等边三角形，显然不一定，所以④错误．