2022-2023学年北师大版数学八年级下册期末测试卷(含答案)

第二学期期末学情评估

一、选择题(每题3分，共30分)

1．下列图形中，既是中心对称，又是轴对称的是(　　)

2．下列由左到右的变形，属于因式分解的是(　　)

A．8a2b＝2a·4ab 

B．4my－2y＝2y(2m－1)

C．(m＋2n)(m－2n)＝m2－4n2 

D．a2－b2＋1＝(a＋b)(a－b)＋1

3．已知x＞y，则下列不等式不一定成立的是(　　)

A．x－2＞y－2   B．2x＞2y

C．xz2＞yz2   D．－2x＜－2y

4．若分式的值为0，则x的值为(　　)

A．3   B．－3   C．3或－3   D．0

5．已知▱ABCD的周长为10 cm，AB＝3 cm，则BC的长度是(　　)

A．2 cm   B．3 cm   C．4 cm   D．7 cm

6．四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，下列选项中，能判定四边形ABCD是平行四边形的是(　　)

A．AD＝AB，BC＝CD   B．AD∥BC，AB＝CD

C．AD＝BC，AD∥BC   D．AO＝BO，CO＝DO

7．如图，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转35°得到△A′B′C，A′B′交AC于点D.若∠A′DC＝90°，则∠A＝(　　)

A．45°   B．50°   C．55°   D．60°

8．如图，函数y1＝－2x与y2＝ax＋3的图象相交于点A(m，2)，则关于x的不等式－2x＞ax＋3的解集是(　　)

A．x＞－4   B．x＜2   C．x＞－1   D．x＜－1

(第8题)　　　　 (第10题)

9．若关于x的分式方程＝3的解是正数，则m的取值范围是(　　)

A．m＞－3   B．m≠1

C．m＞－3且m≠－2   D．m＞－3且m≠1

10．如图，在▱ABCD中，分别以AB，AD为边向外作等边△ABE，△ADF，延长CB交AE于点G，点G在点A，E之间，连接CE，CF，EF，则以下四个结论一定正确的是(　　)

①△CDF≌△EBC;  ②∠CDF＝∠EAF；

③△ECF是等边三角形；  ④CG⊥AE.

A．只有①②   B．只有①②③ 

C．只有③④   D．①②③④

二、填空题(每题3分，共15分)

11．多项式x2－y2因式分解的结果是______________________．

12．用反证法证明“若|a|＜2，则a2＜4”是真命题，第一步应先假设____________．

13．如果一个正多边形的每一个内角都等于135°，那么这个正多边形的边数是________．

14．如图，在△ABC中，边AC，BC的垂直平分线分别交边AB于点M，N，垂足为点D，E.若∠BCA＝130°，则∠MCN＝______.

(第14题)　　　　 (第15题)

15．如图，在▱ABCD中，点O是对角线AC的中点，点E在边AB上，连接DE，取DE的中点F，连接EO并延长交CD于点G.若BE＝3CG，OF＝2，则线段AE的长是________．

三、解答题(一)(每题8分，共24分)

16．先化简：÷＋，再从不等式组的整数解中选择一个你喜欢的数代入求值．

17．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在直角坐标系中，△ABC的顶点均在格点上，点C(4，－1)．

(1)把△ABC向上平移5个单位长度后得到对应的△A1B1C1，画出△A1B1C1，并写出C1的坐标；

(2)以原点O为对称中心，再画出△ABC关于原点O对称的△A2B2C2，并写出点C2的坐标；

(3)请直接写出▱ABCD的第四个顶点D的坐标．

18．(1)若|a＋b－6|＋(ab－4)2＝0，求－a3b－2a2b2－ab3的值．

(2)已知a，b，c分别是△ABC的三边长，且满足a2＋b2＋2c2－2ac－2bc＝0，试确定△ABC的形状．

四、解答题(二)(每题9分，共27分)

19．如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高．

(1)求证：AD垂直平分EF；

(2)若AB＝6，AC＝4，S△ABC＝15，求DE的长．

20．探索发现：＝1－；＝－；＝－；…

根据你发现的规律，回答下列问题：

(1)＝____________，＝____________；

(2)利用你发现的规律计算：

＋＋＋…＋；

 (3)灵活利用规律解方程：＋＋…＋＝.

21．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD 相交于点O，且AC＝BD，E，F分别是AB，CD的中点，EF分别交BD，AC于点G，H，取BC边的中点M，连接EM，FM.求证：

(1)△MEF是等腰三角形；

(2)OG＝OH.

 五、解答题(三)(每题12分，共24分)

22．某商场计划购进甲、乙两种商品，已知每件甲种商品的进价与每件乙种商品的进价之和为20元，用50元购进甲种商品的件数与用150元购进乙种商品的件数相同．

(1)求甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元．

(2)商场计划购进甲、乙两种商品共80件，且此次进货的总资金不超过1 000元，已知甲种商品的售价为12元，乙种商品的售价为25元，试问该商场应如何进货可使这两种商品全部售完后所获利润最大？最大利润是多少？

23．如图，在平面直角坐标系中，AB∥OC，A(0，12)，B(a，c)，C(b，0)，且a，b满足|a－21|＋(b－16)2＝0，一动点P从点A出发，在线段AB上以每秒2个单位长度的速度向点B运动；动点Q从点O出发，在线段OC上以每秒1个单位长度的速度向点C运动，点P，Q分别从点A，O同时出发，当点P运动到点B时停止运动，点Q也随之停止运动．设运动时间为t秒．

(1)求B，C两点的坐标；

(2)当t为何值时，四边形PQCB是平行四边形？请求出此时P，Q两点的坐标；

(3)当t为何值时，△PQC是以PQ为腰的等腰三角形？请求出此时P，Q两点的坐标．

答案

一、1.C　2.B　3.C　4.A　5.A　6.C　7.C　8.D　9.C

10．B　

二、11.　12.a2≥4　13.8　14.80°

15.　点拨：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，AO＝CO，∴∠ACD＝∠BAC.∵∠AOE＝∠COG，∴△AEO≌△CGO，∴AE＝CG，OE＝OG.∵AB＝CD，∴AB－AE＝CD－CG，即BE＝DG.∵点F是DE的中点，∴易得DG＝2OF＝4.∵BE＝3CG，∴AE＝CG＝BE＝DG＝.

三、16.解：原式＝－·＋＝－＋＝＝.

解不等式组

由①得x＜2，由②得x＞－3，

∴不等式组的解集是－3＜x＜2，

∴不等式组的整数解有－2，－1，0，1.

∵要使分式有意义，即x－1≠0且x≠0且x＋2≠0，

∴x≠1，0，－2，∴取x＝－1.

当x＝－1时，原式＝＝－1.

17．解：(1)如图，△A1B1C1即为所求，C1的坐标为(4，4)．

(2)如图，△A2B2C2即为所求，C2的坐标为(－4，1)．

(3)▱ABCD的第四个顶点D的坐标为(0，－1)．

18．解：(1)∵|a＋b－6|＋(ab－4)2＝0，

∴a＋b－6＝0，ab－4＝0，∴a＋b＝6，ab＝4.

∴－a3b－2a2b2－ab3＝－ab(a2＋2ab＋b2)

＝－ab(a＋b)2

＝－4×62

＝－144.

(2)∵a2＋b2＋2c2－2ac－2bc＝0，

∴a2－2ac＋c2＋b2－2bc＋c2＝0，

∴(a－c)2＋(b－c)2＝0，∴a－c＝0，b－c＝0，

∴a＝b＝c，∴△ABC为等边三角形．

四、19.(1)证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF.

在Rt△AED和Rt△AFD中，∵AD＝AD，DE＝DF，

∴Rt△AED≌Rt△AFD(HL)，∴AE＝AF，

∴AD垂直平分EF.

(2)解：∵DE＝DF，∴S△ABC＝S△ABD＋S△ACD＝AB·DE＋AC·DF＝DE·(AB＋AC)＝15.

∵AB＝6，AC＝4，∴×10×DE＝15，∴DE＝3.

20．解：(1)－；－

(2)原式＝1－＋－＋－＋…＋－

＝1－

＝.

(3)×(－＋－＋…＋－)＝，

×＝，

    －＝  ，

            ＝  ，

x＝50.经检验，x＝50为原方程的解．

21．证明：(1)∵M，F分别是BC，CD的中点，

∴MF∥BD，MF＝BD.同理ME∥AC，ME＝AC.

∵AC＝BD，∴ME＝MF，即△MEF是等腰三角形．

(2)∵ME＝MF，∴∠MEF＝∠MFE.

∵MF∥BD，∴∠MFE＝∠OGH.

同理∠MEF＝∠OHG，∴∠OGH＝∠OHG，∴OG＝OH.

五、22.解：(1)设甲种商品每件的进价是x元，则乙种商品每件的进价为(20－x)元．

根据题意，得＝，解得x＝5，

经检验，x＝5是原方程的解，且符合题意，

∴20－x＝20－5＝15.

答：甲种商品每件的进价是5元，乙种商品每件的进价为15元．

(2)设购进甲种商品m件，则购进乙种商品(80－m)件．

∵进货的总资金不超过1 000元，

∴5m＋15(80－m)≤1 000，解得m≥20.

设这两种商品全部售完后所获利润为w元．

易得w＝(12－5)m＋(25－15)(80－m)＝－3m＋800.

∵－3＜0，∴w随m的增大而减小，

∴当m＝20时，w取最大值，最大值为－3×20＋800＝740，此时80－m＝60.

答：该商场应购进甲种商品20件，乙种商品60件，可使这两种商品全部售完后所获利润最大，最大利润是740元．

23．解：(1)∵a，b满足|a－21|＋(b－16)2＝0，

∴易得a＝21，b＝16，∴C点的坐标为(16，0)．

∵AB∥OC，A(0，12)，∴B点的坐标为(21，12)．

(2)由题意得AP＝2t，OQ＝t，

∴易得PB＝21－2t，QC＝16－t.

∵AB∥OC，∴当PB＝QC时，四边形PQCB是平行四边形，

∴21－2t＝16－t，解得t＝5，

∴当t＝5时，四边形PQCB是平行四边形，

∴AP＝10，OQ＝5，即 P点的坐标为(10，12)，Q点的坐标为(5，0)．

(3)如图①，当PQ＝CQ时，过点Q作QN⊥AB于点N.

由题意得QN＝12，PN＝AP－AN＝AP－OQ＝2t－t＝t，CQ＝16－t，

∴在Rt△PQN中，QN2＋PN2＝PQ2，即122＋t2＝(16－t)2，解得t＝，

∴易得P，Q两点的坐标分别为P(7，12)，Q.

如图②，当PQ＝PC时，过点P作PM⊥x轴于点M，过点Q作QN⊥AB于点N.

由题意得QM＝t，CM＝16－2t，CM＝QM，

则16－2t＝t，∴t＝，∴2t＝，

∴易得P，Q两点的坐标分别为P，Q.

综上所述，当t＝或时，△PQC是以PQ为腰的等腰三角形，对应的P，Q两点的坐标分别为P(7，12)，Q或P，Q.