人教版高一数学暑假讲义1.3 集合的基本运算（讲义）（2份打包，原卷版+教师版）
展开1.3 集合的基本运算
思考：
我们知道，实数有加法运算，类比实数的加法运算，集合是否也可以“相加”呢？
考查下列各个集合，你能说出集合C与集合A、B之间的关系吗？
- 并集
在上述两个问题中,集合A，B与集合C之间都具有这样一种关系；集合C是由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的.
一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,称为集合A与B的并集，记作(读作“A并B”),即
.可用Venn图1表示.
图1
这样，在问题（1）（2）中，集合A与B的并集是C，即：
- 交集
考察下面的问题,集合A、B与集合C之间有什么关系?
(1)
(2)
我们看到,在上述问题中,集合C是由那些既属于集合A且又属于集合B的所有元素组成的.
一般地,由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合,称为A与B的交集,记作(读作"A交B”),即
，可用Venn图2表示
图2
这样，在上述问题（1）（2）中，
- 补集
在研究问题时,我们经常需要确定研究对象的范围.
例如,从小学到初中,数的研究范围逐步地由自然数到正分数,再到有理数,引进无理数后,数的研究范围扩充到实数. 在高中阶段,数的研究范围将进一步扩充.
在不同范围研究同一个问题,可能有不同的结果.
例如方程的解集,在有理数范围内只有一个解2,
即
在实数范国内有三个解
即
一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集,通常记作U.
对于一个集合A,由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集,简称为集合A的补集,
记作
可用Venn图3表示
图3
- 并集的运算
- 交集的运算
- 补集的运算
- 德摩根定律
例1．若集合，，则（ ）
A． B． C． D．
变式1-1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
变式1-2．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
变式1-3．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
变式1-4．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
例2．集合，集合，则（ ）
A． B．
C． D．
变式2-1．已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
变式2-2．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
例3．设集合，，则等于（ ）
A． B．
C． D．
变式3-1．设全集为R，集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
变式3-2．已知集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
变式3-3．设集合，， 则等于（ ）
A． B．
C． D．
例4．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
变式4-1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
变式4-2．设集合，，则元素的个数为（ ）
A．2 B．3 C．8 D．9
变式4-3．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
变式4-4．设集合，，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
例5．已知，，则（ ）
A． B．
C． D．
变式5-1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
变式5-2．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
变式5-3．若集合，则（ ）
A． B．
C． D．
变式5-4．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
例6．设集合，则（ ）
A． B． C． D．
变式6-1．已知全集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
变式6-2．设全集，，则（ ）
A． B． C． D．
变式6-3．设集合，或，则（ ）
A． B．
C．或 D．或
例7．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
变式7-1．设全集，集合，，则（ ）
A． B． C． D．
变式7-2．已知集合则（ ）
A． B． C． D．
变式7-3．已知集合或，，则（ ）
A． B． C． D．
变式7-4．已知集合，，，则（ ）
A． B．
C． D．
变式7-5．设，，．则集合（ ）
A． B．
C． D．
例8．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
变式8-1．已知集合，，则（ ）
A．或 B．
C． D．
变式8-2．已知全集，集合，，则等于（ ）
A． B．
C． D．
变式8-3．设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
变式8-4．设全集，或，，则（ ）
A． B． C． D．
变式8-5．设集合，，则（ ）
A．或 B．
C．或 D．
变式8-6．，，若，且，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
例9．已知全集，，，则如图所示的阴影部分表示的集合是（ ）
A． B． C． D．
变式9-1．已知R是实数集，集合，则下图中阴影部分表示的集合是（ ）
A． B．
C． D．
变式9-2．图中U是全集，A，B是U的子集，则阴影部分表示的集合是（ ）
A． B．
C． D．
变式9-3．如图，是全集的3个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）
A． B．
C． D．
变式9-4．如图，是全集，，，是的子集，则阴影部分表示的集合是（ ）
A． B．
C． D．
变式9-5．已知全集，集合，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A． B．
C． D．
变式9-6．已知集合，则下列Venn图中阴影部分可以表示集合的是（ ）
A． B．
C． D．
变式9-7．设全集I是实数集R，或与都是I的子集（如图所示），则阴影部分所表示的集合为（ ）
A． B． C． D．
变式9-8．设集合，，能正确表示图中阴影部分的集合是（ ）
A． B． C． D．
变式9-9．设全集及集合与，则如图阴影部分所表示的集合为（ ）
A． B．
C． D．
变式9-10．设集合，，则图阴影区域表示的集合是（ ）
A． B． C． D．
例10．我们把含有有限个元素的集合叫做有限集，用表示有限集合中元素的个数.例如，，则.容斥原理告诉我们，如果被计数的事物有三类，那么，.某校初一四班学生46人，寒假参加体育训练，其中足球队25人，排球队22人，游泳队24人，足球排球都参加的有12人，足球游泳都参加的有9人，排球游泳都参加的有8人，问：三项都参加的有多少人？（教材阅读与思考改编）（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
变式10-1．移动支付、高铁、网购与共享单车被称为中国的新“四大发明”.某中学为了解本校学生中新“四大发明”的普及情况，随机调查了100位学生，其中使用过移动支付或共享单车的学生共90位，使用过移动支付的学生共有80位，使用过共享单车且使用过移动支付的学生共有60位，则该校使用共享单车的学生人数为（ ）
A．50 B．60 C．70 D．80
变式10-2．某小学为落实双减，实现真正素质教育，在课后给同学们增设了各种兴趣班.为了了解同学们的兴趣情况，某班班主任对全班女生进行了关于对唱歌､跳舞､书法是否有兴趣的问卷调查，要求每位同学至少选择一项，经统计有21人喜欢唱歌，17人喜欢跳舞，10人喜欢书法，同时喜欢唱歌和跳舞的有12人，同时喜欢唱歌和书法的有6人，同时喜欢跳舞和书法的有5人，三种都喜欢的有2人，则该班女生人数为（ ）
A．27 B．23 C．25 D．29
变式10-3．某学校举办运动会，比赛项目包括田径､游泳､球类，经统计高一年级有人参加田径比赛，有人参加游泳比赛，有人参加球类比赛.参加球类比赛的同学中有人参加田径比赛，有人参加游泳比赛；同时参加田径比赛和游泳比赛的有人；同时参加三项比赛的有人.则高一年级参加比赛的同学有（ ）
A．98人 B．106人 C．104人 D．110
变式10-4．学校举办运动会时，高一某班共有30名同学参加，有15人参加游泳比赛，有9人参加田径比赛，有13人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有2人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有4人，没有人同时参加三项比赛．只参加球类一项比赛的人数为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
变式10-5．某校举办运动会，高一（1）班参加田赛的学生有15人，参加径赛的学生有13人，田赛和径赛都参加的有5人，那么高一（1）班参加本次运动会的人数共有（ ）
A．16人 B．18人 C．23人 D．28人
变式10-6．某小学对小学生的课外活动进行了调查．调查结果显示：参加舞蹈课外活动的有63人，参加唱歌课外活动的有89人，参加体育课外活动的有47人，三种课外活动都参加的有24人，只选择两种课外活动参加的有22人，不参加其中任何一种课外活动的有15人，则接受调查的小学生共有多少人？（ ）
A．120 B．144 C．177 D．192
例11．设集合，.
(1)若，求a的值；
(2)若，求实数a组成的集合C.
变式11-1．设集合.
(1)讨论集合与的关系；
(2)若，且，求实数的值.
例12．集合，集合.
(1)当时，求，；
(2)若，求实数m的取值范围.
变式12-1．已知集合，，
(1)求；；
(2)若，求实数的取值范围．
例13．已知集合，，.
(1)求；
(2)若，求的取值范围.
变式13-1．已知集合，．
(1)若，求；
(2)若，求实数的取值范围．
例14．设集合，，
(1)若，求实数的值；
(2)若，求实数的取值范围.
变式14-1．已知，若，求实数的值.
例15．已知集合，．
(1)求集合；
(2)设集合，且，求实数的取值范围．
变式15-1．已知全集＝，集合＝，＝．
(1)当＝时，求与；
(2)若＝，求实数的取值范围．
变式15-2．已知集合，.
(1)若，求；
(2)若，求实数的取值集合.
变式15-3．已知集合，或，，全集.
(1)求；
(2)若，求的取值范围.
例16．已知集合，，全集为.
(1)求集合；
(2)若，求实数m的取值范围.
变式16-1．已知集合，.
(1)当时，求；
(2)若，且，求实数a的取值范围.
变式16-2．记不等式的解集为A，集合或．
(1)当时，求；
(2)若，求实数的取值范围．
变式16-3．已知集合，集合，．
（1）若，求实数m的值；
（2）若，求实数m的取值范围．
变式16-4．已知集合，集合．
（1）若，求a的取值范围；
（2）若全集，且，求a的取值范围．
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