人教版高一数学暑假讲义1.4 充分条件与必要条件（习题作业）（2份打包，原卷版+教师版）

1.4 充分条件与必要条件

一、单选题

1．已知，，则是的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】将相互推导，根据能否推导的情况判断出充分、必要条件.

【详解】由，可得出，故，

由，得不出，所以是的充分而不必要条件，

故选：A.

2．设，则“”是“”的（    ）

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充要条件 D．既非充分也非必要条件

【答案】A

【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义判断作答.

【详解】由得或，因此“若，则”是真命题，“若，则”是假命题，

所以“”是“”的充分不必要条件.

故选：A

3．“且”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】利用充分条件与必要条件的定义判断结果.

【详解】且能够推出，反之不能推出且，

所以“且”是“”的充分不必要条件.

故选:.

4．已知、、，则“”是“”的（    ）．

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充要条件 D．既非充分也非必要条件

【答案】B

【分析】当时，代入验证不充分，根据不等式性质得到必要性，得到答案.

【详解】若，当时，，故不充分；

若，则，故，必要性.

故“”是“”的必要非充分条件.

故选：B

5．设，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

【答案】D

【分析】先判断充分性是否满足，再判断必要性是否满足，即可得答案.

【详解】解：充分性：若，则可得有三种可能：①两个都为正；②一个为正、一个为零；③一个为正、一个为负且正数的绝对值大于负数的绝对值，

所以或或，

故不是的充分条件；

必要性:若，则或，故或，

故“”不是“”的必要条件.

综上，“”是“”的既不充分也不必要条件.

故选：D.

6．已知集合M，P，则“或”是“”的（    ）

A．必要不充分条件 B．充分不必要条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】或即，再利用与之间的关系即可判断出结论.

【详解】由或得，又，∴或不能推出，能推出或.

则“或”是“”的必要不充分条件.

故选：A.

7．设，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.

【详解】当时，故充分性成立，

由可得或，故必要性不成立，

所以“”是“”的充分不必要条件.

故选：A

8．若，则“”是“”的（     ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据不等式的性质，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.

【详解】由不等式，可得，可得，即充分性成立；

反之：由，可得，又因为，所以，所以必要性不成立，

所以是的充分不必要条件.

故选：A.

9．若，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】根据充分条件、必要条件的定义即可得解.

【详解】若，令，满足，但；

若，则一定成立，

所以“ ”是“”的必要不充分条件.

故选：B

10．=的一个充分条件是（    ）

A．  B．

C． D．

【答案】B

【分析】由题知，结论是=，求充分条件，选项A中，，根据充分条件的定义知，选项A不是充分条件；选项C、D中，由可知，C、D不是充分条件；选项B，由，可以得到=，反之不成立，根据充分条件的定义知，选项B是充分条件.

【详解】对于选项A，因为，显然=没意义，根据充分条件的定义知，选项A不是充分条件；

对于选项B，当时，=成立；而当=成立时，a≥0，b>0.

根据充分条件的定义知，选项B是充分条件；

对于选项C、D，由可知，=没意义，所以选项C、D不是充分条件；

故选：B.

11．已知，为非零实数，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】利用特殊值法结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.

【详解】由，即成立，故充分性成立；

取，，则成立，但不成立，故必要性不成立.

因此，“”是“”的充分不必要条件.

故选：A

12．设命题命题则p是q的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分且必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】判断p，q间关系可得答案.

【详解】当，则，故p是q的充分条件；

当，则可令，不能得到，则p不是q的必要条件.

则p是q的充分不必要条件.

故选：A

二、多选题

13．有以下四种说法，其中说法正确的是（    ）

A．“是实数”是“是有理数”的必要不充分条件

B．“”是“”的充要条件

C．“”是“”的充分不必要条件

D．“”是“”的必要不充分条件

【答案】AC

【分析】根据充分条件和必要条件的定义逐个分析即可.

【详解】当是实数时，可能为有理数，可能为无理数，而当为有理数时，一定为实数，所以“是实数”是“是有理数”的必要不充分条件，A正确；

当时，成立，而当时，有可能，所以“”是“”的充分不必要条件，B错误；

当时，成立，而当时，或，所以“”是“”的充分不必要条件，C正确；

当时，成立，而当时，有可能，所以“”是“”的充分不必要条件，D错误；

故选：AC

14．设全集为U，在下列选项中，是的充要条件的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】BCD

【分析】利用维恩图解决集合运算问题.

【详解】

由维恩图可知，A不是的充要条件，B，C，D都是的充要条件，

故选：BCD．

15．下列命题中叙述不正确的是（    ）

A．“关于的方程有实数根”的充要条件是“”

B．“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的必要而不充分条件

C．“”的一个充分不必要条件可以是“”

D．若集合，则“”是“”的充分而不必要条件

【答案】BCD

【分析】根据充分条件和必要条件的定义逐项判断各选项即可.

【详解】由关于的方程有实数根可得，

由可得关于的方程有实数根，

所以“关于的方程有实数根”的充要条件是“”，A正确；

由三角形为正三角形可得该三角形为等腰三角形，

所以“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的充分条件，B错误；

由不能推出，

所以“”不是“”的充分条件，C 错误；

当时，若，则，若，则，

所以“”是“”的充要条件，

所以若集合，则“”可能是“”的充要条件，D错误；

故选：BCD.

16．下列说法正确的是（    ）

A．是的必要不充分条件

B．（U是全集）是的充分不必要条件

C．是的充分不必要条件

D．是的充要条件

【答案】AD

【分析】根据充分条件与必要条件的定义逐项分析即可.

【详解】对于A，若，则可能且，不能推出，

若，则必有，

故是的必要不充分条件，故A正确；

对于B，若,则，

故（U是全集）是的既不充分也不必要条件，故B错误；

对于C，若，取,则，

若，取，则，

故是的既不充分也不必要条件，故C错误；

对于D，因为，所以是的充要条件，故D正确.

故选:AD.

17．对任意实数，给出下列命题，其中假命题是（    ）

A．“”是“”的充要条件

B．“”是“”的必要条件

C．“”是“”的充分条件

D．“是无理数”是“是无理数”的充要条件

【答案】AC

【分析】根据充分必有条件的定义逐项分析.

【详解】对于A，如果 ，则必定有 ，是充分条件，如果 ，则 ，得或  ，

不是必要条件，所以“”是“ ” 的充分不必要条件，错误；

对于B，如果 ，必定有 ，是必要条件，正确；

对于C，如果 ，比如 ， ，不能推出 ，不是充分条件，错误；

对于D，因为有理数+无理数=无理数，有理数+有理数=有理数，5是有理数，

所以“a+5是无理数”必定有a是无理数，是充分条件，如果“a是无理数”则“a+5也是无理数”，是必要条件，

所以“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件，正确；

故选：AC.

18．若关于的方程至多有一个实数根，则它成立的必要条件可以是（    ）

A． B． C． D．

【答案】BC

【分析】利用的判别式，求出的范围，再利用必要条件的定义即可求得.

【详解】因为方程至多有一个实数根，

所以方程的判别式，

即：，解得，

利用必要条件的定义，结合选项可知，成立的必要条件可以是选项B和选项C.

故选：BC.

19．已知集合或，则的必要不充分条件可能是（    ）

A． B． C． D．

【答案】AB

【分析】分别在、的情况下，根据求得的范围，即为的充要条件，再根据选项即可得解．

【详解】解：因为集合或，

当时，，解得，此时，

当时，，解得，若，则，解得，

又，则，

则的充要条件为，

所以的必要不充分条件可能是，，

故选：AB．

三、填空题

20．已知集合，集合，若命题“”是命题“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是______．

【答案】

【分析】根据充分不必要条件转化为集合的真包含关系，即可得解.

【详解】因为命题“”是命题“”的充分不必要条件，

所以集合真包含于集合，

又集合，集合，

所以.

故答案为：

21．设：，：，是的充分条件，则实数m的取值范围是________．

【答案】

【分析】设，根据充分条件的定义结合包含关系得出实数m的取值范围.

【详解】设，因为是的充分条件，所以集合是集合的子

集，所以.

故答案为：

22．已知，，是的必要不充分条件，则实数的取值范围为___________.

【答案】

【分析】由充分条件和必要条件的定义即可得出答案.

【详解】因为，，因为是的必要不充分条件，

所以.

所以实数的取值范围为.

故答案为：.

23．是2的倍数，是6的倍数，则是的______条件．

【答案】必要非充分

【分析】利用充要条件的定义判定即可.

【详解】当时，满足是2的倍数,但不满足是6的倍数，充分性不成立；

若是6的倍数，则一定是2的倍数，必要性成立.

则是的必要非充分条件.

故答案为：必要非充分.

24．设甲、乙、丙、丁是四个命题，甲是乙的充分不必要条件，丙是乙的充要条件，丁是丙的必要不充分条件，那么丁是甲的______条件.

【答案】必要不充分

【分析】利用充分条件，必要条件的概念即可得解.

【详解】因为甲是乙的充分不必要条件，所以甲乙，乙推不出甲；

因为丙是乙的充要条件，即乙⇔丙；

因为丁是丙的必要不充分条件，所以丙丁，丁推不出丙.

故甲丁，丁推不出甲，即丁是甲的必要不充分条件.

故答案为：必要不充分

四、解答题

25．已知集合，，全集.

(1)当时，求；

(2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）化简集合A，根据补集运算、交集运算求解；

（2）由题意转化为，列出不等式组求解即可.

【详解】（1）当时，集合，或，

故

（2）由题知：，即且，

当时，，解得，

当时，，解得，

由得，；

综上所述：实数的取值范围为.

26．已知集合，，，

(1)求，，；

(2)若是的充分而不必要条件，求实数m的取值范围.

【答案】(1)；；

(2)

【分析】（1）先解出集合B，再由集合间的运算性质求解即可;

（2）由题意可得，分和两种情况讨论即可.

【详解】（1），

，，

又或，

.

（2）是的充分而不必要条件，

，

当时，有，即；

当时，有，即，

综上所述，实数m的取值范围为.

27．已知集合，.

(1)若，求；

(2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由交集，补集的概念求解；

（2）转化为集合间关系后分情况列式求解.

【详解】（1）当时，，，则,，

（2）由题意得是的真子集，

当是空集时，

，解得；

当是非空集合时，

则且与不同时成立，解得，

故a的取值范围是

28．已知集合，，.

(1)若是“”的充分条件，求实数a的取值范围.

(2)若，求实数a的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）解不等式得到集合，根据是的充分条件列不等式求解即可；

（2）根据交集的定义得到，然后根据集合的包含关系列不等式求解即可.

【详解】（1）因为，所以.因为是的充分条件，

所以，解得，.

（2）因为，，所以，解得.故a的取值范围为.

29．已知或， 为非空集合)，记，，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.

【答案】

【分析】根据题意，转化为是的非空真子集，列出不等式组，即可求解.

【详解】由题意知，或，为非空集合)，

因为是的必要不充分条件，所以是的非空真子集，

可得或，解得或，

所以实数的取值范围是.

30．已知集合.在①；②“”是“”的充分不必要条件；③这三个条件中任选一个，补充到本题第②问的横线处，求解下列问题.

(1)当时，求；

(2)若______，求实数的取值范围.

【答案】(1)或

(2)答案见解析

【分析】（1）利用集合的交并补运算即可得解；

（2）选①③，利用集合的基本运算，结合数轴法即可得解；选②，由充分不必要条件推得集合的包含关系，再结合数轴法即可得解.

【详解】（1）当时，，而，

所以，则或.

（2）选①：

因为，所以，

当时，则，即，满足，则；

当时，，由得，解得；

综上：或，即实数的取值范围为；

选②：

因为“”是“”的充分不必要条件，所以是的真子集，

当时，则，即，满足题意，则；

当时，，则，且不能同时取等号，解得；

综上：或，即实数的取值范围为；

选③：

因为，

所以当时，则，即，满足，则；

当时，，由得或，解得或，

又，所以或；

综上：或，实数的取值范围为.

31．设，已知集合，．

(1)当时，求实数的范围；

(2)设；，若是的必要不充分条件，求实数的范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由题意知，4是集合B的元素，代入可得答案；

（2）由题可得是的真子集，分类讨论为空集和不为空集合两种情况，即可求得m的取值范围.

【详解】（1）由题可得，则；

（2）由题可得是的真子集，

当，则；

当，，则（等号不同时成立），解得

综上：.

32．已知集合，集合．

(1)若，求实数的取值范围；

(2)命题，命题，若p是q成立的充分不必要条件，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）讨论，两种情况，结合交集运算的结果得出实数的取值范围；

（2）由p是q成立的充分不必要条件，得出是的真子集，再由包含关系得出实数的取值范围．

【详解】（1）由，得

①若，即时，，符合题意；

②若，即时，需或，解得．

综上，实数的取值范围为．

（2）由已知是的真子集，知两个端不同时取等号，解得．

由实数的取值范围为．

33．已知集合，

(1)当时，求；

(2)若______，求实数的取值范围．

请从①且；②“”是“”的必要条件；这两个条件中选择一个填入（2）中横线处，并完成第（2）问的解答．（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）

【答案】(1)

(2)答案见解析

【分析】（1）先求两个集合，再求交集；

（2）若选择①，则，再分集合和，两种情况，列式求解；

若选择②，则，列式求的取值范围.

【详解】（1）当时，， 所以

（2）若选择条件①，由且得：，

当时，，即；

当时，，即

或，即或， 所以或，

综上所述：的取值范围为：或．

若选择条件②，由“”是“”的必要条件得：，

即，所以．

34．已知全集，集合，.

(1)当时，求和；

(2)若“”是“”成立的充分不必要条件，求实数m的取值范围.

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）根据集合并集、交集、补集运算求解即可；

（2）根据充分不必要条件转化为集合的包含关系求解即可

【详解】（1）当时，集合，

因为，所以.

所以，

（2）因为“”是“”成立的充分不必要条件，

所以是的真子集，而不为空集，

所以，因此.