2023年普通高等学校招生全国统一考试（甲卷）数学（文科）-教师用卷

2023年普通高等学校招生全国统一考试（甲卷）数学（文科）

一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）

1.  设全集，集合，，则(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】A 

【解析】

【分析】

本题考查了集合运算，属于基础题．

根据补集运算先求出，再求与的并集．

【解答】

解：因为，，，

所以，

所以，

故选：  

2.  (    )

A.  B.  C.  D.

【答案】C 

【解析】

【分析】

本题考查了复数的运算，属于基础题．

利用复数的运算法则即可求．

【解答】

解：，

故选  

3.  已知向量，，则(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】B 

【解析】

【分析】

本题考查了利用向量的坐标运算求向量夹角，属于基础题．

利用向量的坐标运算求出，，即可求出．

【解答】

解：因为，，

所以，，

所以．

故选  

4.  某校文艺部有名学生，其中高一、高二年级各名．从这名学生中随机选名组织校文艺汇演，则这名学生来自不同年级的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】D 

【解析】

【分析】

本题考查了古典概型下概率计算、组合数，属于基础题．

先求出满足条件的共，即可求出结果．

【解答】

解：根据古典概型概率计算公式可得，来自不同年级的概率为，

故选  

5.  记为等差数列的前项和．若，，则(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】C 

【解析】

【分析】

本题考查了求等差数列的前项和，属于基础题．

结合已知条件求出首项与公差，再利用等差数列的前项和公式即可求出．

【解答】

解：因为，，

所以

所以．

故选  

6.  执行右边的程序框图，则输出的(    )

 

A.  B.  C.  D.

【答案】B 

【解析】

【分析】
本题考查程序框图，模拟程序的运行过程，计算若干次循环的结果，与判断框条件比较，即可得到结论．

【解答】

解：模拟执行程序，满足条件执行循环体，

满足条件执行循环体，满足条件继续循环；

不满足条件跳出循环，输出．

7.  设，为椭圆：的两个焦点，点在上，若，则(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】B 

【解析】

【分析】

本题考查椭圆的标准方程与几何性质，焦点三角形的应用，属于中档题．

由椭圆方程得出，，，从而，，在直角三角形中，由勾股定理得，即可求出答案．

【解答】

解：由，得，所以，所以，，由，得，所以，

即，所以，，
故选B．

8.  曲线在点处的切线方程为(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】C 

【解析】

【分析】

本题考查切线方程的求法，涉及导数运算，属于基础题．

先对式子进行求导，再将代入，得出切线斜率，进一步可得切线方程．

【解答】

解：，当时， ，

所以切线的斜率为，又切点坐标为，

切线方程为，

故选C.

9.  已知双曲线：的离心率为，其中一条渐近线与圆交于，两点，则(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】D 

【解析】

【分析】

本题考查双曲线的性质、直线与圆相交的弦长问题，属于中档题．

由离心率的值，求出渐近线的方程，又渐近线与圆相交，求出圆心到直线的距离，进而即可求解．

【解答】

解：由题知，即，故，

双曲线的渐近线为，

圆心到直线的距离，

故直线与圆相离，

 圆心到直线的距离，满足题意，

．

故选D．

10.  在三棱锥中，是边长为的等边三角形，，，则该棱锥的体积为(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】A 

【解析】

【分析】

本题考查三棱锥体积的求解，属于中档题．
利用题干给的相关边的关系，求出三棱锥的高，利用锥体体积公式即可进行求解．

【解答】

解：取中点为，连结，，

是边长为的等边三角形，可知，

又，，，故面，

，又，可知为直角三角形．

三棱锥的体积为．
故选

11.  已知函数．记，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】A 

【解析】

【分析】

本题考查利用指数函数的图象与性质比较大小，属中档题．
先通过函数解析式判断函数对称性和单调性，进一步可判断选项．

【解答】

解：函数图象关于直线对称，则，

函数在上单调递增，在上单调递减，，

则
故选．

12.  函数的图象由的图象向左平移个单位长度得到，则的图象与直线的交点个数为(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】C 

【解析】

【分析】

本题主要考查三角函数图象平移及函数图象交点个数问题，属于中档题．

根据函数图象平移得到，然后在同一直角坐标系下作出两函数图象分析即可求解．

【解答】

解：向左平移个单位长度可得，

即，值域为，且经过点、、；

在同一直角坐标系中作出两函数图象如下：

结合图象分析可得的图象与直线的交点个数为

故选

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  记为等比数列的前项和若，则的公比为          ．

【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查等比数列的前项和公式，属于基础题．

由等比数列的前项和公式直接求解即可．

【解答】

解：设等比数列的公比为，显然，

由得，即，解得．

故答案为  

14.  若为偶函数，则          ．

【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查由函数的奇偶性求参，属于基础题．

化简表达式，由偶函数的定义可得结果．

【解答】

解：，

所以，

由题意知，即对恒成立，．

故答案为  

15.  若，满足约束条件，则的最大值为          

【答案】 

【解析】

【分析】本题考查线性规划中最值问题，属于基础题．

画出不等式组表示区域，目标函数变形为，根据图形可得最大值．

【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图

由点，，围成的三角形区域包括边界，

目标函数变形为，在点处取得最大值．

故答案为．

16.  在正方体中，，为的中点，若该正方体的棱与球的球面有公共点，则球的半径的取值范围是          ．

【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了球的切、接问题，属中档题．

分别求出正方体的各棱与球相切时的半径和正方体内接于球时的半径，即可得解．

【解答】

解：当正方体的各棱与球相切时，球的半径为，

当正方体内接于球时，球的半径为，

因此，当该正方体的棱与球的球面有公共点时，球的半径的取值范围是，

故答案为： 

三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）

17.  记的内角，，的对边分别为，，，已知．

求；

若，求面积．

【答案】解：根据余弦定理，，所以．

方法一：根据正弦定理，

，

，

又，则，，

．

方法二：，

，

，即，

，

，

．

【解析】本题考查了正余弦定理、三角形面积公式等知识，属于中档题．

结合条件，根据余弦定理直接求解即可；

对条件借助正弦定理将“边”化“角”，或借助余弦定理，将“角”化“边”，都可求得，进而求得和面积．

18.  如图，在三棱柱中，平面，．

证明：平面平面；

设，，求四棱锥的高．

【答案】证明：平面，平面，

．

，即．

又，、平面，

平面．

平面，

平面平面．

过作于点，

由知：平面平面，

又平面平面，平面，

平面．即为四棱锥的高．

在中，，

在中，，

，

．

平面，平面，

．

，

．

在等腰中，可得．

四棱锥的高为．

【解析】本题考查空间中面面垂直的判定，及点到平面的距离的求法，属于基础题．

分析题目条件，要证明面面垂直，先转化为证明线面垂直；

根据题意，过向平面与平面的交线作垂线，则即为四棱锥的高，在结合条件求出的长度即可．

19.  项试验旨在研究臭氧效应，试验案如下：选只，随机地将其中只分配到试验组，另外只分配到对照组，试验组的饲养在浓度臭氧环境，对照组的饲养在正常环境，段时间后统计每只体重的增加量单位：试验结果如下：

对照组的体重的增加量从到排序为

试验组的体重的增加量从到排序为

计算试验组的样本平均数；

求只体重的增加量的中位数，再分别统计两样本中于与不于的数据的个数，完成如下列联表

(ⅱ)根据中的列联表，能否有的把握认为在浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异

附：，

【答案】解：

中位数．

有的把握认为在浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异

【解析】本题考查平均数、中位数、独立性检验的相关知识，属于中档题．

由平均数及中位数的概念即可得平均数及中位数，完成列联表．

由题意完成列联表，求出的值与比较，即可得出结论．

20.  已知函数，．
当时，讨论的单调性；
若，求的取值范围．

【答案】解：当时，，，

，

因为，所以恒成立，

所以在上单调递减．

恒成立，即恒成立，

令，则，

，

令，再令，

则，

所以在上单调递减，

当时，，当时，，

所以存在唯一的，使得，

则当时，在上单调递增，则，不满足题意

当时，当时，，

所以在上单调递减，所以，满足题意；

综上所述，的取值范围是 

【解析】本题考查了利用导数研究函数的单调性以及利用导数研究不等式恒成立问题，属于较难题．

通过求已知函数的导函数判断函数的单调性即可；

构造函数，利用导数研究函数的相关性质，分与两种情况分别讨论即可．

21.  已知直线与抛物线：交于，两点，．

求的值

设为的焦点，，为上的两点，且，求面积的最小值．

【答案】解：设，

联立方程，得，

，且，得，，

，解得．

抛物线方程为，．

设，直线的方程为：，

联立方程，得，

，，

，
，

即，

由得，，

又，得或，

所以当时，面积有最小值 

【解析】本题考查抛物线的几何性质，抛物线中三角形面积的最值问题，属于综合题．

联立方程，根据弦长公式可求得的值．

设，由可得，表示出，找到的范围可得最小值．

22.  已知点，直线为参数，与轴，轴正半轴交于、两点，．

求的值；

以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求的极坐标方程．

【答案】解：令，得，，

令，得，，

，

，，解得

又直线与轴，轴均交于正半轴，

．

直线的斜率，且直线过点，

直线的普通方程为，即，

极坐标方程为．

【解析】本题考查直线的参数方程与极坐标方程，属于基础题．

根据直线参数方程中的几何意义求解；

结合直线所过定点及中所求得的倾斜角，得出直线的普通方程，进而转化为极坐标方程．

23.  设，函数

求不等式的解集；

若曲线与轴所围成的图形的面积为，求

【答案】解：，

不等式可化为，即

不等式的解集为

，作出分段函数图像如下图，

则与坐标轴围成与，
的高为，，，，所以，
所以，解得．

【解析】本题考查了绝对值不等式的解法，以及作分段函数图像，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题．

根据，利用零点分段法解不等式即可；

先化简，在作出的图象，再根据面积公式即可求出．