2022-2023学年广东省广州重点中学九年级（下）月考数学试卷

2022-2023学年广东省广州重点中学九年级（下）月考数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列图形是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  如图，在边长为的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，则(    )

A.
B.
C.
D.

4.  下列运算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  计算，结果是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  已知正比例函数的图象上两点、，且，则下列不等式中恒成立的是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，直径为的上经过点和点，是轴右侧优弧上一点，则的余弦值为(    )

 

A.  B.  C.  D.

8.  若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是(    )

A.  B. 且 C. 且 D.

9.  如图，已知四边形是菱形，轴，垂足为，函数的图象经过点，且与交于点若，则的面积为(    )

A.
B.
C.
D.

10.  如图，四边形、都是正方形，点在线段上，连接、，和相交于点，设，下列结论：≌；；；其中结论正确的个数是(    )
 

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.  分解因式：______．

12.  科学记数法： ______ ．

13.  代数式有意义时，应满足的条件为______ ．

14.  一个几何体的三视图如图，根据图示的数据计算该几何体的全面积是______ 结果保留．

15.  在中，，，，为边上一动点，于，于，为中点，则的最小值为          ．

16.  如图，二次函数的图象过点，对称轴为直线，有以下结论：；；若方程的两根为，，且，则其中一定正确的是______填序号
 

三、计算题（本大题共2小题，共8.0分）

17.  计算：．

18.  先化简，再求值：，其中．

四、解答题（本大题共7小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
某校初三班名学生需要参加体育“五选一”自选项目测试，班上学生所报自选项目的情况统计表如下：

求，的值；
若将各自选项目的人数所占比例绘制成扇形统计图，求“一分钟跳绳”对应扇形的圆心角的度数；
在选报“推铅球”的学生中，有名男生，名女生，为了了解学生的训练效果，从这名学生中随机抽取两名学生进行推铅球测试，求所抽取的两名学生中有一名女生的概率．

20.  本小题分
如图，为了测出某塔的高度，在塔前的平地上选择一点，用测角仪测得塔顶的仰角为，在、之间选择一点、、三点在同一直线上用测角仪测得塔顶的仰角为，且间的距离为．
求点到的距离；
求塔高结果用根号表示．

21.  本小题分
如图，直线与反比例函数的图象交于、两点，与轴交于点，已知点的坐标为．
求反比例函数的解析式；
若点是反比例函数图象上一点，过点作轴于点，延长交直线于点，求的面积．

22.  本小题分
在年春季环境整治活动中，红旗社区计划对面积为的区域进行绿化经投标由甲、乙两个工程队来完成，若甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化面积的倍，并且在独立完成面积为区域的绿化时，甲队比乙队少用天．
求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积；
设甲工程队施工天，乙工程队施工天，刚好完成绿化任务已知甲队每天绿化费用是万元，乙队每天绿化费用为万元，且甲乙两队施工的总天数不超过天，请问应该如何安排甲、乙两队施工的天数，使施工总费用最低？最低费用是多少？

23.  本小题分
如图，在中，是它的角平分线，，在边上，以为直径的半圆经过点，交于点．
求证：是的切线；
已知，的半径为，求图中阴影部分的面积．

24.  本小题分
在中，，，是上一点，连接．
如图，若，是延长线上一点，与垂直，求证：．
过点作，为垂足，连接并延长交于点．
如图，若，求证：．
如图，若是的中点，直接写出的值．用含的式子表示

 

25.  本小题分
如图，抛物线的顶点坐标为，并且经过，点是抛物线上点，间的一个动点含端点，过点作直线的垂线，垂足为点，点，的坐标分别为，，连接，，．

求抛物线的解析式；
猜想并探究：对于任意一点，与的差是否为固定值？如果是，请求出此定值；如果不是，请说明理由；
求：当的周长最小时的点坐标；使的面积为整数的点的个数．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了相反数的定义，掌握相反数的定义是解题的关键．依据相反数的定义解答即可．
【解答】

解：的相反数是．
故选A．

2.【答案】 

【解析】解：将、、、四个选项中图形旋转后，和原图形重合的只有中图形．
故选D．
将四个选项中图形形旋转后，与原图形对比即可得出结论．
本题考查了中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的定义是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查锐角三角函数的定义．
在直角中利用正切的定义即可求解．
【解答】
解：在直角中，，
．
故选D．  

4.【答案】 

【解析】解：、，此选项错误；
B、，此选项正确；
C、，选项错误；
D、，此选项错误；
故选：．
根据合并同类项法则、同底数幂的除法、分式的加法及积的乘方与幂的乘方逐一计算可得．
本题主要考查整式和分式的运算，解题的关键是掌握合并同类项法则、同底数幂的除法、分式的加法及积的乘方与幂的乘方．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了约分，关键是正确把分子分解因式．
首先利用平方差公式分解分子，再约去分子分母中得公因式．
【解答】
解：，
故选：．  

6.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查正比例函数的增减性．
根据，正比例函数的函数值随的增大而减小解答．
【解答】
解：直线的，
函数值随的增大而减小，
，
，
．
故选：．  

7.【答案】 

【解析】解：如图，连接并延长交与点，连接，

同弧所对的圆周角相等，
，
是的直径，
，
，
，
，
，
即的余弦值为．
故选：．
首先根据圆周角定理，判断出；然后根据是的直径，判断出，在中，用的长度除以的长度，求出的余弦值为多少，进而判断出的余弦值为多少即可．
此题主要考查了圆周角定理的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
此题还考查了锐角三角函数值的求法，要熟练掌握．
 

8.【答案】 

【解析】解：关于的一元二次方程有实数根，
，
解得：且．
故选：．
根据一元二次方程有实数根，可得，求出的取值范围即可，注意二次项系数不能为．
本题主要考查根的判别式，熟知一元二次方程的根与根的判别式的关系是解题关键．一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

9.【答案】 

【解析】解：连接，
，轴，
，
解得，由勾股定理，得，
由菱形的性质，可知，
，
与同底等高，
．
故选：．
连接，已知，轴，根据求，根据勾股定理求，根据菱形的性质，求解．
本题考查了反比例函数的综合运用．关键是求菱形的边长，讲所求三角形的面积进行转化．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质．
由四边形和四边形是正方形，根据正方形的性质，即可得，，，则可根据证得≌；然后延长交于点，根据全等三角形的对应角相等，求得，则可得由与相似即可判定错误，由与相似即可求得．
【解答】
解：四边形和四边形是正方形，
，，，
，
在和中，
，
≌，
故正确；

延长交于点，
≌，
，
又，
，
，
；
．
故正确；

四边形是正方形，
，
，
是错误的．
故错误；

，
，
，
∽，
，
．
故正确，

故选：．  

11.【答案】 

【解析】解：原式
．
故答案为：
本题首先提取，再利用平方差公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．
本题考查了科学记数法的表示方法，掌握形式为，其中是关键．
 

13.【答案】且 

【解析】解：由题意得，
解得：且．
故答案为：且．
根据二次根式有意义时被开方数为非负数，分式有意义时分母不为零可求解的取值范围．
本题主要考查二次根式有意义的条件及分式有意义的条件，根据二次根式及分式有意义的条件求解是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：由三视图得几何体为圆锥，圆锥的高为，圆锥底面圆的半径为，
所以圆锥的母线长，
所以圆锥的表面积．
故答案为．
根据三视图得到几何体为圆锥，圆锥的高为，圆锥底面圆的半径为，则根据勾股定理可计算出母线长，然后计算侧面积和底面积的和即可．
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了三视图．
 

15.【答案】 

【解析】在中，，，
，即为直角三角形，．
又于，于，
四边形是矩形．
，时，最短，同样也最短．
当时，，即．
当最短时，．
根据已知得当时，最短，同样也最短，从而不难根据面积相等求得其值．
解决本题的关键是理解直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短．
 

16.【答案】 

【解析】解：由图象可知：，，，
，
，
故错误；
抛物线的对称轴为直线，
，
，
，
故正确；
二次函数的图象过点，对称轴为直线，
抛物线与轴的另外一个交点坐标为，

若方程，
即方程的两根为，，
则、为抛物线与直线的两个交点的横坐标，
，
，
故正确；
故答案为：．
根据二次函数的图象与性质即可求出答案．
本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于基础题型．
 

17.【答案】解：原式

． 

【解析】本题考查的是绝对值，特殊三角函数值，零指数幂，负指数幂有关知识，首先对该式进行变形，然后再进行计算即可．
 

18.【答案】解：原式，
当时，原式． 

【解析】先把除法运算转化为乘法运算，而做乘法运算时要注意先把分子、分母能因式分解的先分解，然后约分．再把的值代入求值．
主要考查了分式的化简求值，其关键步骤是分式的化简．要熟悉混合运算的顺序，正确解题．
 

19.【答案】解：根据题意得：；
；

作出扇形统计图，如图所示：

根据题意得：；

男生编号为、、，女生编号为、，
由枚举法可得：、、、、、、、、、共种，其中为女女组合，
抽取的两名学生中至多有一名女生的概率为：． 

【解析】此题考查了用列举法求概率，扇形统计图，频数分布表，弄清题意是解本题的关键．
根据表格求出与的值即可；
根据表示做出扇形统计图，求出“一分钟跳绳”对应扇形的圆心角的度数即可；
列表得出所有等可能的情况数，找出抽取的两名学生中至多有一名女生的情况，即可求出所求概率．
 

20.【答案】解：过点作于点，
，，
，，
即点到的距离为；

在中，
，
，
，
，
，
则，
在中，，
．
答：塔高为． 

【解析】过点作于点，然后根据，，可求得点到的距离；
先求出的度数，然后求出的长度，然后根据即可求出的高度．
本题考查了解直角三角形的应用，难度适中，解答本题的关键是根据仰角构造直角三角形并解直角三角形．
 

21.【答案】解：将点的坐标代入，可得：，
将点代入反比例函数，可得：，
故反比例函数解析式为：．

将点的纵坐标，代入反比例函数关系式可得：，
将点的横坐标代入直线解析式可得：，
故可得，，
故可得． 

【解析】将点的坐标代入直线解析式求出的值，再将点的坐标代入反比例函数解析式可求出的值，继而得出反比例函数关系式；
将点的纵坐标代入反比例函数解析式可求出点的横坐标，将点的横坐标和点的横坐标相等，将点的横坐标代入直线解析式可求出点的纵坐标，将点的坐标转换为线段的长度后，即可计算的面积．
本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，解答本题的关键是确定点的坐标，要求同学们能结合图象及直角坐标系，将点的坐标转化为线段的长度．
 

22.【答案】解：设乙队每天能完成绿化面积为，则甲队每天能完成绿化面积为，根据题意得：
，
解得，
经检验，为原方程的解，且符合题意，
则甲队每天能完成绿化面积为，
答：甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别为、；
由得，
整理：，
由已知，
，
解得，
总费用，
，
随的增大而增大，
当时，，
甲队施工天，乙队施工天，最低费用为万元． 

【解析】设出两队的每天绿化的面积，以两队工作时间为等量构造分式方程；
以为基础表示甲乙两队分别工作天、天的工作总量，工作总量和为；用甲乙两队施工的总天数不超过天确定自变量取值范围，用表示总施工费用，根据一次函数增减性求得最低费用．
本题考查了分式方程和一元一次不等式的应用、一次函数的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程和不等式求解．
 

23.【答案】解：连接，

                                       
是的角平分线


                                             

                                      
是的切线；
                              
连接．
，                               
的半径为，，
，，
，
，，
．
，，
是正三角形．
，，
．
．
                      
． 

【解析】本题考查了切线的判定与性质及扇形面积的计算，解题的关键是连接圆心和切点，利用过切点且垂直于过切点的半径来判定切线．
连接根据得到，然后再根据是的角平分线得到，从而判定，最后根据得到证得结论是的切线．
连接，利用求解即可．
 

24.【答案】证明：如图中，延长交于点．

，
，
，
，，
，
，
，，
≌，
．

证明：如图中，作交的延长线于．

，
，
，，
，
，
，
，
，
，
≌，
，
，
．

解：如图中，作交的延长线于，作于不妨设，则．

则，，，，
，
，
，
，
，，
，，
，
，
． 

【解析】如图中，延长交于点想办法证明≌即可．
如图中，作交的延长线于利用全等三角形的性质证明，再利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．
如图中，作交的延长线于，作于不妨设，则想办法求出，用表示，即可解决问题．
本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．
 

25.【答案】解：设抛物线的解析式为．
经过点，
，解得．
抛物线的解析式为：．
与的差是定值．
理由如下：设，则，
，
，．
．
当点运动时，大小不变，则与的和最小时，的周长最小，
，
，
，
当、、三点共线时，最小，此时点，的横坐标都为，
将代入，得，
，此时的周长最小．
如图所示：过点做轴，垂足为．

设
，，
．
点是抛物线上点，间的一个动点含端点，
，
当时，取最大值为当时，取最小值为即，其中，当时，有两个点．
共有个令为整数的点． 

【解析】设抛物线的解析式为将点的坐标代入求得的值，从而得到抛物线的解析式；
设，则，依据两点间的距离公式求得的长用含的式子表示，然后由点和点的坐标可求得的长用含的式子表示，于是可求得与的差；
由可知，故此三角形的周长，由两点之间线段最短可知当、、三点共线时，的周长最小，从而可求得点的坐标；如图所示：过点做轴，垂足为设，依据列出阴影部分面积与的函数关系，然后依据的取值范围可求得面积的取值范围，从而可确定出点的个数．
本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质、二次函数的函数值的范围、不规则图形的面积计算，列出的面积与的函数关系式是解题的关键．