精品解析：天津市第九十五中学益中学校2021-2022学年高一下学期阶段性检测数学试题

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九十五中益中学校2021-2022学年度第二学期阶段性检测高一年级数学试卷命题人：田兆坤           审核人：陈伟 邢楠 程学娥 李芳 孙绍昆一、单选题（共9个小题，每题5分，共45分）1. 在复平面内，复数，则的虚部是（    ）A.  B. 1 C.  D. 【答案】A【解析】【分析】利用除法运算求出，根据复数的概念可得结果.【详解】因为，所以的虚部是.故选：A2. 已知向量，是两个不共线的向量，与共线，则（    ）A. 2 B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】根据向量共线的充要条件建立方程直接求解.【详解】因为与共线，所以，，所以，因为向量，是两个不共线的向量，所以，解得，故选：C．3. 某射箭运动员进行射箭训练，射箭次，统计结果如下：环数击中的次数则估计他击中的环数不小于的概率为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】根据频数分布表求出击中的环数不小于的频率，用频率来估计概率【详解】击中的环数不小于的频率为，因此估计相应概率为.故选：B4. 在空间中，下列命题正确的是（    ）①平行于同一条直线的两条直线平行；    ②垂直于同一条直线的两条直线平行；③平行于同一个平面的两条直线平行；    ④垂直于同一个平面的两条直线平行．A. ①③④ B. ①④ C. ① D. ①②③④【答案】B【解析】【分析】由空间中点、线、面的位置关系逐一核对四个命题得答案．【详解】解：①该命题就是平行公理，即基本性质4，因此该命题是正确的．②如图1，直线平面，，，且，则，．即平面内两条相交直线b、c都垂直于同一条直线a，但b、c的位置关系并不是平行．另外，b、c的位置关系也可能是异面，如果把直线b平移到平面外，此时，b与a的位置关系仍是垂直，但此时b、c的位置关系是异面．③如图2，在正方体中，易知平面ABCD，平面ABCD，但，因此该命题是错误的．④该命题是线面垂直的性质定理，因此是正确的．综上，①④正确，故选：B．【点睛】本题考查命题真假判断与应用，考查了空间中点、线、面的位置关系，属于基础题．5. 从装有两个红球和两个白球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（    ）A. 至少有一个白球与都是红球 B. 恰好有一个白球与都是红球C. 至少有一个白球与都是白球 D. 至少有一个白球与至少一个红球【答案】B【解析】【分析】列举每个事件所包含的基本事件，结合互斥事件和对立事件的定义，依次验证即可.【详解】解：对于A，事件：“至少有一个白球”与事件：“都是红球”不能同时发生，但是对立，故A错误；对于B，事件：“恰好有一个白球”与事件：“都是红球”不能同时发生，但从口袋内任取两个球时还有可能是两个都是白球，所以两个事件互斥而不对立，故B正确；对于C，事件：“至少有一个白球”与事件：“都是白球”可以同时发生，所以这两个事件不是互斥的，故C错误；对于D，事件：“至少有一个白球”与事件：“至少一个红球”可以同时发生，即“一个白球，一个红球” ，所以这两个事件不是互斥的，故D错误.故选：B.6. 某市环境保护局公布了该市，两个景区年至年各年的全年空气质量优良天数的数据．现根据这组数据绘制了如图所示的折线图，则由该折线图得出的下列结论中正确的是（    ）A. 景区这七年的空气质量优良天数的极差为B. 景区这七年的空气质量优良天数的中位数为C. 分别记景区，这七年空气质量优良天数的众数为，，则D. 分别记景区，这七年的空气质量优良天数的标准差为，，则【答案】D【解析】【分析】根据极差、中位数、众数的定义、标准差的性质，结合折线图逐一判断即可,【详解】A：景区这七年的空气质量优良天数的极差为，故本选项结论不正确；B：景区这七年的空气质量优良天数的中位数为，故本选项结论不正确；C：由折线图可知：，显然，故本选项结论不正确；D：由折线图可知：景区这七年的空气质量优良天数的数据波动要比景区这七年的空气质量优良天数据波动大，因此，所以本选项结论正确，故选：D7. 已知，，向量在方向上投影向量是，则为（    ）A. 12 B. 8 C. -8 D. 2【答案】A【解析】【分析】由投影向量和数量积的定义即可得出结论.【详解】在方向上投影向量为，，.故选：A8. 已知A，B两地间的距离为10km，B，C两地间的距离为20km．若测得，则A，C两地间的距离为（    ）A. 10km B. km C. km D. km【答案】D【解析】【分析】利用余弦定理解三角形即可.【详解】由题意可知，结合余弦定理可得，所以，故，所以A，C两地间的距离为，故选；D9. 用斜二测画法画水平放置的的直观图，得到如图所示的等腰直角三角形．已知点是斜边的中点，且，则△ABC的面积为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】根据斜二测画法，即直观图中平行于轴的长度不变，平行于轴的长度变为原来的一半，根据题中所给的数据以及图形，可知角形为直角三角形，，，，由此即可求出结果.【详解】因为为等腰直角三角形且，所以，，由斜二测画法可知，，且三角形为直角三角形，， 所以三角形ABC的面积为．故选：B.二、填空题（6个小题，每题5分，共30分）10. 在复平面内，点对应的复数，则______．【答案】【解析】【分析】利用复数的几何意义可得出复数，利用复数的减法与复数的模长公式可求得结果.【详解】由复数的几何意义可得，则，因此，.故答案为：.11. 如图，若正方体的棱长为1，则异面直线AC与所成的角的大小是__________；直线和底面ABCD所成的角的大小是__________．【答案】    ①.     ②. .【解析】【分析】①通过平行关系，直线与直线所成角即直线与直线所成角，解三角形即可得解；②根据线面角定义，通过垂直关系找出线面角即可.【详解】作图：连接交于，连接①在正方体中，，易得为等边三角形，由与平行且相等，则四边形为平行四边形，，直线与直线所成角即直线与直线所成角，所以所成角为；②正方体中，平面， 所以就是直线和平面所成的角由于，，是等腰直角三角形，所以，所以直线和底面ABCD所成的角的大小.故答案为：①；②.【点睛】此题考查求异面直线所成的角和直线与平面所成角，通过平行线求异面直线夹角，通过垂直关系根据定义找出线面角即可求解.12. 已知一组数按从小到大顺序排列的数据：24，30，36，38，40，50，52，54，57，60；这组数据的第30百分位数为______.【答案】37【解析】【分析】按照百分位数的定义，直接求得.【详解】因为这一组数据为：24，30，36，38，40，50，52，54，57，60；所以第30百分位数为.故答案：37.13. 若一个棱长为2的正方体的八个顶点在同一个球面上，则该球的体积为__________．【答案】【解析】【详解】棱长为的正方体的八个顶点在同一个球面上，则球的直径等于正方体的对角线长，即，则该球的体积14. 甲､乙两名同学进行篮球投篮练习，甲同学一次投篮命中的概率为，乙同学一次投篮命中的概率为，假设两人投篮命中与否互不影响，则甲､乙两人各投篮一次，至少有一人命中的概率是___________.【答案】【解析】【分析】考虑两个人都不命中的概率，从而可求至少有一个人命中的概率.【详解】两个都不命中的概率为，故至少有一人命中的概率是，故答案为：.15. 如图，在矩形ABCD中，，点E为BC的中点，若，则_________.【答案】14【解析】【分析】建立平面直角坐标系，利用空间向量数量积的坐标运算即可求出结果.【详解】以A为原点，AB为x轴建立平面直角坐标系则A（0，0），B（3，0），C（3，4），D（0，4），因为点E为BC的中点，且，所以E（3，2），F（2，4），故，所以故答案为：.三、解答题（5个小题，每题15分，共75分）16. 在中，角所对的边分别为，已知（1）若，求角A的大小；（2）若，求的面积．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）利用正弦定理计算可得；（2）首先利用余弦定理求出，再根据同角三角函数的基本关系求出，最后根据面积公式计算可得；【详解】解：（1）由已知条件可知，，根据正弦定理可得，得 ，，．（2）由余弦定理得，，即，因为，所以所以17. 平面内给定三个向量，，.（1）求；（2）求；（3）若，求实数k.【答案】（1）    （2）    （3）【解析】【分析】（1）根据平面向量夹角坐标公式即可求解；（2）根据平面向量模长公式的坐标表示即可求解；（3）根据平面向量垂直的坐标表示即可求解.【小问1详解】解：因为，，所以，，，所以；【小问2详解】解：因为，，所以，所以；【小问3详解】解：因为，，，又，所以，解得.18. 2020年开始，山东推行全新的高考制度，新高考不再分文理科，采用“3+3”模式，其中语文、数学、外语三科为必考科目，满分各150分，另外考生还需要依据想考取的高校及专业要求，结合自己的兴趣爱好等因素，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中自选3门参加考试（6选3），每科满分100分，2020年初受疫情影响，全国各地推迟开学，开展线上教学．为了了解高一学生的选科意向，某学校对学生所选科目进行线上检测，下面是100名学生的物理、化学、生物三科总分成绩，以组距20分成7组：[160，180），[180，200），[200，220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300]，画出频率分布直方图如图所示．（1）求频率分布直方图中a的值；（2）为了进一步了解选科情况，由频率分布直方图，在物理、化学、生物三科总分成绩在和的两组中，用分层随机抽样的方法抽取7名学生，再从这7名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查，求抽取的这2名学生来自不同组的概率．【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）根据小矩形面积之和为1即可求解；（2）根据表中数据分别求出两组频率与频数，再根据分层抽样的性质求出两组抽取的人数，再用列举法列出所有情况即可求得概率.【小问1详解】由频率分布直方图的性质可知：各小矩形的面积之和为1，即：解得：【小问2详解】和两组的频率分别为：和，则频数分别为：和，按分层随机抽样的方法抽取7名学生，则组抽5人，记为组抽取2人，记为，从7名学生中随机抽取2名学生，共有如下21种情况：其中抽取的这2名学生来自不同组的有10种情况，故抽取的这2名学生来自不同组的概率.19. 已知a，b，c分别为锐角三个内角A，B，C的对边，，且．（1）求A；（2）若，的周长为6，求△ABC的面积．【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）由，得到，求得，即可求得的大小；（2）由余弦定理得到，结合题意求得，利用面积公式，即可求解.【小问1详解】解：由题意，向量，，因为，可得，由正弦定理得，因为为锐角三角形，可得，所以，所以，即，因为，所以．【小问2详解】解：在中，由余弦定理得，即可得因为，的周长为6，所以，可得，故的面积为．20. 如图，在三棱柱中，底面，且为等边三角形，，D为的中点．（1）求证：直线平面；（2）求证：平面平面；（3）求三棱锥的体积．【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解；（3）．【解析】【分析】（1）连接交于，连接，则点为中点，根据三角形中位线可得，结合线面平行的判定定理，得直线面；（2）由面，得，正三角形中，中线，结合线面垂直的判定定理，得面，最后由面面垂直的判定定理，证出面面；（3）解正三角形可得，，根据可得结果.【详解】（1）连接交于，连接，在中，为中点，为中点，所以，又面，∴直线面；（2）∵面，面，∴．又，，∴，面，∴面．又面，∴面面；（3）∵为正三角形，为中点，∴，由，可知，．∴，又∵面，且，∴面，且，∴．【点睛】方法点睛：在证明线面平行时，主要通过以下几种形式得到线线平行：1、通过三角形中位线；2、通过构造平行四边形；3、通过面面平行；由于“线线垂直”“线面垂直”“面面垂直”之间可以相互转化，因此整个证明过程围绕着线面垂直这个核心而展开，这是化解空间垂直关系难点的技巧所在．