2023年四川省泸州市中考数学试卷（含解析）

这是一份2023年四川省泸州市中考数学试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 下列各数中，最大的是( )
A. −3B. 0C. 2D. |−1|
2. 泸州市2022年全市地区生产总值(GDP)为2601.5亿元，将数据260150000000用科学记数法表示为( )
A. 2.6015×1010B. 2.6015×1011C. 2.6015×1012D. 2.6015×1013
3. 如图，AB//CD，若∠D=55°，则∠1的度数为( )
A. 125°
B. 135°
C. 145°
D. 155°
4. 一个立体图形的三视图如图所示，则该立体图形是( )
A. 圆柱
B. 圆锥
C. 长方体
D. 三棱柱
5. 下列运算正确的是( )
A. m3−m2=mB. 3m2⋅2m3=6m5
C. 3m2+2m3=5m5D. (2m2)3=8m5
6. 从1，2，3，4，5，5六个数中随机选取一个数，这个数恰为该组数据的众数的概率为( )
A. 16B. 13C. 12D. 23
7. 如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠ADC的平分线与边AB相交于点P，E是PD中点，若AD=4，CD=6，则EO的长为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
8. 关于x的一元二次方程x2+2ax+a2−1=0的根的情况是( )
A. 没有实数根B. 有两个相等的实数根
C. 有两个不相等的实数根D. 实数根的个数与实数a的取值有关
9. 《九章算术》是中国古代重要的数学著作，该著作中给出了勾股数a，b，c的计算公式：a=12(m2−n2)，b=mn，c=12(m2+n2)，其中m>n>0，m，n是互质的奇数.下列四组勾股数中，不能由该勾股数计算公式直接得出的是( )
A. 3，4，5B. 5，12，13C. 6，8，10D. 7，24，25
10. 若一个菱形的两条对角线长分别是关于x的一元二次方程x2−10x+m=0的两个实数根，且其面积为11，则该菱形的边长为( )
A. 3B. 2 3C. 14D. 2 14
11. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在斜边AB上，以AD为直径的半圆O与BC相切于点E，与AC相交于点F，连接DE.若AC=8，BC=6，则DE的长是( )
A. 4 109B. 8 109C. 8027D. 83
12. 已知二次函数y=ax2−2ax+3(其中x是自变量)，当0A. 03
C. −3二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
13. 8的立方根是______ ．
14. 在平面直角坐标系中，若点P(2,−1)与点Q(−2,m)关于原点对称，则m的值是______ ．
15. 关于x，y的二元一次方程组2x+3y=3+ax+2y=6的解满足x+y>2 2，写出a的一个整数值______ ．
16. 如图，E，F是正方形ABCD的边AB的三等分点，P是对角线AC上的动点，当PE+PF取得最小值时，APPC的值是______ ．
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题6.0分)
计算：3−1+( 2−1)0+2sin30°−(−23).
18. (本小题6.0分)
如图，点B在线段AC上，BD//CE，AB=EC，DB=BC.求证：AD=EB．
19. (本小题6.0分)
化简：(4m+5m+1+m−1)÷m+2m+1．
20. (本小题7.0分)
某校组织全校800名学生开展安全教育，为了解该校学生对安全知识的掌握程度，现随机抽取40名学生进行安全知识测试，并将测试成绩(百分制)作为样本数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
①将样本数据分成5组：50≤x<60，60≤x<70，70≤x<80，80≤x<90，90≤x<100，并制作了如图所示的不完整的频数分布直方图；
②在80≤x<90这一组的成绩分别是：80，81，83，83，84，85，86，86，86，87，88，89．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)补全频数分布直方图；
(2)抽取的40名学生成绩的中位数是______ ；
(3)如果测试成绩达到80分及以上为优秀，试估计该校800名学生中对安全知识掌握程度为优秀的学生约有多少人？
21. (本小题7.0分)
端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗.今年端午节来临之际，某商场预测A粽子能够畅销.根据预测，每千克A粽子节前的进价比节后多2元，节前用240元购进A粽子的数量比节后用相同金额购进的数量少4千克.根据以上信息，解答下列问题：
(1)该商场节后每千克A粽子的进价是多少元？
(2)如果该商场在节前和节后共购进A粽子400千克，且总费用不超过4600元，并按照节前每千克20元，节后每千克16元全部售出，那么该商场节前购进多少千克A粽子获得利润最大？最大利润是多少？
22. (本小题8.0分)
如图，某数学兴趣小组为了测量古树DE的高度，采用了如下的方法：先从与古树底端D在同一水平线上的点A出发，沿斜面坡度为i=2： 3的斜坡AB前进20 7m到达点B，再沿水平方向继续前进一段距离后到达点C.在点C处测得古树DE的顶端E的俯角为37°，底部D的俯角为60°，求古树DE的高度(参考数据：sin37°≈35，cs37°≈45，tan37°≈34，计算结果用根号表示，不取近似值)．
23. (本小题8.0分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y=kx+2与x，y轴分别相交于点A，B，与反比例函数y=mx(x>0)的图象相交于点C，已知OA=1，点C的横坐标为2．
(1)求k，m的值；
(2)平行于y轴的动直线与l和反比例函数的图象分别交于点D，E，若以B，D，E，O为顶点的四边形为平行四边形，求点D的坐标．
24. (本小题12.0分)
如图，AB是⊙O的直径，AB=2 10，⊙O的弦CD⊥AB于点E，CD=6.过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点F，连接BC．
(1)求证：BC平分∠DCF；
(2)G为AD上一点，连接CG交AB于点H，若CH=3GH，求BH的长．
25. (本小题12.0分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+2x+c与坐标轴分别相交于点A，B，C(0,6)三点，其对称轴为x=2．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)点F是该抛物线上位于第一象限的一个动点，直线AF分别与y轴，直线BC交于点D，E．
①当CD=CE时，求CD的长；
②若△CAD，△CDE，△CEF的面积分别为S1，S2，S3，且满足S1+S3=2S2，求点F的坐标．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：∵|−1|=1，
∴−3<0<|−1|<2．
故选：C．
先化简|−1|，再比较各数大小得结论．
本题主要考查了有理数的大小比较，掌握有理数大小比较的方法和绝对值的意义是解决本题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：260150000000=2.6015×1011，
则数据260150000000用科学记数法表示为2.6015×1011．
故选：B．
将较大的数表示成科学记数法即可．
此题考查了科学记数法−表示较大的数，注意：将较大的数表示成科学记数法时，10的指数为数位数减去1．
3.【答案】A
【解析】解：如图，设∠1的对顶角为∠2．
∵AB//CD，∠D=55°，
∴∠2=180°−∠D=180°−55°=125°，
∴∠1=125°．
故选：A．
设∠1的对顶角为∠2，由AB//CD，利用“两直线平行，同旁内角互补”，可求出∠2的度数，再利用对顶角相等，即可得出∠1的度数．
本题考查了平行线的性质，牢记“两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体，
根据俯视图是三边形可判断出这个几何体应该是三棱柱．
故选：D．
先由主视图和左视图确定是柱体、锥体、还是球体，再由俯视图确定具体形状；也可以对选项几何体的各个视图与所给视图比较判断．
本题由物体的三种视图判断原来几何体的形状，考查空间想象能力，一般地，主视图和左视图的大致轮廓为矩形的几何体为柱体，俯视图为几边形就是几棱柱．
5.【答案】B
【解析】解：A、原式不能合并，不符合题意；
B、原式=6m5，符合题意；
C、原式不能合并，不符合题意；
D、原式=8m6，不符合题意．
故选：B．
各式计算得到结果，即可作出判断．
此题考查了单项式乘单项式，合并同类项，以及幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：∵1，2，3，4，5，5六个数中，众数是5，有2个，
∴随机选取一个数，这个数恰为该组数据的众数的概率为26=13，
故选：B．
根据概率的意义用概率公式直接求出即可．
本题考查概率的意义和概率公式，涉及众数的概念，熟悉相关概念是解题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：在平行四边形ABCD中，AB//DC，AB=CD，OD=OB，
∴∠CDP=∠APD，
∵DP平分∠ADC，
∴∠CDP=∠ADP，
∴∠ADP=∠APD，
∴AP=AD=4，
∵CD=6，
∴AB=6，
∴PB=AB−AP=6−4=2，
∵E是PD的中点，O是BD的中点，
∴EO是△DPB的中位线，
∴EO=12PB=1，
故选：A．
根据平行四边形的性质可得AB//DC，AB=CD，OD=OB，可得∠CDP=∠APD，根据DP平分∠ADC，可得∠CDP=∠ADP，从而可得∠ADP=∠APD，可得AP=AD=4，进一步可得PB的长，再根据三角形中位线定理可得EO=12PB，即可求出EO的长．
本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，熟练掌握这些知识是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：∵Δ=(2a)2−4×1×(a2−1)
=4a2−4a2+4
=4>0．
∴关于x的一元二次方程x2+2ax+a2−1=0有两个不相等的实数根．
故选：C．
先计算一元二次方程根的判别式，根据根的判别式得结论．
本题主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握“根的判别式与根的解的关系”是解决本题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：∵当m=3，n=1时，
a=12(m2−n2)=12(32−12)=4，b=mn=3×1=3，c=12(m2+n2)=12×(32+12)=5，
∴选项A不符合题意；
∵当m=5，n=1时，
a=12(m2−n2)=12(52−12)=12，b=mn=5×1=5，c=12(m2+n2)=12×(52+12)=13，
∴选项B不符合题意；
∵当m=7，n=1时，
a=12(m2−n2)=12(72−12)=24，b=mn=7×1=7，c=12(m2+n2)=12×(72+12)=25，
∴选项D不符合题意；
∵没有符合条件的m，n使a，b，c各为6，8，10，
∴选项C符合题意，
故选：C．
根据题目要求逐一代入符合条件的m，n进行验证、辨别．
此题考查了整式乘法运算和勾股数的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识进行正确地计算．
10.【答案】C
【解析】解：设菱形的两条对角线长分别为a、b，
由题意，得a+b=10ab=22．
∴菱形的边长= (a2)2+(b2)2
=12 a2+b2
=12 (a+b)2−2ab
=12 100−44
=12 56
= 14．
故选：C．
先设出菱形两条对角线的长，利用根与系数的关系及对角线与菱形面积的关系得等式，再根据菱形的边长与对角线的关系求出菱形的边长．
本题主要考查了根与系数的关系及菱形的性质，掌握菱形对角线与菱形的面积、边长间的关系，根与系数的关系及等式的变形是解决本题的关键．
11.【答案】B
【解析】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，
由勾股定理得：AB= AC2+BC2=10，
连接AE，OE，

设☉O的半径为r，则OA=OE=r，
∴OB=AB−OA=10−r，
∵BC与半圆相切，
∴OE⊥BC，
∵∠C=90°，即AC⊥BC，
∴OE//AC，
∴△BOE∽△BAC，
∴BEBC=BOAB=OEAC，
即：BE6=10−r10=r8，
由10−r10=r8得：r=409，
由BE6=10−rr得：BE=103，
∴CE=BC−BE=6−103=83，
在Rt△ACE中，AC=8，CE=83，
由勾股定理得：AE= AC2+CE2=8 103，
∵BE为半圆的切线，
∴∠BED=∠BAE，
又∠DBE=∠EBA，
∴△BDE∽△BEA，
∴BEAB=DEAE，
∴DE⋅AB=BE⋅AE，
即：DE×10=103×8 103，
∴DE=8 109．
故选：B．
首先求出AB=10，先证△BOE和△BAC相似，由相似三角形的性质可求出OE，BE的长，进而可求出CE的长和AE的长，然后再证△BDE和△BEA相似，最后利用相似三角形的性质即可求出DE．
此题主要考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，弦切角定理，勾股定理等知识点，解答此题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，灵活运用相似三角形的性质和勾股定理进行计算．
12.【答案】D
【解析】解：令x=0，则y=3，
∴二次函数与y轴的交点坐标为(0,3)，
二次函数的对称轴是：x=−−2a2a=1，
当a>0，Δ<0时，满足当0∴Δ=(−2a)2−4⋅a×3<0，
解得：a<3，
∴0当a<0时，令x=3，则9a−6a+3≥0，
解得：a≥−1，
∴−1≤a<0，
综上，a的取值范围为−1≤a<0或0(备注：没有正确选项，故选择D)
故选：D．
先求出二次函数与y轴的交点和对称轴，然后分a>0和a<0讨论得出a的取值范围．
本题主要考查了二次函数图象与系数的知识，弄清当013.【答案】2
【解析】解：∵23=8，
∴8的立方根是2．
故答案为：2．
利用立方根定义计算即可求出值．
此题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解本题的关键．
14.【答案】1
【解析】解：在平面直角坐标系中，若点P(2,−1)与点Q(−2,m)关于原点对称，则m的值是1．
故答案为：1．
平面直角坐标系中任意一点P(x,y)，关于原点的对称点是(−x,−y)，即求关于原点的对称点时，横、纵坐标都变成原数的相反数．
本题主要考查了平面直角坐标系内两点关于原点对称，掌握两点关于原点对称时，横、纵坐标均互为相反数是解题的关键．
15.【答案】6
【解析】解：2x+3y=3+a①x+2y=6②
①−②得：x+y=a−3．
∵x+y>2 2，
∴a−3>2 2，
解得a>2 2+3．
∵ 4< 8< 9，
∴2<2 2<3．
∴5<2 2+3<6，
∵a取整数值，
∴a可取大于5的所有整数．
故本题答案为：6(答案不唯一)．
解方程组得到x+y的关系式，再根据题目所给的x+y>2 2求出取值范围即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组、不等式以及无理数的估算，能正确估计一个无理数在哪两个整数之间是解决问题的关键．
16.【答案】27
【解析】解：作点E关于AC的对称点E′，连接FE′交AC于点P′，连接PE′，

∴PE=PE′，
∴PE+PF=PE′+PF≥E′F，
故当PE+PF取得最小值时，点P位于点P′处，
∴当PE+PF取得最小值时，求APPC的值，只要求出AP′P′C的值即可．
∵正方形ABCD是关于AC所在直线轴对称，
∴点E关于AC所在直线对称的对称点E′在AD上，且AE′=AE，
过点F作FG⊥AB交AC于点G，
则∠GFA=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAB=∠B=90°，∠CAB=∠ACB=45°，
∴FG//BC//AD，∠AGF=∠ACB=45°，
∴GF=AF，
∵E，F是正方形ABCD的边AB的三等分点，
∴AE′=AE=EF=FB，
∴GC=13AC，AE′GF=AEAF=12，
∴AG=23AC，AP′P′G=AE′GF=12，
∴AP′=13AG=13×23AC=29AC，
∴P′C=AC−AP′=AC−29AC=79AC，
∴AP′P′C=29AC79AC=27，
故答案为：27．
找出点E关于AC的对称点E′，连接FE′与AC的交点P′即为PE+PF取得最小值时，点P的位置，再设法求出AP′P′C的值即可．
本题考查轴对称−最短路线问题，熟悉运用将军饮马模型，以及转化思想是解题的关键．
17.【答案】解：原式=13+1+2×12+23
=13+1+1+23
=(13+23)+(1+1)
=1+2
=3．
【解析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，特殊角的三角函数值，以及减法法则计算即可求出值．
此题考查了实数的运算，零指数幂、负整数指数幂，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18.【答案】证明：∵BD//CE，
∴∠ABD=∠C，
在△ABD和△ECB中，
AB=EC,∠ABD=∠C,DB=BC,
∴△ABD≌△ECB(SAS)，
∴AD=EB．
【解析】由平行线的性质可得∠A=∠EBC，由“AAS”可证△ABD≌△BEC，可得BD=EC．
本题考查了全等三角形的判定和性质，涉及到平行线的性质，熟练运用全等三角形的判定是解题的关键．
19.【答案】解：原式=[4m+5m+1+(m−1)(m+1)m+1]×m+1m+2
=m2+4m+4m+1×m+1m+2
=(m+2)2m+1×m+1m+2
=m+2．
【解析】先算括号里面，再把除法统一成乘法．
本题主要考查了分式的混合运算，掌握分式的运算法则是解决本题的关键．
20.【答案】82分
【解析】解：(1)在70≤x<80这组的人数为：40−4−6−12−10=8(人)，
补全频数分布直方图如下：

(2)中位数应为40个数据由小到大排列中第20，21个数据的平均数，
∵数据处于较小的三组中有4+6+8=18(个)数据，
∴中位数应是80≤x<90这一组第2，3个数据的平均数，
∴中位数为：81+832=82(分)，
故答案为：82分；
(3)∵样本中优秀的百分比为：12+1040×100%=55%，
∴可以估计该校800名学生中对安全知识掌握程度为优秀的学生约有：55%×800=440(人)，
答：估计该校800名学生中对安全知识掌握程度为优秀的学生约有440人．
(1)样本容量减去其余4组人数即可；
(2)根据中位数的意义，判断出中位数处于80≤x<90这组，再按求中位数的方法求出即可；
(3)先算出样本中优秀人数所占百分比，再乘以学生总数即可．
本题考查频数分布直方图，中位数，用样本估计总体，熟练掌握相关概念的意义是解题的关键．
21.【答案】解：(1)设该商场节后每千克A粽子的进价为x元，
根据题意，得240x−4=240x+2，
解得x=10或x=−12(舍去)，
经检验，x=10是原分式方程的根，且符合题意，
答：该商场节后每千克A粽子的进价是10元；
(2)设该商场节前购进m千克A粽子，总利润为w元，
根据题意，得12m+10(400−m)≤4600，
解得m≤300，
w=(20−12)m+(16−10)(400−m)=2m+2400，
∵2>0，
∴w随着m增大而增大，
当m=300时，w取得最大值，最大利润为2×300+2400=3000(元)，
答：该商场节前购进300千克A粽子获得利润最大，最大利润是3000元．
【解析】(1)设该商场节后每千克A粽子的进价为x元，根据节前用240元购进A粽子的数量比节后用相同金额购进的数量少4千克，列分式方程，求解即可；
(2)设该商场节前购进m千克A粽子，总利润为w元，根据该商场在节前和节后共购进A粽子400千克，且总费用不超过4600元，列一元一次不等式，求出m的取值范围，再表示出w与m的函数关系式，根据一次函数的增减性即可确定如何进货才能获得最大利润，并求出最大利润即可．
本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，理解题意并根据题意建立相应关系式是解题的关键．
22.【答案】解：过点B作BF⊥AD于点F，过点C作CG⊥AD于点G，

在Rt△ABF中，
∵i=2： 3，
∴可设BF=2k，AF= 3k，
∵AB=20 7m，
∵BF2+AF2=AB2，
∴(2k)2+( 3k)2=(20 7)2，
解得k=20(负的已舍)，
∴BF=2k=40m，
延长BC，DE交于点H，
∵BC是水平线，DE是铅直线，
∴DH⊥CH，△CDH和△CEH都是△Rt，
∵AD，BC都是水平线，BF⊥AD，DH⊥BC，
∴四边形BFDH是矩形，
∴DH=BF=40m，
在Rt△CDH中，
∵tan∠DCH=DHCH，
∴CH=DHtan∠DCH=40tan60∘=40 33(m)，
在Rt△CEH中，
∵tan∠CEH=EHCH，
∴EH=CH⋅tan∠CEH=40 33⋅tan37°≈40 33×34=10 3(m)，
∴DE=DH−EH=(40−10 3)
答：古树DE的高度为(40−10 3)m．
【解析】过点B作BF⊥AD于点F，过点C作CG⊥AD于点G，先求出BF，CG，延长BC，DE交于点H，易知∠CHD=90°，在Rt△CDH中求出CH，在Rt△CEH中求出EH，即可求出古树DE的高度．
本题考查解直角三角形−坡度坡角，解直角三角形−仰角俯角问题，构造直角三角形，利用好三角函数关系是解题的关键．
23.【答案】解：(1)∵OA=1，
∴点A的坐标为(−1,0)，
则−k+2=0，
解得：k=2，
∴直线l的解析式为y=2x+2，
∵点C在直线l上，点C的横坐标为2，
∴点C的纵坐标为2×2+2=6，
∴点C的坐标为(2,6)，
∴m=2×6=12；
(2)设点D的坐标为(n,2n+2)，则点E的坐标为(n,12n)，
∴DE=|2n+2−12n|，
∵OB//DE，
∴当OB=DE时，以B，D，E，O为顶点的四边形为平行四边形，
∵直线y=2x+2与y轴交于点B，
∴OB=2，
∴|2n+2−12n|=2，
当2n+2−12n=2时，n1= 6，n2=− 6(舍去)，
此时，点D的坐标为( 6,2 6+2)，
当2n+2−12n=−2时，n1= 7−1，n2=− 7−1(舍去)，
此时，点D的坐标为( 7−1,2 7)，
综上所述：以B，D，E，O为顶点的四边形为平行四边形时，点D的坐标为( 6,2 6+2)或( 7−1,2 7).
【解析】(1)根据题意求出点A的坐标，进而求出k，再求出点C的坐标，求出m；
(2)分2n+2−12n=2、2n+2−12n=−2两种情况，计算即可．
本题考查的是反比例函数的图象和性质、平行四边形的性质，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
24.【答案】(1)证明：如图，连接OC，
∵CF是⊙O的切线，点C是切点，
∴OC⊥CF，
即∠OCF=90°，
∴∠OCB+∠BCF=90°，
∵CD⊥AB，AB是直径，
∴CE=DE=12CD=3，∠BEC=90°，
∴∠BCE+∠OBC=90°，
∵OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC，
∴∠BCE=∠BCF，
即BC平分∠DCF；
(2)解：连接OC，OG，过G作GM⊥AB于M，
∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，
∴CE=12CD=3，OC=OG=12AB= 10，
∴OE= OC2−CE2=1，
∵GM⊥AB，CD⊥AB，
∴CE//GM，
∴△GMH∽△CEH，
∴GHCH=GMCE=MHHE，
∵CH=3GH，
∴13=GM3=MHHE，
∴GM=1，
设MH=x，则HE=3x，
∴HO=3x−1.OM=4x−1，
在Rt△OGM中，OM2+GM2=OG2，
∴(4x−1)2+12=( 10)2，
解得x=1(负值舍去)，
∴BH=OH+OB=3×1−1+ 10=2+ 10．
【解析】(1)连接OC，根据切线的性质得到OC⊥CF，即∠OCF=90°，根据直角三角形的性质得到CE=DE=12CD=3，∠BEC=90°，求得∠BCE+∠OBC=90°，等量代换得到∠BCE=∠BCF，根据角平分线的定义得到BC平分∠DCF；
(2)连接OC，OG，过G作GM⊥AB于M，根据圆周角定理CD⊥AB，得到CE=12CD=3，OC=OG=12AB= 10，根据勾股定理得到OE= OC2−CE2=1，根据相似三角形性质得到GM=1，设MH=x，则HE=3x，根据勾股定理即可得到即可．
本题考查了切线的性质，垂径定理，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，勾股定理，熟练掌握各定理是解题的关键．
25.【答案】解：(1)由题意得：x=−22a=2c=6，
解得：a=−12c=6，
即抛物线的表达式为：y=−12x2+2x+6；
(2)令y=−12x2+2x+6=0，则x=6或−2，
即点A、B的坐标分别为：(−2,0)、(6,0)；
①设点F(m,−12m2+2m+6)，
由点A、F得，直线AF的表达式为：y=−12(m−6)(x+2)①，
当x=0时，y=−12(m−6)(x+2)=6−m，即点D(0,6−m)，
则CD=6−6+m=m，
由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y=−x+6②，
联立①②得：−12(m−6)(x+2)=−x+6，
解得：x=2m8−m，则点E(2m8−m,6−2m8−m)，
由点C、E的坐标得，CE=2 2m8−m，
∵CD=CE，即m=2 2m8−m，
解得：m=0(舍去)或8−2 2，
则CD=m=8−2 2；
②过点E、F分别作x轴的垂线，垂足分别为点M、N，

∵△CAD，△CDE，△CEF同高，则其面积比为边的比，
即S1+S3S2=AD+EFDE=2，
∵OD//EM//FN，
则ADDE=AOOM=2OM，EFDE=MNOM，
则S1+S3S2=AD+EFDE=2OM+MNOM=2，
即2xE+xF−xExE=2，
整理得：3xE−xF=2，
由①知，xE=2m8−m，xF=m，
则3×2m8−m−m=2，
解得：m=±4(舍去负值)，
经检验，m=4是方程的根，
则点F(4,6)．
【解析】(1)由待定系数法即可求解；
(2)①求出直线AF的表达式为：y=−12(m−6)(x+2)，得到点D(0,6−m)，进而求点E(2m8−m,6−2m8−m)，即可求解；
②证明S1+S3S2=AD+EFDE=2OM+MNOM=2，即可求解．
本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、三角形相似、面积的计算等，有一定的综合性，难度适中．