2023年黑龙江省哈尔滨市南岗区中考数学三模试卷（含解析）

2023年黑龙江省哈尔滨市南岗区中考数学三模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  室内温度，室外温度，则室内温度比室外温度高(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列运算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图是用个相同的立方体搭成的几何体，其主视图是(    )

A.
B.
C.
D.

5.  若点在反比例函数的图象上，则的值是(    )

A. ． B.  C.  D.

6.  如图，为的直径，为的切线，连接交于点，连接，若，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

7.  将抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位后所得到的抛物线的解析式为(    )

A.  B.
C.  D.

8.  某商品经过连续两次涨价，售价由原来的每件元涨到每件元，则平均每次涨价的百分率为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  分式方程的解为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，四边形是平行四边形，点，分别在的延长线，的延长线上，连接分别交，于点，，则下列结论错误的是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）

11.  年月日，神舟十三号飞船脱离天宫空间站后成功返回地面，总共飞行里程约公里数据用科学记数法表示为______ ．

12.  在函数中，自变量的取值范围是______．

13.  计算的结果是______ ．

14.  把多项式分解因式的结果是______ ．

15.  不等式组的解集为______．

16.  二次函数的最大值是______ ．

17.  不透明布袋中装有除颜色外没有其他区别的个红球和个白球，搅匀后从中摸出一个球，放回搅匀，再摸出一个球，两次都摸出白球的概率是______．

18.  一个扇形的弧长是，面积是，则此扇形的半径是______ ．

19.  已知：在中，，，点在边上，连接，若是直角三角形，则的大小为______ 度
 

20.  如图，在矩形中，点在边上，连接，交于点，若，，，则线段的长为______ ．

三、解答题（本大题共7小题，共60.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

21.  本小题分
先化简，再求代数式的值，其中．

22.  本小题分
如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为，线段的端点、均在小正方形的顶点上，请按要求画出图形．
画出，要求点在小正方形的顶点上，且为轴对称图形；
画出，要求点在小正方形的顶点上，且的面积为；
连接，请直接写出线段的长．

23.  本小题分
为了解某校九年级学生开展“综合与实践”活动的情况，抽样调查了该校部分九年级学生上学期参加“综合与实践”活动的天数，并根据调查所得的数据绘制了如下尚不完整的两幅统计图根据图表信息，解答下列问题：

______ ；
通过计算补全条形统计图；
根据抽样调查的结果，请你估计该校九年级名学生中上学期参加“综合与实践”活动天及以上的人数．

24.  本小题分
已知：，点，分别在，上，且．
如图，求证：；
如图，交于点，连接，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中四对全等的三角形．

25.  本小题分
某班级为学习成绩进步的学生购买奖品，计划购买同一品牌的钢笔和自动铅笔若购买该品牌的支钢笔和支自动铅笔共需元；若购买该品牌的支钢笔和支自动铅笔共需元．
求该品牌的钢笔、自动铅笔每支的定价分别是多少元；
该班级决定购买该品牌的钢笔和自动铅笔共支，总费用不超过元，那么最多可购买该品牌的钢笔多少支？

26.  本小题分
已知：四边形是的内接四边形，为对角线，于点，．
如图，求证：是的直径；
如图，连接，，的平分线交于点，连接，若，求证：；
如图，在的条件下，连接，若，，求四边形的面积．

 

27.  本小题分
已知：在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线为常数，且交轴于点，交轴于点．
求的度数；
如图，点是轴的负半轴上一点，点是线段上一点，连接，，且，设点的横坐标为，点的纵坐标为，求与之间的函数关系式不要求写出自变量的取值范围；
如图，在的条件下，在线段的延长线上取一点，使得过点作轴，点在第一象限内，连接，且作，连接，，，过点作于点，过点作交的延长线于点，其中点在点的右侧，连接，且，若，求点的坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
，
．
所以室内温度比室外温度高．
故选：．
用室内温度减去室外温度，然后根据减去一个数等于加上这个数的相反数进行计算即可得解．
本题考查了有理数的减法，熟记减去一个数等于加上这个数的相反数是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：、与不属于同类项，不能合并，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：．
利用同底数幂的除法的法则，合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，幂的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查同底数幂的除法，合并同类项，幂的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

3.【答案】 

【解析】解：、既是中心对称图形又是轴对称图形，符合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
C、不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；
D、不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；
故选：．
根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
此题考查了轴对称图形和中心对称图形，掌握轴对称图形和中心对称图形的概念是解题关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：由题意知，原组合体的主视图为，
故选：．
根据主视图是从正面看，得出结论即可．
本题主要考查三视图的知识，熟练掌握三视图的知识是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：在反比例函数的图象上，
，
．
故选：．
此题可直接把点代入解析式即可得到的值．
本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，直接代入求值即可，较为简单．
 

6.【答案】 

【解析】解：为的切线，
半径，
，
，
，
，
，
，
．
故选：．
由切线的性质定理，得到，由，求出，由等腰三角形的性质，得到，由三角形外角的性质得到，即可求出的度数．
本题考查切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，掌握以上知识点是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：抛物线的顶点坐标为，
抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位得到的抛物线的顶点坐标为，
平移后抛物线的解析式为．
故选：．
先根据抛物线的顶点式得到抛物线的顶点坐标为，则抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位得到的抛物线的顶点坐标为，然后再根据顶点式即可得到平移后抛物线的解析式．
此题考查了二次函数的图象与几何变换，解题的关键是熟练掌握二次函数的平移规律：上加下减，左加右减．
 

8.【答案】 

【解析】解：设平均每次涨价的百分率为，
由题意得：，
解得：，不符合题意，舍去，
的值为，
即平均每次涨价的百分率为，
故选：．
设平均每次涨价的百分率为，利用经过两次涨价后的价格原价平均每次涨价的百分率，列出一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：去分母得：，
解得：，
经检验是分式方程的解．
故选：．
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
 

10.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，，，
，
，
故A不符合题意；
，
，
，
故B不符合题意；
，
，
，
故C不符合题意；
，
∽，
，
，
故D符合题意，
故选：．
由，根据平行线分线段成比例定理得，可判断不符合题意；由得，所以，可判断不符合题意；由得，所以，可判断不符合题意；由证明∽，得，则，可判断符合题意，于是得到问题的答案．
此题重点考查平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质等知识，根据平行线分线段成比例定理或相似三角形的性质正确地列出比例式是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

12.【答案】 

【解析】解：当，即时，函数有意义．
故答案为：全．
根据函数表达式是整式时，自变量可取全体实数解答．
本题考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为；
当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
 

13.【答案】 

【解析】解：原式
．
故答案为：．
直接化简二次根式，再利用二次根式的加减运算法则计算得出答案．
此题主要考查了二次根式的加减，正确化简二次根式是解题关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：

．
故答案为：．
直接提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可．
此题主要考查了提取公因式法分解因式以及公式法分解因式，正确运用乘法公式是解题关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：
由得：；
由得：．
，
故答案为．
先求出两个不等式的解集，再求其公共解．
本题考查了解一元一次不等式组，求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到．
 

16.【答案】 

【解析】解：，
有最大值，
当时，有最大值．
故答案为：．
利用二次函数的性质解决问题．
本题主要考查二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：用列表法表示所有可能出现的情况如下：

共有种等可能出现的结果，其中两次都是白球的有种，
两次都摸出白球的概率是，
故答案为：．
列举出所有可能出现的结果，进而求出“两次都是白球”的概率．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，求出概率．
 

18.【答案】 

【解析】解：，
，
解得，
故答案为：．
根据扇形面积公式计算即可．
本题考查的是扇形面积公式，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键．
 

19.【答案】或 

【解析】解：如图，

是直角三角形，，，
当时，；
当时，，
则．
故答案为：或．
分两种情况讨论：；，再结合三角形的内角和定理进行求解即可．
本题主要考查三角形的内角和定理，解答的关键是明确中直角的位置．
 

20.【答案】 

【解析】解：延长到，使，连接，

在矩形中，，
．
，，
设，则，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，
在中，，
在中，，
，
或负值舍去，
的长为，
故答案为：．
延长到，使，连接，在矩形中，，利用角的和差倍分关系可得，设，则，根据勾股定理可得答案．
此题考查的是相似三角形的判定与性质，矩形的性质，正确作出辅助线是解决此题的关键．
 

21.【答案】解：原式．
，
原式． 

【解析】分别化简代数式和的值，代入计算．
本题的关键是化简，然后把给定的值代入求值．同时还考查了特殊三角函数的值．
 

22.【答案】解：如图，即为所求；

如图，即为所求；
由勾股定理得，． 

【解析】根据等腰三角形是轴对称图形，取即可；
以为底，高为，即可画出；
利用勾股定理直接计算即可．
本题主要考查了作图轴对称变换，勾股定理等知识，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．
 

23.【答案】 

【解析】解：，
，
故答案为：；
调查的总人数为：；
参加“综合与实践”活动天数为天的学生人数为名，
补全条形图如下：

估计该校九年级名学生中上学期参加“综合与实践”活动天及以上的人数为名．
答：估计该校九年级名学生中上学期参加“综合与实践”活动天及以上的人数为名．
根据各部分所占百分比之和为可求得的值，由参加“综合与实践”活动为天的人数及其所占百分比可得的值；
用总人数乘以活动天数为天的学生人数所占百分比可得对应人数，从而补全图形；
用总人数乘以样本中参加“综合与实践”活动天及以上的人数所占百分比即可得．
此题考查了条形统计图，扇形统计图，以及用样本估计总体，弄清题中的数据是解本题的关键．
 

24.【答案】证明：，，
，
即，
在与中，
，
≌，
；
解：由得≌，
，，
在与中，
，
≌，
，
在与中，
，
≌，
，
即，
在与中，
，
≌．
综上所述：全等三角形有：≌，≌，≌，≌． 

【解析】由已知条件可求得，利用可判定≌，即有；
根据条件写出相应的全等的三角形即可．
本题主要考查全等三角形的判定，解答的关键是结合图形分析清楚各角与各边的关系．
 

25.【答案】解：该品牌的钢笔、自动铅笔每支的定价分别元，元，
根据题意得，
解得，
答：该品牌的钢笔、自动铅笔每支的定价分别元，元；
设该校最多可购买支该品牌的钢笔，则学校需要自动铅笔的个数是个，
根据题意得，
解得：，
答：该校最多可购买支该品牌的钢笔． 

【解析】该品牌的钢笔、自动铅笔每支的定价分别元，元，根据购买支钢笔和支自动铅笔共需元，购买支钢笔和支自动铅笔共需元建立方程组，求解即可；
设该校最多可购买支该品牌的钢笔，则学校需要自动铅笔的个数是个，根据学校购买钢笔和自动铅笔的总费用不超过元建立不等式，求解即可．
本题考查的是二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，理解题意，确定相等关系与不等关系是解本题的关键．
 

26.【答案】证明：，
，
，
，
是的直径；
证明：平分，
，
又，，
≌，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
；
解：如图，过点作，交的延长线于点，延长交于点，过点作于点．

令，则．
，，，
，
又，
≌，
，
，
，
，
，
，
在中，
，
，
解得，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，，
又，
，
，
，
又，
四边形是平行四边形，
是的直径，
，
，
，
在中，，
在中，，
令，则，
，
，
，
，
，
，
． 

【解析】证出，则可得出结论；
证明≌，由全等三角形的性质得出，证出，则可得出结论；
过点作，交的延长线于点，延长交于点，过点作于点令，则证明≌，得出，由勾股定理得出，解得，
求出，令，则，得出，求出，则可得出答案．
本题是圆的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，解直角三角形，正确地作出辅助线是解题的关键．
 

27.【答案】解：直线为常数，且过点，
，
解得：，
所以直线为：，
当时，，
，
，
，
；
过作于，

，
，
，，
，
，，
≌，
，
即：；
如图，延长交轴于，过作分别交的延长线，的延长线于点，，过点作于点，过点作于点，在的延长线上取点，使得，连接，交于点．
轴，
，
，，
≌，，
，．
令，则，
，
，
，
，
，
，
轴，
，
，
，
，，
，
，
设，，
，
，
，
则，
，，
，
，
四边形是矩形，
矩形是正方形；
，，
≌，，
，，，
，
，，
又，
≌，
，，
，
解得：，
，，，
，
，，
，，
，
，
，
，
设直线的解析式为，
，
解得：，
，
设点的坐标为，
，，，，
在中，
，
，
，
在中，
，
，
，
，
解得：，
． 

【解析】根据待定系数法求解即可；
过作于，先证明≌，再利用全等三角形的性质求解即可；
设法求出直线的解析式，再利用勾股定理表示和，利用列方程求解即可．
本题考查了一次函数的应用，解题涉及待定系数法求函数解析式，全等三角形的判定和性质，矩形和正方形的判定和性质，勾股定理，解一元一次方程．掌握待定系数法、勾股定理及特殊四边形的判定是解题的关键．