2022-2023学年四川省宜宾市叙州区龙文学校八年级（下）期中数学试卷（1）（含解析）

2022-2023学年四川省宜宾市叙州区龙文学校八年级（下）期中数学试卷（1）

一、选择题（本大题共12小题，共48.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  如果分式在实数范围内有意义，则的取值范围是(    )

A.  B.  C. 全体实数 D.

2.  若分式，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  信息技术发展的今天，芯片制造的核心是光刻技术，我国的光刻技术水平已突破到，已知，则用科学记数法表示是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  小明从家骑车到学校，路上经过一座桥，上桥速度为米秒，下桥速度为米秒，若上桥和下桥路程相同，则小明上、下桥的平均速度为米秒．(    )

A.  B.  C.  D.

5.  已知一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，且随着的增大而增大，则点的坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  点是第二象限内的点，且点到轴的距离为，到轴的距离为，则点的坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  龟兔赛跑是一个非常励志的寓言故事龟兔同时间出发，朝终点跑去，刚开始兔子遥遥领先，就偷懒睡起了大觉，乌龟却一直坚持不懈的努力前进，当兔子一觉醒来时，发现乌龟已经到达比赛的终点了若比赛中龟兔距出发点的距离单位：与出发时间单位：的关系如图，则乌龟追上兔子所需要的时间是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，当时，的取值范围是(    )

A. 或
B. 或
C. 或
D. 或

9.  重庆马拉松在重庆市南岸区海棠烟雨公园鸣枪开跑小南、小开参加千米的迷你马拉松比赛，两人约定从地沿相同路线跑向距地千米的地已知小南跑步的速度是小开的倍若小开先跑分钟，小南才开始从地出发，两人恰好同时到达地，设小开跑步的速度为每小时千米，则可列方程为(    )

A.  B.
C.  D.

10.  若关于的分式方程有增根，则的值为(    )

A.  B.  C. 或 D. 或

11.  如图点，都在反比例函数的图象上，点是直线上的一个动点，当最小时，点坐标是(    )

A.
B.
C.
D.

12.  如图，平行四边形的顶点在轴正半轴上，平行于轴，直线交轴于点，，连接，反比例函数的图象经过点已知，则的值是(    )

 

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

13.  已知点与关于轴对称，则______．

14.  把直线向上平移个单位长度，平移后的直线与轴的交点坐标为______ ．

15.  计算：______．

16.  如图，将平行四边形放置在平面直角坐标系中，为坐标原点，若点的坐标是，点的坐标是，则点的坐标是______ ．

17.  已知反比例函数的图象经过矩形边的中点，交于点，四边形的面积为，则的值为______．

 

18.  已知直线：和直线：，其中为非零的自然数当，，，，
，时，设直线，与轴围成的三角形的面积分别为，，，，，，则的值为______ ．

三、解答题（本大题共7小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
计算：．
解方程：
先化简，再求值：请选一个你喜欢的数求解．

20.  本小题分
如图，点为平行四边形的边的中点，连结并延长交的延长线于．
求证：；
若，，求的度数．

21.  本小题分
已知关于的分式方程．
若这个方程的解是负数，求取值范围；
若这个方程无解，则 ______ 直接写出答案

22.  本小题分
A、两地相距千米，某人开车从地匀速到地，设小汽车的行驶时间为小时，行驶速度为千米小时，且全程限速，速度不超过千米小时．
写出关于的函数表达式；
若某人开车的速度不超过每小时千米，那么他从地匀速行驶到地至少要多长时间？
若某人上午点开车从地出发，他能否在点分之前到达地？请说明理由．

23.  本小题分
如图，一次函数与反比例函数的图象在第一象限相交于，两点，点坐标是，垂直轴交轴于点，为坐标原点，，连接．
求反比例函数的关系式；
若点在轴上，的面积和的面积相等，求点的坐标．

24.  本小题分
同学们为校园文化艺术节活动到文具店挑选奖品，准备购买一些中性笔和笔记本，如果分别用元购买中性笔和笔记本，购买笔记本的数量比中性笔的数量少，已知中性笔的单价为笔记本单价的．
求中性笔、笔记本的单价分别为多少元？
学校计划购买中性笔、笔记本数量总和为，如果购买笔记本本，学校总计划费用不超过元，并且要求中性笔数不能超过笔记本的倍，设总费用元，那么应该如何安排购买方案才能使总费用最少，并求出费用的最小值．

25.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，过点的另一直线交轴正半轴于，且面积为．
求点的坐标及直线的表达式；
若为线段上一点，且的面积等于的面积，求的坐标；
在的条件下，点为直线上一动点，在轴上是否存在点，使以点、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：分式在实数范围内有意义，
，
解得：．
故选：．
根据分式有意义的条件是分母不等于零，进而得出答案．
此题主要考查了分式的有意义的条件，正确掌握相关定义是解题关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：分式，
且，
解得：．
故选：．
直接利用分式的值为，则分子为零，分母不等于零，进而得出答案．
此题主要考查了分式的值为零的条件，正确把握分式的值为零的条件是解题关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：因为，
所以
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要确定的值以及的值．
 

4.【答案】 

【解析】解：根据题意，得．
故选：．
设上桥所经过的路程为“”，则上桥的时间为秒，下桥的时间是秒，再用上桥与下桥所经过的总路程除以上桥和下桥的总时间，就是小玲骑车过这座桥的平均速度，列式解答即可．
本题主要考查了列代数式分式，解题的关键是找准等量关系．
 

5.【答案】 

【解析】解：把代入中，
得，
解得，
随着的增大而增大，
，
，
，
一次函数的解析式为：，
令，得，
解得，
，
故选：．
把点坐标代入一次函数的解析式中求得的值，进一步根据一次函数的性质确定出一次函数的解析式，再求一次函数图象与轴交点的坐标便可．
本题考查了一次函数的图象与性质，关键是用待定系数法求出一次函数的解析式．
 

6.【答案】 

【解析】解：点在第二象限，
点的横坐标为负，纵坐标为正，
到轴的距离是，
纵坐标为：，
到轴的距离是，
横坐标为：，
，
故选：．
根据第二象限内点的特点及点到坐标轴的距离定义，即可判断出点的坐标．
本题主要考查了平面直角坐标系中各个象限的点的坐标的符号特点，熟练掌握其特点是解题关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：由图象可得，
乌龟的速度为：米，
，
即乌龟追上兔子所需要的时间是，
故选：．
根据图象中的数据，可以计算出乌龟的速度，再根据乌龟追上兔子时，乌龟前进的路程为米，然后即可计算出乌龟追上兔子所需要的时间．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

8.【答案】 

【解析】解：一次函数的图象过点，，
，，
即，，
点，，
由图象可知，
当时，或，
故选：．
求出点、点的坐标，再根据两个函数的交点坐标以及增减性进行判断即可．
本题考查反比例函数、一次函数的交点坐标，掌握反比例函数、一次函数图象上点的坐标特征是正确解答的前提．
 

9.【答案】 

【解析】解：根据题意，得，
故选：．
根据小南、小开参加千米的迷你马拉松比赛，小开比小南多用时分钟，列分式方程即可，注意换算单位．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，理解题意并根据题意找准等量关系是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：，
去分母，得．
去括号，得．
移项，得．
合并同类项，得．
的系数化为，得．
关于的分式方程有增根，
或．
或．
故选：．
先解分式方程，再根据分式方程的增根的定义解决此题．
本题主要考查分式方程的增根，熟练掌握分式方程的增根的定义是解决本题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：点，都在反比例函数的图象上，
，
，
，，
关于直线的对称点，

设直线的函数关系式为：，
，
解得，，
，
为与直线的交点，
，
，
，
故选：．
先根据，都在反比例函数图象上，求出，坐标，再求出的对称点，利用两点之间，线段最短来解答即可．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标的特征，以及轴对称求最小值问题，解答本题的关键是求出关于直线的对称点，利用数形结合的思想解答．
 

12.【答案】 

【解析】解：设点坐标为，则，

平行于轴，，
．
，，
，
∽，
，
，
点在反比例函数的图象上，
．
故选：．
设点坐标为，则，由平行四边形的性质可得出，结合，即可证出∽，根据相似三角形的性质可得出，再根据即可求出，此题得解．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质，由∽得出是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：点与关于轴对称，
，
故答案为：．
根据关于轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得．
此题主要考查了关于轴对称的点的坐标，关键是掌握关于轴的对称点的坐标特点．
 

14.【答案】 

【解析】解：直线沿向上平移个单位，
平移后的解析式为：，
当时，则，
平移后直线与轴的交点坐标为：．
故答案为：．
利用一次函数平移规律得出平移后解析式，进而得出图象与轴的交点．
此题主要考查了一次函数图象与几何变换，得出平移后解析式是解题关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：原式
，
故答案为：．
根据商的乘方、分式的除法法则计算即可．
本题考查的是分式的乘除法，掌握分式的除法法则是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
故答案为．
利用平行四边形的性质即可解决问题．
本题考查平行四边形的性质、坐标与图形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

17.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及反比例函数系数的几何意义，解题的关键是得出关于的一元一次方程．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，通过分割图形求面积法找出关于的方程式关键．
根据点在反比例函数图象上，设点的坐标为，则点，点，再将代入反比例函数解析式中求出点的坐标，通过分割图形求面积法即可得出关于的一元一次方程，解方程即可得出结论．
【解答】
解：反比例函数的图象经过矩形边的中点，
设点的坐标为，则点，点，
令中，则，
点
，
．
故答案为：．  

18.【答案】 

【解析】解：当时，有，
直线与轴的交点坐标为，
同理，可得出：直线与轴的交点坐标为，
两直线与轴交点间的距离．
联立直线、成方程组，得：，解得：，
直线、的交点坐标为．
直线、与轴围成的三角形的面积，
．
故答案为．
求得两条直线与轴的交点以及两条直线的交点即可求得三角形的面积为，进而即可求得的值．
此题考查反比例函数与一次函数的交点问题，关键是正确求出各个三角形的面积．
 

19.【答案】解：原式
；

方程两边同时乘以得，，解得，
把代入得，，
故是原分式方程的根；

原式



，
当时，原式． 

【解析】先根据有理数乘方的法则、数的开方法则及绝对值的性质分别计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可；
先去分母，把分式方程化为整式方程，求出的值，代入最简公分母进行检验即可；
先算括号里面的，再算除法，最后算减法，选取合适的的值代入进行计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，分式中的一些特殊求值题并非是一味的化简，代入，求值．许多问题还需运用到常见的数学思想，如化归思想即转化、整体思想等，了解这些数学解题思想对于解题技巧的丰富与提高有一定帮助．
 

20.【答案】证明：是边的中点，
，
四边形是平行四边形，
，
，
在和中，
，
≌；
解：四边形是平行四边形，
，
≌，
，
，
，
，
，
． 

【解析】利用中点定义可得，再用平行四边形的性质，证明≌，即可得结论；
结合根据平行四边形的性质，可得，进而可得结果．
此题主要考查了平行四边形的性质，关键是掌握平行四边形对边平行且相等．
 

21.【答案】或或 

【解析】解：方程两边同乘以得：，
解得：
由题意得：，，
解得：且；
由得：，
由题意得：或，
解得：或或，
故答案为：或或．
先把方程化为整式方程，再根据题意求解；
根据：“分式方程无解，则整式方程无解，或是增根”求解．
本题考查了分式方程，化分式方程为整式方程是解题的关键．
 

22.【答案】解：根据题意，路程为，
设小汽车的行驶时间为小时，行驶速度为千米小时，
则关于的函数表达式为；
设从地匀速行驶到地要小时，则，
解得：，
他从地匀速行驶到地至少要小时；
，
，
解得：，
某人从地出发最少用个小时才能到达地，
点至点分，是小时，
他不能在点分之前到达地． 

【解析】根据题意列出函数表达式；
根据函数表达式，求自变量的范围即可，求得的最大值；
根据函数表达式，求自变量的范围即可，求得的最大值，再和实际情况比较即可．
本题考查了列函数表达式，根据函数关系式求自变量的范围，反比例函数的应用，列出表达式是解题的关键．
 

23.【答案】解：设，则，
，，
一次函数的图象经过点，
，解得，
，
把代入反比例函数得：，
反比例函数解析式为；
由，解得或，
，
，
，
的面积和的面积相等，
，即，
，
或． 

【解析】设，则，可得，把点代入一次函数解析式即可求出的值，进而表示出点的坐标，利用待定系数法求解析式即可；
将一次函数和反比例函数联立求出点的坐标，利用面积公式求得的面积，根据题意点在轴上，的面积和的面积相等，可得到，求得的长，进而求得点的坐标．
本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，涉及到待定系数法求解析式、三角形面积以及求函数交点坐标，能够数形结合是解题的关键．
 

24.【答案】解：设笔记本单价为元，则中性笔的单价为元，
由题意得：，
解得：，
经检验是原方程的解，
中性笔的单价为元．
答：中性笔、笔记本的单价分别为元和元；

购买中性笔、笔记本数量总和为，购买笔记本本，
购买中性笔支．
由题意得：．
学校总计划费用不超过元，中性笔数不能超过笔记本的倍，
，
解得：．
，
随的增大而增大．
，且为整数，
当时，最小，，
购买笔记本本，中性笔支，此时费用最小，为元． 

【解析】设笔记本单价为元，则中性笔的单价为元，由用元购买中性笔和笔记本，购买笔记本的数量比中性笔的数量少，即可列出关于的分式方程，解出的值，进而即可求解；
由题意得列出与的函数关系式和关于的一元一次不等式组，解出的解集，再结合一次函数的性质解答即可．
本题考查分式方程的实际应用，一次函数的实际应用，一元一次不等式组的实际应用．理解题意，找出数量关系，列出等式和不等式是解题关键．
 

25.【答案】解：直线与轴交于点，与轴交于点，
，，
即，，
面积为，
，
，
，
设直线的表达式为，
将点、的坐标代入一次函数表达式得：，
解得：，
直线的表达式为：；

，
，解得：，
解得：，
；

，，
设直线的表达式为，
将点、的坐标代入一次函数表达式得：，
解得：，
直线的表达式为：．
当为平行四边形的边，四边形为平行四边形时，如图：

，，，
点的纵坐标是，
点为直线上一动点，直线的表达式为：．
，解得：，
，
，
，
；
当为平行四边形的边，四边形为平行四边形时，如图：过点作轴于，

四边形为平行四边形，
，，，
≌，
，
，
，
点的纵坐标是，
点为直线上一动点，直线的表达式为：．
，解得：，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
；
当为平行四边形的对角线时，

，，，
点的纵坐标是，
点为直线上一动点，直线的表达式为：．
，解得：，
，
，
，
．
综上，存在，满足条件的点的坐标为或或． 

【解析】根据题意求出、点的坐标，再根据的面积即可求出点坐标，最后根据、点的坐标用待定系数法求的直线函数解析式即可；
，利用三角形的面积公式即可求解；
求出直线的表达式，分三种情形：当为平行四边形的边，四边形为平行四边形时，当为平行四边形的边，四边形为平行四边形时，当为平行四边形的对角线时，利用平行四边形的性质即可解决问题．
本题属于一次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，三角形的面积，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．