2022-2023学年广东省清远市清新二中、山塘初中等五校八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年广东省清远市清新二中、山塘初中等五校八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  在以下”绿色食品、响应环保、可回收物、节水“四个标志图案中，是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  等腰三角形的顶角是，则它的底角是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列运动属于平移的是(    )

A. 空中放飞的风筝
B. 飞机在跑道上滑行到停止的运动
C. 球被运动员投出并进入篮筐的过程
D. 乒乓球比赛中的高抛发球后，乒乓球的运动方式

4.  下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是(    )

A.  B.
C.      D.

5.  已知，则下列结论不成立的是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  是一个完全平方式，则等于(    )

A.  B.  C.  D.

7.  一次函数与的图象如图所示，则的解集为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，在中，，，线段的垂直平分线分别交，于点，，连接若，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，为正方形内一点，，将绕点逆时针旋转得到，则的长是(    )

A.
B.
C.
D.

10.  如图，点在等边的边上，，射线，垂足为点，点是射线上一动点，点是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  将点向左平移个单位长度得到的点的坐标是______．

12.  因式分解：______．

13.  若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围为______．

14.  如图，在中，是边上的高，平分，交于点，已知，，，则的面积等于        ．

15.  如图，在中，，，将绕点逆时针方向旋转到的位置，则图中阴影部分的面积是______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
因式分解：
 

17.  本小题分
解不等式组：，并指出它的所有的非负整数解．

18.  本小题分
如图，是正三角形内的一点，且，，若将绕点逆时针旋转后，得到．
______ ，连接，则 ______ ；
求的度数．

19.  本小题分
已知关于，的二元一次方程组的解满足，求的取值范围．

20.  本小题分
如图，已知，，
用尺规作图法在线段上求作一点，使得到的距离等于不写作法保留作图痕迹；
若，，求的长．

21.  本小题分
已知，．
求的值；
求的值．

22.  本小题分
为按照国家体育器材设施配备目录及标准要求配足体育设施器材，某校计划购买一批篮球和足球已知购买个篮球和个足球共需元，购买个篮球和个足球共需元．
求每个篮球、足球的售价；
如果学校计划购买这两种球共个，足球个数不超过篮球个数的倍，请你给出一种费用最少的购买方案，并求出该方案所需费用．

23.  本小题分
如图，在中，，，，动点从点出发，按的路径，以每秒的速度运动，设运动时间为秒．

当时，求的面积；
已知，当点运动到时，请利用备用图继续探索：当为何值时，是等腰三角形？

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形．对称中心在中心点故正确；
C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故错误；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故错误．
故选：．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念解答即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
 

2.【答案】 

【解析】解：等腰三角形的顶角是，等腰三角形的两底角相等，
它的底角是：，
故选：．
根据“等腰三角形的两底角相等”及三角形内角和定理求解即可．
此题考查了等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：、空中放飞的风筝翅膀和飞行的角度，不断变化，不是平移；
B、飞机在跑道上滑行到停止的运动，是平移；
和中篮球和乒乓球是在旋转中前进，不是平移．
故选：．
根据平移的定义，逐一判断，排除错误答案．
本题考查了图形的平移，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，学生易混淆图形的平移与旋转或翻转而误选．
 

4.【答案】 

【解析】解：，从左边到右边的变形是整式乘法计算，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B.，从左边到右边的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
C.，因式分解错误，故本选项不符合题意；
D.，等式的右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
故选：．
根据因式分解的定义判断即可．
本题考查了因式分解的定义和因式分解的方法，能熟记因式分解的定义是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．
 

5.【答案】 

【解析】解：、由，可得，成立，故本选项不合题意；
B、由，可得，成立，故本选项不合题意；
C、由，可得，成立，故本选项不合题意；
D、由，可得，故本选项符合题意；
故选：．
根据不等式的性质解答即可．
此题考查不等式的性质，关键是根据不等式的性质解答．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
，
故选：．
根据完全平方公式即可求出答案．
本题考查完全平方公式，解题的关键是熟练运用完全平方公式，本题属于基础题型．
 

7.【答案】 

【解析】解：与的图象交点为，且，
．
故选：．
以交点坐标的横坐标为不等式解集的界点值，结合图象写出解集即可．
本题考查了一次函数交点与一元一次不等式的解集的确定，正确理解交点的横坐标是不等式解集的界点值是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：，，
，
垂直平分，
，
，
，
，
，
故选：．
根据直角三角形的性质可得的度数，根据线段垂直平分线的性质可得，根据含角的直角三角形的性质可得的长．
本题考查了含角的直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：将绕点逆时针旋转得到，
，，
，
故选：．
由旋转的性质可得，，由勾股定理可求解．
本题考查了旋转的性质，正方形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：作点关于的对称点，过作交于点，交于点，连接，
，
，
此时的值最小，
是正三角形，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
故选：．
作点关于的对称点，过作交于点，交于点，连接，此时的值最小，由题意可得，则，再由，，可得，解得，可求．
本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，等边三角形的性质，直角三角形的性质是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：点向左平移个单位长度得到的点，
点的坐标为．
故答案为：．
根据向左平移横坐标减，纵坐标不变解答．
本题考查了坐标与图形变化平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
 

12.【答案】 

【解析】解：原式．
故答案为：．
原题中的公因式是，用提公因式法来分解因式．
本题考查了提公因式法分解因式，提取公因式后就还剩下因式．
 

13.【答案】 

【解析】解：要使二次根式在实数范围内有意义，必须，
解得：，
故答案为：．
根据二次根式有意义的条件得出，求出即可．
本题考查了二次根式有意义的条件和解一元一次不等式，能得出关于的不等式是解此题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：作交于点，
是边上的高，
，
平分，
，
，
，
，
，
故答案为：．
先作辅助线交于点，然后根据角平分线的性质，可以得到，再根据三角形的面积公式，即可求得的面积．
本题考查角平分线的性质，解答本题的关键是作辅助线，求出的长．
 

15.【答案】 

【解析】解：，，
，
将绕点逆时针方向旋转到的位置，
，，
是等边三角形，
图中阴影部分的面积，
图中阴影部分的面积，
故答案为：．
由直角三角形的性质可求，由旋转的性质可得，，可得是等边三角形，由图中阴影部分的面积，可求解．
本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练运用旋转的性质是本题的关键．
 

16.【答案】解：原式
 

【解析】根据因式分解法即可求出答案．
本题考查因式分解法，解题的关键是熟练运用因式分解法，本题属于基础题型．
 

17.【答案】解：，
解不等式，得，
解不等式，得，
所以不等式组的解集是，
将该不等式组的解集在数轴上表示如图所示

由数轴可知，它的所有的非负整数解为，，，，． 

【解析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出不等式组的解集，然后确定非负整数即可．
本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解的应用，能求出不等式组的解集是解此题的关键．
 

18.【答案】   

【解析】解：如图，连接，
为等边三角形，
，，
绕点逆时针旋转后，得到，
，，，
为等边三角形，
，；
故答案为：，；
在中，，，，
，
，
，
．
连接，根据等边三角形的性质得，，再根据旋转的性质得，，，则可判断为等边三角形；
根据旋转可以得到，，在中通过计算得到，根据勾股定理的逆定理得，然后利用进行计算即可．
本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了等边三角形的判定与性质和勾股定理的逆定理．
 

19.【答案】解：两方程相加，得：，
即，
，即，
，
，
解得． 

【解析】两方程相加得，根据，即，知，据此可得，解之即可得出答案．
本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
 

20.【答案】解：如图所示，点即为所求．

，，，
．
由得，为的平分线，
．
过作，垂足为，
．
在和中，

≌，
．
．
设，则．
在中，，
解得．
的长为． 

【解析】根据角平分线的性质即可用尺规作图法在线段上求作一点，使得到的距离等于；
利用勾股定理求出证明≌，得到，从而求出，在中，利用勾股定理列出方程，解之即可．
本题考查了作图复杂作图、角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，解决本题的关键是掌握角平分线的性质．
 

21.【答案】解：，
，
即，
又，
，
；
，
又，
由，得，


，
． 

【解析】直接利用完全平方公式进行变形即可；
先提公因式，再整体代换即可．
本题主要考查了完全平方公式和因式分解提公因式法，掌握完全平方公式的应用是解题关键．
 

22.【答案】解：设每个篮球的售价为元，每个足球的售价为元，
由题意可得：，
解得，
答：每个篮球的售价为元，每个足球的售价为元；
设购买篮球个，则购买足球个，总费用为元，
由题意可得：，
随的增大而增大，
足球个数不超过篮球个数的倍，
，
解得，
当时，取得最小值，此时，，
答：费用最少的购买方案是购买篮球个，足球个，该方案所需费用为元． 

【解析】根据购买个篮球和个足球共需元，购买个篮球和个足球共需元，可以列出相应的方程组，然后求解即可；
根据题意，可以列出相应的不等式和求出总费用与购买篮球个数的函数解析式，然后根据一次函数的性质求最值即可．
本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程和不等式，写出相应的函数解析式，利用一次函数的性质求最值．
 

23.【答案】解：在中，，
，，
，
如图，时，，
所以的面积；
如图，，，：

因为是以为边的等腰三角形，
如图，当时，；
如图，当时，；
如图中，当时，过点作于点．
，，
，
，
；
如图，当时，，，
，，
，
，
，
．
综上所述，或或或． 

【解析】时，得出，利用三角形的面积进行解答即可；
分四种情况进行讨论：根据列式求解；根据列式求解；，根据的值列式求解；，根据列式求解．
本题考查了动点运动问题、等腰三角形的性质和判定、勾股定理、三角函数、角平分线的性质等知识，熟练掌握运用这些基础知识点，然后进行分类讨论是解题关键．