2023年广东省汕头市潮阳区城南中学中考数学一模试卷(含答案)

这是一份2023年广东省汕头市潮阳区城南中学中考数学一模试卷(含答案)，共19页。试卷主要包含了平方千米等内容，欢迎下载使用。

2023年广东省汕头市潮阳区城南中学中考数学一模试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）﹣2022的倒数是（　　）
A．﹣2022 B．2022 C． D．
2．（3分）地球上的海洋面积约三亿六千一百万平方千米，用科学记数法表示为（　　）平方千米．
A．361×106 B．36.1×107 C．3.61×108 D．0.361×109
3．（3分）如图所示，从上面看该几何体的形状图为（　　）

A． B．
C． D．
4．（3分）下列各式变形中，是因式分解的是（　　）
A．a2﹣2ab+b2﹣1＝（a﹣b）2﹣1
B．2x2+2x＝2x2（1+）
C．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4
D．x4﹣1＝（x2+1）（x+1）（x﹣1）
5．（3分）已知一组数据：2，5，x，7，9的平均数是6，则这组数据的众数是（　　）
A．9 B．7 C．5 D．2
6．（3分）已知关于x的不等式组无解，则m的取值范围是（　　）
A．m≤3 B．m＞3 C．m＜3 D．m≥3
7．（3分）已知直线m∥n，将一块含30°角的直角三角板ABC，按如图所示方式放置，其中A、B两点分别落在直线m、n上，若∠1＝25°，则∠2的度数是（　　）

A．25° B．30° C．35° D．55°
8．（3分）若x＝﹣1是关于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0的一个根，则a﹣b的值为（　　）
A．1 B．﹣2 C．﹣1 D．2
9．（3分）如图，在菱形ABCD中，点E是BC的中点，DE与AC交于点F，若AB＝6，∠B＝60°，则AF的长为（　　）

A．3 B．3.5 C．3 D．4
10．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝3cm，动点P从点A出发，以cm/s的速度沿AB方向运动到点B，动点Q同时从点A出发，以1cm/s的速度沿折线AC→CB方向运动到点B．设△APQ的面积为y（cm2），运动时间为x（s），则下列图象能反映y与x之间关系的是（　　）

A． B．
C． D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）若代数式有意义，则x的取值范围是 　 　．
12．（3分）小明和小华玩“石头、剪子、布”的游戏，若随机出手一次，则小华获胜的概率是　 　
13．（3分）如图，两弦AB、CD相交于点E，且AB⊥CD，若∠B＝60°，则∠A等于　 　度．

14．（3分）若|x﹣2y|+（x+2）2＝0，则2x﹣y+1的值为　 　．
15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣2，0），△ABO是直角三角形，∠AOB＝60°．现将Rt△ABO绕原点O按顺时针方向旋转到Rt△A′B′O的位置，则此时边OB扫过的面积为 　 　．

16．（3分）谢尔宾斯基地毯，最早是由波兰数学家谢尔宾斯基制作出来的：把一个正三角形分成全等的4个小正三角形，挖去中间的一个小三角形；对剩下的3个小正三角形再分别重复以上做法…将这种做法继续进行下去，就得到小格子越来越多的谢尔宾斯基地毯（如图）．若图1中的阴影三角形面积为1，则图5中的所有阴影三角形的面积之和是　 　．

三．解答题（共9小题，满分72分）
17．（6分）计算：．
18．（6分）先化简，再求值：（1﹣）•，其中x＝2．
19．（6分）如图，已知等腰△ABC中，AB＝AC．以C为圆心，CB的长为半径作弧，交AB于点D．分别以B、D为圆心，大于BD的长为半径作弧，两弧交于点E．作射线CE交AB于点M．分别以A、C为圆心，CM、AM的长为半径作弧，两弧交于点N．连接AN、CN
（1）求证：AN⊥CN
（2）若AB＝5，tanB＝3，求四边形AMCN的面积．

20．（8分）在矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝8．将矩形纸片折叠，使B与D重合．
（1）求证△DGH是等腰三角形；
（2）求折痕GH的长．

21．（8分）为了传承中华优秀传统文化，培养学生自主、团结协作能力，某校推出了以下四个项目供学生选择：A．家乡导游；B．艺术畅游；C．体育世界；D．博物旅行．学校规定：每个学生都必须报名且只能选择其中一个项目，学校对某班学生选择的项目情况进行了统计，并绘制了如图两幅不完整的统计图，请结合统计图中的信息，解答下列问题：

（1）求该班学生总人数为　 　；
（2）B项目所在扇形的圆心角的度数为　 　；
（3）将条形统计图补充完整；
（4）该校有1200名学生，请你估计选择“博物旅行”项目学生的人数．
22．（8分）空气净化器越来越被人们认可，某商场购进A、B两种型号的空气净化器，如果销售5台A型和10台B型空气净化器的销售总价为20000元，销售10台A型和5台B型空气净化器的销售总价为17500元．
（1）求每台A型空气净化器和B型空气净化器的销售单价；
（2）该商场计划一次购进两种型号的空气净化器共100台，其中B型空气净化器的进货量不超过A型空气净化器的2倍，设购进A型空气净化器m台，这100台空气净化器的销售总价为y元．
①求y关于m的函数关系式；
②当销售总价最大时，该公司购进A型、B型空气净化器各多少台？
（3）在（2）的条件下，若A型空气净化器每台的进价为800元，B型空气净化器每台的进价z（元）满足z＝﹣10m+700的关系式，则销售完这批空气净化器能获取的最大利润是多少元？
23．（10分）已知抛物线y＝ax2+bx+3经过A（﹣3，0），B（﹣1，0）两点（如图1），顶点为M．

（1）a、b的值；
（2）设抛物线与y轴的交点为Q（如图1），直线y＝﹣2x+9与直线OM交于点D．现将抛物线平移，保持顶点在直线OD上．当抛物线的顶点平移到D点时，Q点移至N点，求抛物线上的两点M、Q间所夹的曲线扫过的区域的面积；
（3）设直线y＝﹣2x+9与y轴交于点C，与直线OM交于点D（如图2）．现将抛物线平移，保持顶点在直线OD上．若平移的抛物线与射线CD（含端点C）没有公共点时，试探求其顶点的横坐标的取值范围．
24．（10分）如图，△ABC为⊙O的内接三角形，其中AB为⊙O的直径，过点A作⊙O的切线PA．
（1）求证：∠PAC＝∠ABC；
（2）若∠PAC＝30°，AC＝3，求劣弧AC的长．

25．（10分）如图，△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC＝∠EDF＝90°，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合，将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q．
（1）如图①，当点Q在线段AC上时，且AP＝AQ，求证：△BPE≌△CQE；
（2）如图②，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：△BPE∽△CEQ；
（3）在（2）的条件下，若BP＝a，CQ＝a时，求点P、Q两点间的距离．（用含a的代数式表示）


2023年广东省汕头市潮南区城南中学中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1． 解：﹣2022的倒数是﹣．
故选：D．
2． 解：用科学记数法表示三亿六千一百万＝361000000＝3.61×108，
故选：C．
3． 解：根据能看见的轮廓线用实线表示，看不见的轮廓线用虚线表示，
从上面看到的是矩形，且有看不见的轮廓线，
因此选项C中的图形符合题意；
故选：C．
4． 解：A a2﹣2ab+b2﹣1＝（a﹣b）2﹣1中不是把多项式转化成几个整式积的形式，故A错误；
B 2x2+2x＝2x2（1+）中不是整式，故B错误；
C （x+2）（x﹣2）＝x2﹣4是整式乘法，故C错误；
Dx4﹣1＝（x2+1）（x2﹣1）＝（x2+1）（x+1）（x﹣1），故D正确．
故选：D．
5． 解：∵数据2，5，x，7，9的平均数为6，
∴x＝6×5﹣2﹣5﹣7﹣9＝7，
∴这组数据的众数为7；
故选：B．
6． 解：解不等式3x﹣1＜4（x﹣1），得：x＞3，
∵不等式组无解，
∴m≤3，
故选：A．
7． 解：∵直线m∥n，
∴∠3＝∠1＝25°，
又∵三角板中，∠ABC＝60°，
∴∠2＝60°﹣25°＝35°，
故选：C．

8． 解：把x＝﹣1代入方程ax2+bx﹣1＝0得a﹣b﹣1＝0，
所以a﹣b＝1．
故选：A．
9． 解：
∵在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°
∴AB＝BC＝AD＝AC＝6
∵点E是BC的中点
∴＝3
在△AFD和△CFE中
∠AFD＝∠EFC
∠FAD＝∠FCE
∴△AFD∽△CFE
∴
∵CF＝6﹣AF
∴，
代入整理得3AF＝12，得AF＝4
故选：D．
10． 解：（1）过点Q作QD⊥AB于点D，
①如图1，当点Q在AC上运动时，即0≤x≤3，

由题意知AQ＝x、AP＝x，
∵∠A＝45°，
∴QD＝AQ＝x，
则y＝•x•x＝x2；
②如图2，当点Q在CB上运动时，即3＜x≤6，此时点P与点B重合，

由题意知BQ＝6﹣x、AP＝AB＝3，
∵∠B＝45°，
∴QD＝BQ＝（6﹣x），
则y＝×3×（6﹣x）＝﹣x+9；
故选：D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11． 解：由题意得：2﹣3x≥0且2x+1≠0，
解得：x≤且x≠﹣，
故答案为：x≤且x≠﹣．
12． 解：画树状图得：

∵共有9种等可能的结果，小华获胜的情况数是3种，
∴小华获胜的概率是：＝，
故答案为：．
13． 解：∵∠B＝60°，
∴∠C＝∠B＝60°，
∵AB⊥CD，
∴∠AEC＝90°，
∴∠A＝30°，
故答案为：30．
14． 解：∵|x﹣2y|+（x+2）2＝0，
∴x﹣2y＝0，x+2＝0，
解得：x＝﹣2，y＝﹣1，
则2x﹣y+1的值为：﹣4+1+1＝﹣2．
故答案为：﹣2．
15． 解：∵点A的坐标（﹣2，0），
∴OA＝2，
∵△ABO是直角三角形，∠AOB＝60°，
∴∠OAB＝30°，
∴OB＝OA＝1，
∴边OB扫过的面积为：＝π．
故答案为：π．
16． 解：图2阴影部分面积＝1﹣＝，
图3阴影部分面积＝×＝（）2，
图4阴影部分面积＝×（）2＝（）3，
图5阴影部分面积＝×（）3＝（）4＝．
故答案为：．
三．解答题（共9小题，满分72分）
17． 解：原式＝1﹣1+1﹣3
＝﹣2．
18． 解：原式＝（）
＝
＝，
当x＝2时，
原式＝＝﹣2．
19． （1）证明：由作图可知：CN＝AM，AN＝CM，
∴四边形AMCN是平行四边形，
∵CM⊥AB，
∴∠AMC＝90°，
∴四边形AMCN是矩形，
∴∠ANC＝90°，
∴AN⊥CN．

（2）在Rt△CBM中，∵tan∠B＝＝3，
∴可以假设BM＝k，CM＝3k，
∵AC＝AB＝5，
∴AM＝5﹣k，
在Rt△ACM中，∵AC2＝CM2+AM2，
∴25＝（3k）2+（5﹣k）2，
解得k＝1或0（舍弃），
∴CM＝3，AM＝4，
∴四边形AMCN的面积＝CM•AM＝12．
20． （1）证明：如图，矩形纸片折叠后，设A与F重合，过点G作GE⊥BC于点E，

由折叠的性质得：DH＝BH，FD＝BA，FG＝AG，∠GHB＝∠GHD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠B＝90°，AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC，
∴∠DGH＝∠GHB，
∴∠DGH＝∠GHD，
∴GD＝HD，
∴△DGH是等腰三角形．
（2）解：∵GD＝HD，
∴GD＝DH＝BH，
∵AB＝6，BC＝8，
∴DF＝CD＝6，AD＝8，
设BH＝x，则HC＝8﹣x，由勾股定理得：x2＝（8﹣x）2+62，
解得：，
∴，
∴，
∴，
在Rt△GEH中，由勾股定理得：，
∴．
21． 解：（1）12÷30%＝40（人），
故答案为：40；
（2）360°×＝126°，
故答案为：126°；
（3）40﹣12﹣14﹣4＝10（人），补全条形统计图如图所示：

（4）1200×＝120（人），
答：该校有1200名学生中选择“博物旅行”项目的大约有120人．
22． （1）解：设每台A型空气净化器销售单价为x元，B型空气净化器的销售单价为y元，根据题意得：
，
解得：，
答：每台A型空气净化器销售单价为1000元，B型空气净化器的销售单价为1500元；
（2）①由题意可知购进A型空气净化器m台，则购进B型空气净化器（100﹣m）台，则有：
y＝1000m+1500（100﹣m），即y＝﹣500m+150000；
②∵100﹣m≤2m，
∴m≥，
∵m取正整数，
∴当m＝34时销售总价最大，最大值为133000元；
（3）设销售完这批空气净化器能获取的利润是w元，由题意得：
w＝（1000﹣800）m+（1500+10m﹣700）（100﹣m）
＝﹣10m2+400m+80000
＝﹣10（m﹣20）2+84000，
∵a＝﹣10，
∴当m大于20时，w随m的增大而减小，
∵m≥，
∴当m＝34时，w有最大值为82040元．
答：销售完这批空气净化器能获取的最大利润是82040元．
23． 解：（1）将A（﹣3，0），B（﹣1，0）代入抛物线y＝ax2+bx+3中，得：
，
解得：a＝1、b＝4．

（2）连接MQ、QD、DN，由图形平移的性质知：QNMD，即四边形MQND是平行四边形；
由（1）知，抛物线的解析式：y＝x2+4x+3＝（x+2）2﹣1，则点M（﹣2，﹣1）、Q（0，3）；
则，直线OM：y＝x，联立直线y＝﹣2x+9，得：
，
解得．
则D（，）；
曲线扫过的区域的面积：S＝S▱MQND＝2S△MQD＝2××OQ×|xM﹣xD|＝3×|﹣2﹣|＝．

（3）由于抛物线的顶点始终在y＝x上，可设其坐标为（h，h），设平移后的抛物线解析式为y＝（x﹣h）2+h；
①当平移后抛物线对称轴右侧部分经过点C（0，9）时，有：
h2+h＝9，解得：h＝（依题意，舍去正值）
②当平移后的抛物线与直线y＝﹣2x+9只有一个交点时，依题意：
，
消去y，得：x2﹣（2h﹣2）x+h2+h﹣9＝0，
则：△＝（2h﹣2）2﹣4（h2+h﹣9）＝﹣10h+40＝0，解得：h＝4
结合图形，当平移的抛物线与射线CD（含端点C）没有公共点时，h＜或h＞4．

24． 解：（1）∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵PA是⊙O切线，
∴OA⊥PA，
∴∠BAP＝90°，
∴∠PAC+∠BAC＝90°，∠BAC+∠B＝90°，
∴∠PAC＝∠B．

（2）连接OC．
∵∠PAC＝30°，
∴∠B＝∠PAC＝30°，
∴∠AOC＝2∠B＝60°，
∵OA＝OC，
∴△AOC是等边三角形，
∴OA＝AC＝3，
∴的长＝＝π，

25． （1）证明：如图1中，

∵△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，
∴∠B＝∠C＝∠DEF＝45°，
∵∠BEQ＝∠BEP+∠DEF＝∠EQC+∠C，
∴∠BEP+45°＝∠EQC+45°，
∴∠BEP＝∠EQC，
∵AP＝AQ，AB＝AC，
∴BP＝CQ，
∵∠B＝∠C，
∴△BPE≌△CEQ（AAS）；

（2）如图2，

∵∠BEQ＝∠EQC+∠C，即∠BEP+∠DEF＝∠EQC+∠C，
∴∠BEP+45°＝∠EQC+45°，
∴∠BEP＝∠EQC，
又∵∠B＝∠C，
∴△BPE∽△CEQ；

（3）解：∵△BPE∽△CEQ，
∴＝，
∵BE＝CE，
∴＝，
解得：BE＝CE＝a，
∴BC＝3a，
∴AB＝AC＝BC＝×3a＝3a，
∴AQ＝CQ﹣AC＝a﹣3a＝a，AP＝AB﹣BP＝3a﹣a＝2a，
在Rt△APQ中，PQ＝＝＝a．