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2021-2022学年福建省厦门市思明区双十中学七年级（下）期末数学试卷(含解析)
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这是一份2021-2022学年福建省厦门市思明区双十中学七年级（下）期末数学试卷(含解析)，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年福建省厦门市思明区双十中学七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分.每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确）
1．（4分）在实数，﹣1，，0中，最大的数是（ ）
A． B．﹣1 C． D．0
2．（4分）如图，DE∥AB，若∠A＝40°，则∠ACD的度数为（ ）
A．.150° B．140° C．.50° D．.40°
3．（4分）用式子表示16的平方根，正确的是（ ）
A．±＝±4 B． C．＝±4 D．±＝4
4．（4分）三角形的两条边长分别为3cm和6cm，下列长度中，可能是这个三角形第三条边的是（ ）
A．1cm B．3cm C．5cm D．10cm
5．（4分）双减政策下，双十中学为了解初中部2400名学生的睡眠情况，抽查了其中400名学生的睡眠时间进行分析，下面叙述不正确的是（ ）
A．以上调查属于抽样调查
B．抽样调查的目的是用样本的情况来估计总体
C．400名学生的睡眠时间是总体的一个样本
D．2400是样本容量
6．（4分）点（a，3﹣a）在第四象限，则a的取值范围是（ ）
A．a＞0 B．a＞3 C．0＜a＜3 D．a＜3
7．（4分）在△ABC中，AD、AE、AF分别是它的高线、角平分线和中线，则下列说法中错误的是（ ）
A．BF＝CF B．∠ACD+∠CAD＝90°
C．AD≥AE D．S△ABC＝2S△ABF
8．（4分）被历代数学家尊为“算经之首”的《九章算术》是中国古代算法的扛鼎之作，《九章算术》中记载：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤，问燕、雀一枚各重几何？”译文：“今有5只雀、6只燕，分别将它们放在天平两侧，5只雀比6只燕重，将1只雀、1只燕交换位置而放，重量相等．5只雀、6只燕总重量为1斤．问雀、燕每1只各重多少斤？若设每只雀、燕的重量分别为x斤，y斤，则根据题意可列方程组（ ）
A． B．
C． D．
9．（4分）如图，将△ABC沿边AC所在直线平移至△EDF处，则下列结论错误的是（ ）
A．BD∥CF B．AE＝CF C．∠A＝∠BDE D．AB＝EF
10．（4分）关于x的不等式组只有两个整数解，且21t＝2a+12，要使的值是整数，则符合条件的a个数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空题（第11题每空2分，其余每题4分，共28分）
11．（8分）直接写结果：
（1）|﹣3|＝ ；
（2）2﹣5＝ ；
（3）＝ ；
（4）（﹣）+2＝ ．
12．（4分）如图，一艘轮船按箭头所示方向行驶，C处有一灯塔，当轮船从A点行驶到B点时，∠ACB＝ °．
13．（4分）如图反映的是某中学九（3）班学生外出方式（乘车、步行、骑车）人数的条形统计图（部分）和扇形分布图，那么扇形图中步行的学生人数所占的圆心角是 ．
14．（4分）如图，将直尺与30°角的三角尺叠放在一起，若∠1＝40°，则∠2＝ ．
15．（4分）某校计划组织师生乘坐大小两种客车去参加一次大型公益活动，每辆大客车的乘客座位数是35个，每辆小客车的乘客座位数是18个，这样租用6辆大客车和5辆小客车恰好全部坐满．由于最后参加活动的人数增加了30人，在保持租用车辆总数不变的情况下，学校决定调整租车方案，以确保乘载全部参加活动的师生，则该校最后所租用小客车数量的最大值为 辆．
16．（4分）在平面直角坐标系xOy中，将A（a，b），B（m，b+1）（a≠m+1）两点同时向右平移h（h＞0）个单位，再向下平移1个单位得到C，D两点（点A对应点C）．连接AD，过点B作AD的垂线l，E是直线l上一点，连接DE，且DE的最小值为1．下列结论正确的有 ．（只填序号）
①AC＝BD；
②直线l⊥x轴；
③A、B、C三点可能在同一条直线上；
④当DE取最小值时，点E的坐标为（m，b）．
三、解答题（本大题有9小题，共82分）
17．（6分）（1）计算：﹣4÷2++；
（2）解方程．
18．（8分）解不等式组，并把解集在数轴上表示，同时判断3是否是该不等式组的解．
19．（8分）在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC三个顶点的位置如图6所示，现将△ABC平移，使点A移动到点A′，点B′、C′分别是B、C的对应点．
（1）请画出平移后的△A′B′C′；
（2）若点A的坐标为（﹣2﹣1），点C的坐标为（﹣1，﹣4），请在图6中建立平面直角坐标系，并写出B′的坐标 ；
（3）△ABC的面积是 ．
20．（8分）为了解九年级女生的身高（单位：cm）情况，某中学对部分九年级女生身高进行了一次测量，所得数据整理后列出了频数分布表，并画了部分频数分布直方图（图表如下）：根据以上图表，回答下列问题：
标记
分组
频数
频率
A组
145.5≤x＜149.5
3
0.05
B组
149.5≤x＜153.5
9
0.15
C组
153.5≤x＜157.5
15
0.25
D组
157.5≤x＜161.5
18
a
E组
161.5≤x＜165.5
9
0.15
F组
165.5≤x＜169.5
b
c
G组
合计
M
N
（1）本次调查的样本容量为 ，a＝ ；
（2）补全频数分布直方图；
（3）若九年级全体女生共800人，则该年级女生身高在161.5＜x＜169.5的人数约有多少人？
21．（8分）如图是一个无理数筛选器的工作流程图．
（1）当x为9时，y值为 ；
（2）如果输入x值后，没有算术平方根，筛选器的屏幕显示“该操作无法运行”，请写出此时输入的x满足的条件： ；
（3）当输出的y值是时，输入x的值并不唯一，请写出两个满足要求的x值： ．
22．（10分）如图1，BD是△ABC的角平分线，作∠BDE＝∠ABD交AB于点E．
（1）求证：ED∥BC；
（2）若AC⊥BD，点M为线段AC延长线上一点（不与点c重合），连接BM，若AB⊥BM，在图2中补全图形并证明：∠DBC＝∠BMA．
23．（10分）当m，n都是实数，且满足2m﹣n＝8时，我们称Q（m+2，n）为“巧妙点”．
（1）点A（a+2，b）是“巧妙点”，且a＞2，求b的取值范围；
（2）已知关于x，y的方程组，当t为何值时，以方程组的解为坐标的点B（x0，y0）是“巧妙点”？
24．（12分）某商店决定购进A、B两种纪念品．若购进A种纪念品8件，B种纪念品3件，需要95元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品6件，需要80元．
（1）求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？
（2）若该商店决定购进这两种纪念品共100件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100件纪念品的资金不少于750元，但不超过764元，那么该商店共有几种进货方案？
（3）已知商家出售一件A种纪念品可获利a元，出售一件B种纪念品可获利（5﹣a）元，试问在（2）的条件下，商家采用哪种方案可获利最多？（商家出售的纪念品均不低于成本价）
25．（12分）在平面直角坐标系中，线段AB的两个端点分别在y轴和x轴上，直线CD分别交x轴正半轴、y轴负半轴于点C、D，且AB∥CD．
（1）如图1，若G是线段CD延长线上一点，分别作∠ABO的角平分线BH与∠ADC邻补角的角平分线DP，两线所在直线交于点P．
①若∠BAO＝30°，则∠PDO的度数为 ；
②求∠HPD的度数．
（2）如图2，点A、B、D的坐标分别为A（0，4）、B（﹣2，0）、D（0，﹣4），P（m，﹣3）是第三象限内一动点，试探究∠PCD、∠PAB与∠APC之间的数量关系，并求出相应的m的取值范围．
2021-2022学年福建省厦门市思明区双十中学七年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分.每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确）
1．【分析】先根据实数的大小比较法则比较大小，再求出最大的数，最后得出选项即可．
【解答】解：∵﹣1＜0＜＜，
∴最大的数是，
故选：A．
【点评】本题考查了实数的大小比较法则，能熟记实数的大小比较法则（正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小）是解此题的关键．
2．【分析】根据平行线的性质定理求解即可．
【解答】解：∵DE∥AB，
∴∠ACD＝∠A，
∵∠A＝40°，
∴∠ACD＝40°，
故选：D．
【点评】此题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质定理是解题的关键．
3．【分析】一个正数a的正的平方根表示为“”，负的平方根表示为“﹣”，所以16的平方根为．
【解答】解：用式子表示16的平方根为．
故选：A．
【点评】本题考查了平方根，注意平方根的表示方法为±．正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作．零的算术平方根仍旧是零．
4．【分析】根据“三角形的两边之和小大于第三边，两边之差小于第三边”确定第三边的取值范围，然后找到答案即可．
【解答】解：设第三边为xcm，
∵三角形的两条边长为3cm和6cm，
∴6﹣3＜x＜6+3，
即第三条边的取值范围为大于3cm小于9cm．
故选：C．
【点评】本题考查了三角形的三边关系，验证三角形的三边关系定理：任意两边之和大于第三边．只要验证两条较短的边的和大于最长的边即可．
5．【分析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．
【解答】解：A．以上调查属于抽样调查，说法正确，故A不符合题意；
B．抽样调查的目的是用样本的情况来估计总体，说法正确，故B不符合题意；
C.400名学生的睡眠时间是总体的一个样本，说法正确，故C不符合题意；
D．400是样本容量，原说法错误，故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．
6．【分析】根据第四象限内点的坐标符号特点列出不等式组，再分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：∵点（a，3﹣a）在第四象限，
∴，
解得a＞3，
故选：B．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
7．【分析】依据AD，AE，AF分别是三角形的高线，角平分线及中线，即可得出AD⊥BC∠ACD+∠CAD＝90°，S△ABC＝2S△ABF，AD＜AE．
【解答】解：∵AD，AE，AF分别是三角形的高线，角平分线及中线，
∴AD⊥BC，∠BAE＝∠CAE，BF＝CF，∠ACD+∠CAD＝90°，S△ABC＝2S△ABF
AD＜AE
故选：C．
【点评】本题主要考查了三角形的角平分线、高线以及中线，掌握垂线段最短是解题的关键．
8．【分析】设每只雀、燕的重量分别为x斤，y斤，根据“今有5只雀、6只燕，分别将它们放在天平两侧，5只雀比6只燕重，将1只雀、1只燕交换位置而放，重量相等．5只雀、6只燕总重量为1斤”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：设每只雀、燕的重量分别为x斤，y斤，
依题意，得：．
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
9．【分析】根据平移的性质、平行四边形的判定和性质判断即可．
【解答】解：由平移的性质可知：BD∥CF，AE＝CF，AB＝DE，AB∥DE，
故选项A、B结论正确，不符合题意；
∵AB＝DE，AB∥DE，
∴四边形ABDE为平行四边形，
∴∠A＝∠BDE，故选项C结论正确，不符合题意；
AB＝DE，但AB与EF不一定相等，故选项D结论错误，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查的是平移的性质，平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．
10．【分析】先解不等式组，得出0＜t≤1，再求出a的取值范围，再由式子的值是整数，可求出符合条件的a个数．
【解答】解：解不等式＜0得x＜t，
解不等式＜﹣2的x＞﹣2，
∵不等式组有且只有2个整数解，
∴0＜t≤1，
∴0＜21t≤21，
∵21t＝2a+12，
∴0＜2a+12≤21，
∴﹣6＜a≤4.5，
∴整数a为﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，
∴要使的值是整数的a的值为﹣5，﹣4，﹣1，1，4，共5个，
故选：C．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，熟练运用一元一次不等式组的解法是解题的关键．
二、填空题（第11题每空2分，其余每题4分，共28分）
11．【分析】（1）根据绝对值的意义求．
（2）根据有理数的减法法则计算．
（3）根据算术平方根的定义求解．
（4）去括号，合并同类二次根式．
【解答】解：（1）原式＝﹣（﹣3）＝3．
故答案为：3．
（2）原式＝2+（﹣5）＝﹣3．
故答案为：﹣3．
（3）原式＝＝3．
故答案为：3．
（4）原式＝﹣+2＝+．
故答案为： +．
【点评】本题考查实数运算，掌握各运算法则是求解本题的关键．
12．【分析】根据三角形的外角性质可求出答案．
【解答】解：∵∠CBD＝∠A+∠C，
∴∠C＝∠CBD﹣∠A
＝70°﹣30°
＝40°，
故答案为：40．
【点评】本题考查外角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解决问题的关键．
13．【分析】根据条形统计图和扇形分布图中乘车的频数和百分数可得九（3）班学生总人数，进而求出x和y的值，即可求出步行的学生人数所占的圆心角．
【解答】解：根据题意可知：
20÷50%＝40（人），
12÷40＝0.3，
∴y＝30，
∴x＝20，
∴0.2×360°＝72°．
所以扇形图中步行的学生人数所占的圆心角是72°．
故答案为：72°
【点评】本题考查了条形统计图、扇形统计图，解决本题的关键是掌握条形统计图．
14．【分析】根据平角的定义和平行线的性质即可得到结论．
【解答】解：如图，
由题意得，∠3＝60°，
∵∠1＝40°，
∴∠4＝180°﹣60°﹣40°＝80°，
∵AB∥CD，
∴∠4＝∠2＝80°，
故答案为：80°．
【点评】本题考查了平行线的性质，平角的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
15．【分析】利用该校最后参加活动的总人数＝每辆大客车的乘客座位数×租用大客车的数量+每辆小客车的乘客座位数×租用小客车的数量+30，即可求出该校最后参加活动的总人数，设租用小客车x辆，则租用大客车（6+5﹣x）辆，利用租用的客车可乘坐人数不少于330人，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，再结合x为整数，即可得出所租用小客车数量的最大值为3辆．
【解答】解：该校最后参加活动的总人数为35×6+18×5+30＝330（人）．
设租用小客车x辆，则租用大客车（6+5﹣x）辆，
依题意得：18x+35（6+5﹣x）≥330，
解得：x≤，
又∵x为整数，
∴x的最大值为3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
16．【分析】根据平移的性质先求出点C和点D的坐标，得到点A和点D的纵坐标相同，进而得到AD∥x轴，再利用平移的性质来求解．
【解答】解：如图，直线l交AD于点P，
∵A（a，b），B （m，b+1）（a≠m+1）两点同时向右平移h（h＞0）个单位，再向下平移1个单位得到C，D两点（点A对应点C），
一个点向右平移h个单位，则该点的横坐标加h；一个点向下平移1个单位，则该点的纵坐标减1，
∴C（a+h，b﹣1），D（m+h，b），
∵此时点A和点D的纵坐标相同，
∴AD∥x轴．
根据平移的性质可知：AC＝BD，故①正确；
∵AD∥x轴，1⊥AD，
∴直线l⊥x轴，故②正确；
由图可知：因为a≠m+1，所以A、B、C三点不可能在同一条直线上，故③错误；
当DE取最小值时，点E与点P重合时，
此时点E的坐标为（m，b），故④正确，
故答案为：①②④．
【点评】此题主要考查了平移的性质，理解平移的性质和求出点C和点D的坐标是解题的关键．
三、解答题（本大题有9小题，共82分）
17．【分析】（1）原式利用除法法则，立方根定义，以及二次根式性质计算即可求出值；
（2）方程组利用代入消元法求出解即可．
【解答】解：（1）原式＝﹣2+2+5
＝5；
（2），
把①代入②得：3x+2（2x﹣3）＝1，
解得：x＝1，
把x＝1代入①得：y＝2﹣3＝﹣1，
则方程组的解为．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，以及实数的运算，熟练掌握方程组的解法及运算法则是解本题的关键．
18．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式﹣3x≤4+x，得：x≥﹣1，
解不等式x﹣1＜，x＜5，
则不等式组的解集为﹣1≤x＜5，
将解集表示在数轴上如下：
0＜3＝＜＝5，
所以3是不等式组的解．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
19．【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出B、C的对应点即可；
（2）利用点A、C的坐标画出平面直角坐标系，从而得到点B′的坐标；
（3）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算△ABC的面积．
【解答】解：（1）如图，△A′B′C′为所作；
（2）如图，点B′的坐标为（1，0），
故答案为（1，0）；
（3）△ABC的面积＝3×3﹣×2×1﹣×1×3﹣×2×3＝3.5．
故答案为：3.5．
【点评】本题考查了平移变换：作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
20．【分析】（1）根据频率＝可求出样本容量，进而求出a的值；
（2）根据各组频数之和等于样本容量可求出b的值，进而补全统计图；
（3）求出身高在161.5＜x＜169.5的人数所占的百分比，然后进行计算即可．
【解答】解：（1）3÷0.05＝60（人），即样本容量为60，
a＝18÷60＝0.3，
故答案为：60，0.3；
（2）b＝60﹣3﹣9﹣15﹣18﹣9＝6，补全频数分布直方图如下：
（3）800×＝200（人），
答：九年级800名女生中，身高在161.5＜x＜169.5的人数约有200人．
【点评】本题考查频数分布表、频数分布直方图，掌握频率＝以及样本估计总体是解决问题的前提．
21．【分析】（1）根据运算规则即可求解；
（2）根据算术平方根的概念，即可判断x＜0；
（3）根据运算法则，进行逆运算即可求得无数个满足条件的数．
【解答】解：（1）当x为9时，＝3，3为有理数，再取3的算术平方根是，为无理数，
故答案为：．
（2）根据负数没有算术平方根，即可判断x＜0，
故答案为：x＜0．
（3）x的值不唯一．当x＝2时，是无理数，
当x＝4时，＝2，再取2的算术平方根是，为无理数，
故答案为：x＝2或x＝4．
【点评】本题考查了无理数以及算术平方根，正确理解给出的运算方法是关键．
22．【分析】（1）如图1，先根据角平分线的定义得到∠ABD＝∠CBD，再利用等量代换得到∠BDE＝∠CBD，然后根据平行线的判定方法得到结论；
（2）如图2，根据垂直的定义得到∠DBM+∠BMA＝90°，∠ABD+∠DBM＝90°，然后利用等量代换得到∠DBC＝∠BMA．
【解答】证明：（1）如图1，
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵∠BDE＝∠ABD，
∴∠BDE＝∠CBD，
∴DE∥BC；
（2）如图2，
∵BD⊥AC，
∴∠BDM＝90°，
∴∠DBM+∠BMA＝90°，
∵AB⊥BM，
∴∠ABM＝90°，
即∠ABD+∠DBM＝90°，
∴∠ABD＝∠BMA，
∵∠ABD＝∠DBC，
∴∠DBC＝∠BMA．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了平行线的判定与性质．
23．【分析】（1）利用题中的新定义列式计算即可；
（2）表示出方程组的解，根据题中的新定义判断即可．
【解答】解：（1）由题意得：2a﹣b＝8，
解得：a＝b+4，
∵a＞2，
∴b+4＞2，
解得b＞﹣4；
（2）∵，
∴，
∴B（2t+1，1﹣t）．
∵B是“巧妙点”，
∴2（2t+1）﹣（1﹣t）＝8，
∴t＝．
∴当t＝时，B是“巧妙点”．
【点评】此题考查了二元一次方程组的解，利用“巧妙点”定义找到字母间的关系是求解本题的关键．
24．【分析】（1）设A种纪念品每件x元，B种纪念品每件y元，根据购进A种纪念品8件，B种纪念品3件，需要95元和购进A种纪念品5件，B种纪念品6件，需要80元，列出方程组，再进行求解即可；
（2）设商店最多可购进A纪念品t件，则购进B纪念品（100﹣t）件，根据购买这100件纪念品的资金不少于750元，但不超过764元，列出不等式组，再进行求解即可；
（3）根据（2）得出的方案分别求出各个方案的获利，再根据a的取值范围，即可得出答案．
【解答】解：（1）设A、B两种纪念品的价格分别为x元和y元，则
，
解得，
答：A、B两种纪念品的价格分别为10元和5元．
（2）设购买A种纪念品t件，则购买B种纪念品（100﹣t）件，则
750≤5t+500≤764，
解得50≤t≤，
∵t为正整数，
∴t＝50，51，52，
即有三种方案．
第一种方案：购A种纪念品50件，B种纪念品50件；
第二种方案：购A种纪念品51件，B种纪念品49件；
第三种方案：购A种纪念品52件，B种纪念品48件；
（3）第一种方案商家可获利250元；
第二种方案商家可获利（245+2a）元；
第三种方案商家可获利（240+4a）元；
当a＝2.5时，三种方案获利相同，
当0≤a＜2.5时，方案一获利最多，
当2.5＜a时，方案三获利最多．
【点评】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的综合运用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系．
25．【分析】（1）①根据三角形内角和定理，角平分线的性质求解即可；
②由∠HPD＝180°﹣∠PHD﹣∠PDO，再求解即可；
（2）由题意可知P点在y＝﹣3的直线上，设AB与y＝﹣3交于点E，直线y＝﹣3与y轴交于点F，连接BF，先求E（﹣，﹣3），再分两种情况讨论；当P点在EF之间时，即﹣＜m＜0时，过点P作PQ∥AB，∠APC＝∠BAP+∠PCD；当P点在EF左侧时，即m＜﹣，过P点作PQ∥AB，∠APC＝∠PCD﹣PAB．
【解答】解：（1）①∵∠BAO＝30°，
∴∠ABO＝60°，
∵BH平分∠ABO，
∴∠HBO＝30°，
∵AB∥CD，
∴∠OCD＝∠ABO＝60°，
∴∠ODC＝30°，
∴∠GDO＝150°，
∵PD平分∠GDO，
∴∠PDO＝75°，
故答案为：75°；
②∵∠BHO＝∠ABH+∠BAO＝60°，
∴∠HPD＝180°﹣∠PHD﹣∠PDO＝180°﹣60°﹣75°＝45°；
（2）∵P（m，﹣3），
∴P点在y＝﹣3的直线上，
设AB与y＝﹣3交于点E，直线y＝﹣3与y轴交于点F，
∴F（0，﹣3），
连接BF，
设直线AB的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝2x+4，
∴E（﹣，﹣3），
当P点在EF之间时，即﹣＜m＜0时，
过点P作PQ∥AB，
∵AB∥CD，
∴PQ∥CD，
∴∠PCD＝∠QPC，∠APQ＝∠BAP，
∴∠APC＝∠BAP+∠PCD；
当P点在EF左侧时，即m＜﹣，
过P点作PQ∥AB，
∵AB∥CD，
∴PQ∥AB，
∴∠PAB＝∠QPA，∠PCD＝∠QPC，
∴∠APC＝∠QPC﹣∠QPA＝∠PCD﹣PAB；
综上所述：当﹣＜m＜0时，∠APC＝∠BAP+∠PCD；当m＜﹣，∠APC＝∠PCD﹣PAB．
【点评】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，平行线的性质是解题的关键．
2021-2022学年福建省厦门市思明区双十中学七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分.每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确）
1．（4分）在实数，﹣1，，0中，最大的数是（ ）
A． B．﹣1 C． D．0
2．（4分）如图，DE∥AB，若∠A＝40°，则∠ACD的度数为（ ）
A．.150° B．140° C．.50° D．.40°
3．（4分）用式子表示16的平方根，正确的是（ ）
A．±＝±4 B． C．＝±4 D．±＝4
4．（4分）三角形的两条边长分别为3cm和6cm，下列长度中，可能是这个三角形第三条边的是（ ）
A．1cm B．3cm C．5cm D．10cm
5．（4分）双减政策下，双十中学为了解初中部2400名学生的睡眠情况，抽查了其中400名学生的睡眠时间进行分析，下面叙述不正确的是（ ）
A．以上调查属于抽样调查
B．抽样调查的目的是用样本的情况来估计总体
C．400名学生的睡眠时间是总体的一个样本
D．2400是样本容量
6．（4分）点（a，3﹣a）在第四象限，则a的取值范围是（ ）
A．a＞0 B．a＞3 C．0＜a＜3 D．a＜3
7．（4分）在△ABC中，AD、AE、AF分别是它的高线、角平分线和中线，则下列说法中错误的是（ ）
A．BF＝CF B．∠ACD+∠CAD＝90°
C．AD≥AE D．S△ABC＝2S△ABF
8．（4分）被历代数学家尊为“算经之首”的《九章算术》是中国古代算法的扛鼎之作，《九章算术》中记载：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤，问燕、雀一枚各重几何？”译文：“今有5只雀、6只燕，分别将它们放在天平两侧，5只雀比6只燕重，将1只雀、1只燕交换位置而放，重量相等．5只雀、6只燕总重量为1斤．问雀、燕每1只各重多少斤？若设每只雀、燕的重量分别为x斤，y斤，则根据题意可列方程组（ ）
A． B．
C． D．
9．（4分）如图，将△ABC沿边AC所在直线平移至△EDF处，则下列结论错误的是（ ）
A．BD∥CF B．AE＝CF C．∠A＝∠BDE D．AB＝EF
10．（4分）关于x的不等式组只有两个整数解，且21t＝2a+12，要使的值是整数，则符合条件的a个数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空题（第11题每空2分，其余每题4分，共28分）
11．（8分）直接写结果：
（1）|﹣3|＝ ；
（2）2﹣5＝ ；
（3）＝ ；
（4）（﹣）+2＝ ．
12．（4分）如图，一艘轮船按箭头所示方向行驶，C处有一灯塔，当轮船从A点行驶到B点时，∠ACB＝ °．
13．（4分）如图反映的是某中学九（3）班学生外出方式（乘车、步行、骑车）人数的条形统计图（部分）和扇形分布图，那么扇形图中步行的学生人数所占的圆心角是 ．
14．（4分）如图，将直尺与30°角的三角尺叠放在一起，若∠1＝40°，则∠2＝ ．
15．（4分）某校计划组织师生乘坐大小两种客车去参加一次大型公益活动，每辆大客车的乘客座位数是35个，每辆小客车的乘客座位数是18个，这样租用6辆大客车和5辆小客车恰好全部坐满．由于最后参加活动的人数增加了30人，在保持租用车辆总数不变的情况下，学校决定调整租车方案，以确保乘载全部参加活动的师生，则该校最后所租用小客车数量的最大值为 辆．
16．（4分）在平面直角坐标系xOy中，将A（a，b），B（m，b+1）（a≠m+1）两点同时向右平移h（h＞0）个单位，再向下平移1个单位得到C，D两点（点A对应点C）．连接AD，过点B作AD的垂线l，E是直线l上一点，连接DE，且DE的最小值为1．下列结论正确的有 ．（只填序号）
①AC＝BD；
②直线l⊥x轴；
③A、B、C三点可能在同一条直线上；
④当DE取最小值时，点E的坐标为（m，b）．
三、解答题（本大题有9小题，共82分）
17．（6分）（1）计算：﹣4÷2++；
（2）解方程．
18．（8分）解不等式组，并把解集在数轴上表示，同时判断3是否是该不等式组的解．
19．（8分）在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC三个顶点的位置如图6所示，现将△ABC平移，使点A移动到点A′，点B′、C′分别是B、C的对应点．
（1）请画出平移后的△A′B′C′；
（2）若点A的坐标为（﹣2﹣1），点C的坐标为（﹣1，﹣4），请在图6中建立平面直角坐标系，并写出B′的坐标 ；
（3）△ABC的面积是 ．
20．（8分）为了解九年级女生的身高（单位：cm）情况，某中学对部分九年级女生身高进行了一次测量，所得数据整理后列出了频数分布表，并画了部分频数分布直方图（图表如下）：根据以上图表，回答下列问题：
标记
分组
频数
频率
A组
145.5≤x＜149.5
3
0.05
B组
149.5≤x＜153.5
9
0.15
C组
153.5≤x＜157.5
15
0.25
D组
157.5≤x＜161.5
18
a
E组
161.5≤x＜165.5
9
0.15
F组
165.5≤x＜169.5
b
c
G组
合计
M
N
（1）本次调查的样本容量为 ，a＝ ；
（2）补全频数分布直方图；
（3）若九年级全体女生共800人，则该年级女生身高在161.5＜x＜169.5的人数约有多少人？
21．（8分）如图是一个无理数筛选器的工作流程图．
（1）当x为9时，y值为 ；
（2）如果输入x值后，没有算术平方根，筛选器的屏幕显示“该操作无法运行”，请写出此时输入的x满足的条件： ；
（3）当输出的y值是时，输入x的值并不唯一，请写出两个满足要求的x值： ．
22．（10分）如图1，BD是△ABC的角平分线，作∠BDE＝∠ABD交AB于点E．
（1）求证：ED∥BC；
（2）若AC⊥BD，点M为线段AC延长线上一点（不与点c重合），连接BM，若AB⊥BM，在图2中补全图形并证明：∠DBC＝∠BMA．
23．（10分）当m，n都是实数，且满足2m﹣n＝8时，我们称Q（m+2，n）为“巧妙点”．
（1）点A（a+2，b）是“巧妙点”，且a＞2，求b的取值范围；
（2）已知关于x，y的方程组，当t为何值时，以方程组的解为坐标的点B（x0，y0）是“巧妙点”？
24．（12分）某商店决定购进A、B两种纪念品．若购进A种纪念品8件，B种纪念品3件，需要95元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品6件，需要80元．
（1）求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？
（2）若该商店决定购进这两种纪念品共100件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100件纪念品的资金不少于750元，但不超过764元，那么该商店共有几种进货方案？
（3）已知商家出售一件A种纪念品可获利a元，出售一件B种纪念品可获利（5﹣a）元，试问在（2）的条件下，商家采用哪种方案可获利最多？（商家出售的纪念品均不低于成本价）
25．（12分）在平面直角坐标系中，线段AB的两个端点分别在y轴和x轴上，直线CD分别交x轴正半轴、y轴负半轴于点C、D，且AB∥CD．
（1）如图1，若G是线段CD延长线上一点，分别作∠ABO的角平分线BH与∠ADC邻补角的角平分线DP，两线所在直线交于点P．
①若∠BAO＝30°，则∠PDO的度数为 ；
②求∠HPD的度数．
（2）如图2，点A、B、D的坐标分别为A（0，4）、B（﹣2，0）、D（0，﹣4），P（m，﹣3）是第三象限内一动点，试探究∠PCD、∠PAB与∠APC之间的数量关系，并求出相应的m的取值范围．
2021-2022学年福建省厦门市思明区双十中学七年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分.每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确）
1．【分析】先根据实数的大小比较法则比较大小，再求出最大的数，最后得出选项即可．
【解答】解：∵﹣1＜0＜＜，
∴最大的数是，
故选：A．
【点评】本题考查了实数的大小比较法则，能熟记实数的大小比较法则（正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小）是解此题的关键．
2．【分析】根据平行线的性质定理求解即可．
【解答】解：∵DE∥AB，
∴∠ACD＝∠A，
∵∠A＝40°，
∴∠ACD＝40°，
故选：D．
【点评】此题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质定理是解题的关键．
3．【分析】一个正数a的正的平方根表示为“”，负的平方根表示为“﹣”，所以16的平方根为．
【解答】解：用式子表示16的平方根为．
故选：A．
【点评】本题考查了平方根，注意平方根的表示方法为±．正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作．零的算术平方根仍旧是零．
4．【分析】根据“三角形的两边之和小大于第三边，两边之差小于第三边”确定第三边的取值范围，然后找到答案即可．
【解答】解：设第三边为xcm，
∵三角形的两条边长为3cm和6cm，
∴6﹣3＜x＜6+3，
即第三条边的取值范围为大于3cm小于9cm．
故选：C．
【点评】本题考查了三角形的三边关系，验证三角形的三边关系定理：任意两边之和大于第三边．只要验证两条较短的边的和大于最长的边即可．
5．【分析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．
【解答】解：A．以上调查属于抽样调查，说法正确，故A不符合题意；
B．抽样调查的目的是用样本的情况来估计总体，说法正确，故B不符合题意；
C.400名学生的睡眠时间是总体的一个样本，说法正确，故C不符合题意；
D．400是样本容量，原说法错误，故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．
6．【分析】根据第四象限内点的坐标符号特点列出不等式组，再分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：∵点（a，3﹣a）在第四象限，
∴，
解得a＞3，
故选：B．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
7．【分析】依据AD，AE，AF分别是三角形的高线，角平分线及中线，即可得出AD⊥BC∠ACD+∠CAD＝90°，S△ABC＝2S△ABF，AD＜AE．
【解答】解：∵AD，AE，AF分别是三角形的高线，角平分线及中线，
∴AD⊥BC，∠BAE＝∠CAE，BF＝CF，∠ACD+∠CAD＝90°，S△ABC＝2S△ABF
AD＜AE
故选：C．
【点评】本题主要考查了三角形的角平分线、高线以及中线，掌握垂线段最短是解题的关键．
8．【分析】设每只雀、燕的重量分别为x斤，y斤，根据“今有5只雀、6只燕，分别将它们放在天平两侧，5只雀比6只燕重，将1只雀、1只燕交换位置而放，重量相等．5只雀、6只燕总重量为1斤”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：设每只雀、燕的重量分别为x斤，y斤，
依题意，得：．
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
9．【分析】根据平移的性质、平行四边形的判定和性质判断即可．
【解答】解：由平移的性质可知：BD∥CF，AE＝CF，AB＝DE，AB∥DE，
故选项A、B结论正确，不符合题意；
∵AB＝DE，AB∥DE，
∴四边形ABDE为平行四边形，
∴∠A＝∠BDE，故选项C结论正确，不符合题意；
AB＝DE，但AB与EF不一定相等，故选项D结论错误，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查的是平移的性质，平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．
10．【分析】先解不等式组，得出0＜t≤1，再求出a的取值范围，再由式子的值是整数，可求出符合条件的a个数．
【解答】解：解不等式＜0得x＜t，
解不等式＜﹣2的x＞﹣2，
∵不等式组有且只有2个整数解，
∴0＜t≤1，
∴0＜21t≤21，
∵21t＝2a+12，
∴0＜2a+12≤21，
∴﹣6＜a≤4.5，
∴整数a为﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，
∴要使的值是整数的a的值为﹣5，﹣4，﹣1，1，4，共5个，
故选：C．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，熟练运用一元一次不等式组的解法是解题的关键．
二、填空题（第11题每空2分，其余每题4分，共28分）
11．【分析】（1）根据绝对值的意义求．
（2）根据有理数的减法法则计算．
（3）根据算术平方根的定义求解．
（4）去括号，合并同类二次根式．
【解答】解：（1）原式＝﹣（﹣3）＝3．
故答案为：3．
（2）原式＝2+（﹣5）＝﹣3．
故答案为：﹣3．
（3）原式＝＝3．
故答案为：3．
（4）原式＝﹣+2＝+．
故答案为： +．
【点评】本题考查实数运算，掌握各运算法则是求解本题的关键．
12．【分析】根据三角形的外角性质可求出答案．
【解答】解：∵∠CBD＝∠A+∠C，
∴∠C＝∠CBD﹣∠A
＝70°﹣30°
＝40°，
故答案为：40．
【点评】本题考查外角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解决问题的关键．
13．【分析】根据条形统计图和扇形分布图中乘车的频数和百分数可得九（3）班学生总人数，进而求出x和y的值，即可求出步行的学生人数所占的圆心角．
【解答】解：根据题意可知：
20÷50%＝40（人），
12÷40＝0.3，
∴y＝30，
∴x＝20，
∴0.2×360°＝72°．
所以扇形图中步行的学生人数所占的圆心角是72°．
故答案为：72°
【点评】本题考查了条形统计图、扇形统计图，解决本题的关键是掌握条形统计图．
14．【分析】根据平角的定义和平行线的性质即可得到结论．
【解答】解：如图，
由题意得，∠3＝60°，
∵∠1＝40°，
∴∠4＝180°﹣60°﹣40°＝80°，
∵AB∥CD，
∴∠4＝∠2＝80°，
故答案为：80°．
【点评】本题考查了平行线的性质，平角的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
15．【分析】利用该校最后参加活动的总人数＝每辆大客车的乘客座位数×租用大客车的数量+每辆小客车的乘客座位数×租用小客车的数量+30，即可求出该校最后参加活动的总人数，设租用小客车x辆，则租用大客车（6+5﹣x）辆，利用租用的客车可乘坐人数不少于330人，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，再结合x为整数，即可得出所租用小客车数量的最大值为3辆．
【解答】解：该校最后参加活动的总人数为35×6+18×5+30＝330（人）．
设租用小客车x辆，则租用大客车（6+5﹣x）辆，
依题意得：18x+35（6+5﹣x）≥330，
解得：x≤，
又∵x为整数，
∴x的最大值为3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
16．【分析】根据平移的性质先求出点C和点D的坐标，得到点A和点D的纵坐标相同，进而得到AD∥x轴，再利用平移的性质来求解．
【解答】解：如图，直线l交AD于点P，
∵A（a，b），B （m，b+1）（a≠m+1）两点同时向右平移h（h＞0）个单位，再向下平移1个单位得到C，D两点（点A对应点C），
一个点向右平移h个单位，则该点的横坐标加h；一个点向下平移1个单位，则该点的纵坐标减1，
∴C（a+h，b﹣1），D（m+h，b），
∵此时点A和点D的纵坐标相同，
∴AD∥x轴．
根据平移的性质可知：AC＝BD，故①正确；
∵AD∥x轴，1⊥AD，
∴直线l⊥x轴，故②正确；
由图可知：因为a≠m+1，所以A、B、C三点不可能在同一条直线上，故③错误；
当DE取最小值时，点E与点P重合时，
此时点E的坐标为（m，b），故④正确，
故答案为：①②④．
【点评】此题主要考查了平移的性质，理解平移的性质和求出点C和点D的坐标是解题的关键．
三、解答题（本大题有9小题，共82分）
17．【分析】（1）原式利用除法法则，立方根定义，以及二次根式性质计算即可求出值；
（2）方程组利用代入消元法求出解即可．
【解答】解：（1）原式＝﹣2+2+5
＝5；
（2），
把①代入②得：3x+2（2x﹣3）＝1，
解得：x＝1，
把x＝1代入①得：y＝2﹣3＝﹣1，
则方程组的解为．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，以及实数的运算，熟练掌握方程组的解法及运算法则是解本题的关键．
18．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式﹣3x≤4+x，得：x≥﹣1，
解不等式x﹣1＜，x＜5，
则不等式组的解集为﹣1≤x＜5，
将解集表示在数轴上如下：
0＜3＝＜＝5，
所以3是不等式组的解．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
19．【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出B、C的对应点即可；
（2）利用点A、C的坐标画出平面直角坐标系，从而得到点B′的坐标；
（3）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算△ABC的面积．
【解答】解：（1）如图，△A′B′C′为所作；
（2）如图，点B′的坐标为（1，0），
故答案为（1，0）；
（3）△ABC的面积＝3×3﹣×2×1﹣×1×3﹣×2×3＝3.5．
故答案为：3.5．
【点评】本题考查了平移变换：作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
20．【分析】（1）根据频率＝可求出样本容量，进而求出a的值；
（2）根据各组频数之和等于样本容量可求出b的值，进而补全统计图；
（3）求出身高在161.5＜x＜169.5的人数所占的百分比，然后进行计算即可．
【解答】解：（1）3÷0.05＝60（人），即样本容量为60，
a＝18÷60＝0.3，
故答案为：60，0.3；
（2）b＝60﹣3﹣9﹣15﹣18﹣9＝6，补全频数分布直方图如下：
（3）800×＝200（人），
答：九年级800名女生中，身高在161.5＜x＜169.5的人数约有200人．
【点评】本题考查频数分布表、频数分布直方图，掌握频率＝以及样本估计总体是解决问题的前提．
21．【分析】（1）根据运算规则即可求解；
（2）根据算术平方根的概念，即可判断x＜0；
（3）根据运算法则，进行逆运算即可求得无数个满足条件的数．
【解答】解：（1）当x为9时，＝3，3为有理数，再取3的算术平方根是，为无理数，
故答案为：．
（2）根据负数没有算术平方根，即可判断x＜0，
故答案为：x＜0．
（3）x的值不唯一．当x＝2时，是无理数，
当x＝4时，＝2，再取2的算术平方根是，为无理数，
故答案为：x＝2或x＝4．
【点评】本题考查了无理数以及算术平方根，正确理解给出的运算方法是关键．
22．【分析】（1）如图1，先根据角平分线的定义得到∠ABD＝∠CBD，再利用等量代换得到∠BDE＝∠CBD，然后根据平行线的判定方法得到结论；
（2）如图2，根据垂直的定义得到∠DBM+∠BMA＝90°，∠ABD+∠DBM＝90°，然后利用等量代换得到∠DBC＝∠BMA．
【解答】证明：（1）如图1，
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵∠BDE＝∠ABD，
∴∠BDE＝∠CBD，
∴DE∥BC；
（2）如图2，
∵BD⊥AC，
∴∠BDM＝90°，
∴∠DBM+∠BMA＝90°，
∵AB⊥BM，
∴∠ABM＝90°，
即∠ABD+∠DBM＝90°，
∴∠ABD＝∠BMA，
∵∠ABD＝∠DBC，
∴∠DBC＝∠BMA．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了平行线的判定与性质．
23．【分析】（1）利用题中的新定义列式计算即可；
（2）表示出方程组的解，根据题中的新定义判断即可．
【解答】解：（1）由题意得：2a﹣b＝8，
解得：a＝b+4，
∵a＞2，
∴b+4＞2，
解得b＞﹣4；
（2）∵，
∴，
∴B（2t+1，1﹣t）．
∵B是“巧妙点”，
∴2（2t+1）﹣（1﹣t）＝8，
∴t＝．
∴当t＝时，B是“巧妙点”．
【点评】此题考查了二元一次方程组的解，利用“巧妙点”定义找到字母间的关系是求解本题的关键．
24．【分析】（1）设A种纪念品每件x元，B种纪念品每件y元，根据购进A种纪念品8件，B种纪念品3件，需要95元和购进A种纪念品5件，B种纪念品6件，需要80元，列出方程组，再进行求解即可；
（2）设商店最多可购进A纪念品t件，则购进B纪念品（100﹣t）件，根据购买这100件纪念品的资金不少于750元，但不超过764元，列出不等式组，再进行求解即可；
（3）根据（2）得出的方案分别求出各个方案的获利，再根据a的取值范围，即可得出答案．
【解答】解：（1）设A、B两种纪念品的价格分别为x元和y元，则
，
解得，
答：A、B两种纪念品的价格分别为10元和5元．
（2）设购买A种纪念品t件，则购买B种纪念品（100﹣t）件，则
750≤5t+500≤764，
解得50≤t≤，
∵t为正整数，
∴t＝50，51，52，
即有三种方案．
第一种方案：购A种纪念品50件，B种纪念品50件；
第二种方案：购A种纪念品51件，B种纪念品49件；
第三种方案：购A种纪念品52件，B种纪念品48件；
（3）第一种方案商家可获利250元；
第二种方案商家可获利（245+2a）元；
第三种方案商家可获利（240+4a）元；
当a＝2.5时，三种方案获利相同，
当0≤a＜2.5时，方案一获利最多，
当2.5＜a时，方案三获利最多．
【点评】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的综合运用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系．
25．【分析】（1）①根据三角形内角和定理，角平分线的性质求解即可；
②由∠HPD＝180°﹣∠PHD﹣∠PDO，再求解即可；
（2）由题意可知P点在y＝﹣3的直线上，设AB与y＝﹣3交于点E，直线y＝﹣3与y轴交于点F，连接BF，先求E（﹣，﹣3），再分两种情况讨论；当P点在EF之间时，即﹣＜m＜0时，过点P作PQ∥AB，∠APC＝∠BAP+∠PCD；当P点在EF左侧时，即m＜﹣，过P点作PQ∥AB，∠APC＝∠PCD﹣PAB．
【解答】解：（1）①∵∠BAO＝30°，
∴∠ABO＝60°，
∵BH平分∠ABO，
∴∠HBO＝30°，
∵AB∥CD，
∴∠OCD＝∠ABO＝60°，
∴∠ODC＝30°，
∴∠GDO＝150°，
∵PD平分∠GDO，
∴∠PDO＝75°，
故答案为：75°；
②∵∠BHO＝∠ABH+∠BAO＝60°，
∴∠HPD＝180°﹣∠PHD﹣∠PDO＝180°﹣60°﹣75°＝45°；
（2）∵P（m，﹣3），
∴P点在y＝﹣3的直线上，
设AB与y＝﹣3交于点E，直线y＝﹣3与y轴交于点F，
∴F（0，﹣3），
连接BF，
设直线AB的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝2x+4，
∴E（﹣，﹣3），
当P点在EF之间时，即﹣＜m＜0时，
过点P作PQ∥AB，
∵AB∥CD，
∴PQ∥CD，
∴∠PCD＝∠QPC，∠APQ＝∠BAP，
∴∠APC＝∠BAP+∠PCD；
当P点在EF左侧时，即m＜﹣，
过P点作PQ∥AB，
∵AB∥CD，
∴PQ∥AB，
∴∠PAB＝∠QPA，∠PCD＝∠QPC，
∴∠APC＝∠QPC﹣∠QPA＝∠PCD﹣PAB；
综上所述：当﹣＜m＜0时，∠APC＝∠BAP+∠PCD；当m＜﹣，∠APC＝∠PCD﹣PAB．
【点评】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，平行线的性质是解题的关键．
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