2023辽宁省东北育才学校科学高中部高三下学期最后一次模拟考试数学含解析

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东北育才学校科学高中部2023年高考模拟考试数学科试题
命题人：高三数学组
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知P，Q为R的两个非空真子集，若Ü，则下列结论正确的是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】根据条件画出图，根据图形，判断选项.
【详解】因为Ü，所以Ü，如图，

对于选项A：由题意知 P是 Q的真子集，故，，故不正确，
对于选项B：由是的真子集且，都不是空集知，，，故正确.
对于选项C：由是的真子集知，，，故不正确，
对于选项D：Q是的真子集，故，，故不正确，
故选：B
2. 已知复数满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】方法一：先化简复数，求出，在写出它共轭复数，最后利用公式计算即可；
方法二：先化简复数，利用即可.
【详解】方法一：因为，，，，
所以，
所以，
所以，
所以．
方法二：由，
所以．
故选：B．
3 已知随机变量 分别满足，，且期望，又，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用正态分布的对称性可求得，根据二项分布以及正态分布的均值，结合题意列方程，可求得答案.
【详解】由题意知，，，
故，
由，知，故，
故选：C
4. 如图，在正三棱柱中，，是棱的中点，在棱上，且，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】取棱靠近点的三等分点，取棱的中点，取的中点，连接，，，．证明，得是异面直线与所成的角（或补角）．设，用余弦定理计算出余弦值．
【详解】取棱靠近点的三等分点，取棱的中点，取的中点，连接，，，．
由已知，又，所以是平行四边形，，
同时可得是中点，而是中点，所以．
所以，则是异面直线与所成的角（或补角）．
又，平面，则平面，平面，则，
设，则，从而，，，，，
故，，．在中，
由余弦定理可得．
所以异面直线与所成的角的余弦值为．
故选：B．


5. 若等比数列的前n项，前2n项，前3n项的和分别为A，B，C，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用等比数列的性质可得，所以，进行整理可得答案．
【详解】有题意可知：,由等比数列的性质可得：，，所以，整理可得：．进而得
故选：D
6. 设函数，已知在上有且仅有个零点，则下列说法错误的是（ ）
A. 的取值范围是
B. 的图象与直线在上的交点恰有个
C. 的图象与直线在上的交点可能有个
D. 在上单调递减
【答案】D
【解析】
【分析】由可求得的取值范围，结合已知条件可得出关于的不等式组，解出的取值范围，可判断A选项；在时，由可得出的值，可判断B选项；取，由可得出的可能取值，可判断C选项；利用余弦型函数的单调性可判断D选项.
【详解】对于A选项，因为，当时，，
因为函数在上有且仅有个零点，
所以，，解得，A对；
对于B选项，当时，且，
由可得或，
故的图象与直线在上的交点恰有个，B对；
对于C选项，若，即当时，
由，可得或，
所以，的图象与直线在上的交点可能有个，C对；
对于D选项，当时，，
因为，则，，
所以，函数在不一定单调递减，D错.
故选：D.
7. 已知函数的定义域为，若为奇函数，为偶函数，，则下列结论一定正确的是（ ）
A. 函数的周期为3 B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由条件结合奇函数和偶函数的性质可得，，由此可得，再证明为周期为的函数，通过赋值可得，，由此判断B，结合周期函数定义判断A，根据周期函数性质判断CD .
【详解】因为为奇函数，
所以，
将代换为可得，，
取可得，，取可得，，
又，所以，
因为为偶函数，
所以，
将代换为可得，，又
所以，
将代换为可得，，
所以，
所以函数为周期函数，周期为4，
由取可得，又，
所以，B错误；
，C 错误；
，D正确；
因为，，所以函数不是周期为3的函数，A错误；
故选：D.
8. 已知圆和，动圆M与圆，圆均相切，P是的内心，且，则a的值为（ ）
A. 9 B. 11 C. 17或19 D. 19
【答案】C
【解析】
【分析】由两圆方程得圆内含于圆，由P是的内心，且得，动圆M内切于圆，分别讨论圆内切、外切于动圆M，由圆心距得，即可求解
【详解】根据题意：圆，其圆心，半径，圆，其圆心，半径，
又因，所以圆心距，所以圆内含于圆，
因为P为的内心，设内切圆的半径为，又由，则有，得，
因为动圆M与圆，圆均相切，设圆M的半径为r，
（1）当动圆M内切于圆，与圆外切（），
则有，，所以，所以，得a＝17；
（2）当动圆M内切于圆，圆内切于动圆M，
则有，，所以，所以，得a＝19.
综上可得：a＝17或19；
故选：C．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分
9. 在中，内角，，所对的边分别，，，，下列说法正确的是（ ）
A. 若，则 B. 外接圆的半径为
C. 取得最小值时， D. 时，取得最大值为
【答案】BD
【解析】
【分析】对A，由正弦定理化简可得，再根据三角形面积公式判断即可；对B，根据结合正弦定理判断即可；对C，根据正弦定理与余弦定理化简可得，再根据基本不等式与三角函数性质判断即可；对D，根据三角函数值域求解即可.
【详解】对A，由正弦定理即，又，故，故三角形面积为，故A错误；
对B，，则，设外接圆的半径为，则，故，故B正确；
对C，由及正弦定理可得，由余弦定理，即，化简可得，由基本不等式，，当且仅当时取等号，此时，故当，时，取得最小值，故C错误；
对D，由C，，当时，取得最大值，故D正确；
故选：BD
10. 在正方体中，分别为棱，，上的一点，且，是的中点，是棱上的动点，则（ ）
A. 当时，平面
B. 当时，平面
C. 当时，存在点，使四点共面
D. 当时，存在点，使，，三条直线交于同一点
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用图形，根据空间中点线面的位置关系逐一对各项进行判断即可得出结果.
【详解】对于A，当时，如图1，在取点，使,取中点,易知， 平面，故平面，所以选项A错误；

对于B，如图2，当时，分别为，，的中点，连接，，，， 易知四边形与均为平行四边形，则，，所以，则A，F，E，C四点共面，平面，所以选项B正确；

对于C，如图3，延长与的延长线交于点M，连接与的交点即为点I，则A，F，H，I四点共面，所以选项C正确；

对于D，如图4，连接并延长与的延长线交于点N，连接与的交点即为点I，则存在点I，使，，三条直线交于同一点N，所以选项D正确.

故选：BCD.
11. 已知，，，，则以下结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】先根据题意将条件转化为a，b是函数分别与函数，图象交点的横坐标．从而得到两交点关于直线对称，进而即可判断A；结合选项A整理得到，进而即可判断B；再结合选项A，构造函数，根据导函数性质即可判断C；结合选项B即基本不等式(注意：，即不等式取不到等号)即可判断D．
【详解】对于A，由题意知，a，b是函数分别与函数，图象交点的横坐标，
由的图象关于对称，
则其向上，向右都平移一个单位后的解析式为，
所以的图象也关于对称，
又，两个函数的图象关于直线对称，
故两交点，关于直线对称，
所以，，故A正确；
对于B，结合选项A得，则，即，即成立，故B正确；
对于C，结合选项A得，令，则，
所以在上单调递减，则，故C错误；
对于D，结合选项B得(，即不等式取不到等号)，故D正确．
故选：ABD．

12. 已知双曲线的左，右焦点分别为、，过的直线与双曲线的右支交于点、，与双曲线的渐近线交于点、（、在第一象限，、在第四象限），为坐标原点，则下列结论正确的是（ ）
A. 若轴，则的周长为
B. 若直线交双曲线的左支于点，则
C. 面积的最小值为
D. 的取值范围为
【答案】BD
【解析】
【分析】利用双曲线的定义可判断A选项；利用平行四边形的几何性质可判断B选项；设直线的方程为，求出、，利用三角形的面积公式结合二次函数的基本性质可判断C选项；由双曲线的定义，求出关于的函数关系式，利用函数的单调性可求得的取值范围，可判断D选项.
【详解】双曲线的标准方程为，则，

易知点、，双曲线的渐近线方程为.
对于A选项，当轴，直线的方程为，
联立，可得，此时，，
则，
此时，的周长为，A错；
对于B选项，因为双曲线关于原点对称，则点关于原点的对称点也在双曲线上，
因为若直线交双曲线的左支于点，则点、关于原点对称，
即、的中点均为原点，故四边形为平行四边形，
所以，，即，B对；
对于C选项，易知的方程为，的方程为，所以，，
因为直线与双曲线的右支交于点、，则直线不与轴重合，
设直线的方程为，设点、，
联立可得，
则，解得，
由韦达定理可得，，可得，
联立可得，即点，
联立可得，，即点，
所以，，，
所以，，当且仅当时，等号成立，C错；
对于D选项，
，
当时，，
当时，，
因为函数在上单调递减，
此时，
当时，因为函数在上单调递减，
此时，
综上所述，的取值范围是，D对.
故选：BD.
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：
（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；
（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知，则的值为___________.
【答案】
【解析】
【分析】根据同角的基本关系可得，再根据正弦的二倍角公式，可得，再根据诱导公式可得，由此即可求出结果.
【详解】因为，，,又因为，
所以
所以,
所以,
.
故答案为：.
14. 某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一社区进行民意调查．参加活动的甲、乙两班的人数之比为5:3，其中甲班中女生占，乙班中女生占．则该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率是______．
【答案】##0.5
【解析】
【分析】用A1，A2分别表示居民所遇到的一位同学是甲班的与乙班的事件，B表示是女生的事件，由题可知P(B|A1)＝，P(B|A2)＝，由全概率公式即得.
【详解】如果用A1，A2分别表示居民所遇到的一位同学是甲班的与乙班的事件，
B表示是女生的事件，则Ω＝A1∪A2，且A1，A2互斥，B⊆Ω，
由题意可知，P(A1)＝，P(A2)＝，
且P(B|A1)＝，P(B|A2)＝.
由全概率公式可知P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝×＋×＝，
即该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率为.
故答案为：
15. 已知平面向量，，且满足，若为平面单位向量，则的最大值________
【答案】
【解析】
【分析】先根据平面向量的数量积公式求出与的夹角，根据条件，可设，再设，根据平面向量的坐标运算和数量积公式，以及三角恒等变换和三角函数的性质得出，即可求出结果.
【详解】解：，设与的夹角为，
，
，又，则，
不妨设，再设，
则
，
即，
所以的最大值为.
故答案为：.
16. 设n∈N*，an为(x＋4)n－(x＋1)n的展开式的各项系数之和，（[x]表示不超过实数x的最大整数），则 (t∈R )的最小值为____.
【答案】
【解析】
【分析】根据展开式求出系数和得，求出，将转化为点到的距离的平方，结合几何意义即可得解.
【详解】an为(x＋4)n－(x＋1)n的展开式的各项系数之和，即，
，考虑，
，所以递减，
所以，
所以，，
，
可以看成点到的距离的平方，
即求点到直线的距离最小值的平方，

由图可得即求点或到直线的距离的平方，即
故答案为：
【点睛】此题考查求二项式系数，数列增减性与求和，通过几何意义转化求解代数式的最值，涉及转化与化归思想和数形结合思想.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17 已知函数．
（1）求的单调递增区间；
（2）设为锐角三角形，角所对边，角所对边，若，求的面积．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）利用降次公式化简，然后利用三角函数单调区间的求法，求得的单调递增区间.
（2）由求得，用余弦定理求得，由此求得三角形的面积.
【详解】（1）依题意，由得，令得.所以的单调递增区间.
（2）由于，所以为锐角，即.由，得，所以.
由余弦定理得，，解得或.
当时，，则为钝角，与已知三角形为锐角三角形矛盾.所以.
所以三角形的面积为.
【点睛】本小题主要考查二倍角公式，考查三角函数单调性的求法，考查余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，属于基础题.
18. 已知数列满足，．
（1）证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式；
（2）若记为满足不等式正整数的个数，数列的前项和为，求关于的不等式的最大正整数解．
【答案】（1）证明见解析，
（2）
【解析】
【分析】（1）在等式两边取倒数，结合等差数列的定义可证得数列为等差数列，确定该数列的公差，可求得数列的通项公式；
（2）解不等式可得到满足条件的正整数的个数，可得出的通项公式，利用错位相减法可求得，再利用数列的单调性可求得满足题意的最大正整数的值.
【小问1详解】
解：由取倒数得，即，
所以为公差为的等差数列，则，所以，.
【小问2详解】
解：当时，，
所以，满足条件的整数的个数为，即，
所以，，故数列单调递增，
所以，，
则，
上式下式得
，所以，，
因为，，则，
因此，满足的最大正整数的值为.
19. 如图，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，ADC=PAB=90°，BC=CD=AD.E为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90°.

（I）在平面PAB内找一点M，使得直线CM∥平面PBE，并说明理由；
(II)若二面角P-CD-A的大小为45°，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值.
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ） .
【解析】
【分析】试题分析：本题考查线面平行、线线平行、向量法等基础知识，考查空间想象能力、分析问题的能力、计算能力.第一问，利用线面平行的定理，先证明线线平行，再证明线面平行；第二问，可以先找到线面角，再在三角形中解出正弦值，还可以用向量法建立直角坐标系解出正弦值.
【详解】：（Ⅰ）在梯形ABCD中，AB与CD不平行.
延长AB，DC，相交于点M（M∈平面PAB），点M即为所求的一个点.

理由如下：
由已知，BC∥ED，且BC=ED.
所以四边形BCDE是平行四边形.
从而CM∥EB.
又EB平面PBE，CM 平面PBE，
所以CM∥平面PBE.
（说明：延长AP至点N，使得AP=PN，则所找的点可以是直线MN上任意一点）
（Ⅱ）方法一：
由已知，CD⊥PA，CD⊥AD，PAAD=A，
所以CD⊥平面PAD.
从而CD⊥PD.
所以PDA是二面角P-CD-A的平面角.
所以PDA=45°.
设BC=1，则在Rt△PAD中，PA=AD=2.
过点A作AH⊥CE，交CE的延长线于点H，连接PH.
易知PA⊥平面ABCD，
从而PA⊥CE.
于是CE⊥平面PAH.
所以平面PCE⊥平面PAH.
过A作AQ⊥PH于Q，则AQ⊥平面PCE.
所以APH是PA与平面PCE所成的角.
在Rt△AEH中，AEH=45°，AE=1，
所以AH=.
在Rt△PAH中，PH== ，
所以sinAPH= =.

方法二：
由已知，CD⊥PA，CD⊥AD，PAAD=A，
所以CD⊥平面PAD.
于是CD⊥PD.
从而PDA是二面角P-CD-A的平面角.
所以PDA=45°.
由PA⊥AB，可得PA⊥平面ABCD.
设BC=1，则在Rt△PAD中，PA=AD=2.
作Ay⊥AD，以A为原点，以 ,的方向分别为x轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，则A（0,0,0），P（0,0,2），C(2,1,0)，E(1,0,0)，
所以=（1,0,-2）， =（1,1,0），=（0,0,2）
设平面PCE的法向量为n=(x,y,z)，
由 得 设x=2，解得n=(2,-2,1).
设直线PA与平面PCE所成角为α，则sinα= = .
所以直线PA与平面PCE所成角的正弦值为 .

考点：线线平行、线面平行、向量法.

20. 近年来随着新能源汽车的逐渐普及，传统燃油车市场的竞争也愈发激烈.近日，各地燃油车市场出现史诗级大降价的现象，引起了广泛关注.2023年3月以来，各地政府和车企打出了汽车降价促销“组合拳”，被誉为“史上最卷”的汽车降价促销潮从南到北，不断在全国各地蔓延，据不完全统计，十几家车企的近40个传统燃油车品牌参与了此次降价，从几千元到几万元助力汽车消费复苏.记发放的补贴额度为（千元），带动的销量为（千辆）.某省随机抽查的一些城市的数据如下表所示.

3
3
4
5
5
6
6
8

10
12
13
18
19
21
24
27

（1）根据表中数据，求出关于的线性回归方程.
（2）（i）若该省城市在2023年4月份准备发放额度为1万元的补贴消费券，利用（1）中求得的线性回归方程，预计可以带动多少销量？
（ii）当实际值与估计值的差的绝对值与估计值的比值不超过时，认为发放的该轮消费券助力消费复苏是理想的.若该省城市4月份发放额度为1万元的消费补贴券后，经过一个月的统计，发现实际带动的消费为3万辆，请问发放的该轮消费券助力消费复苏是否理想？若不理想，请分析可能存在的原因.
参考公式：.
参考数据：.
【答案】（1）；
（2）（i）3.525万辆；（ii）答案见解析.
【解析】
【分析】（1）根据给定的数表，求出，再利用最小二乘法公式求解作答.
（2）利用（1）的回归方程，计算的估计值，再求出比值并判断作答.
【小问1详解】
依题意，，
于是，
所以所求线性回归方程为.
【小问2详解】
（i）由（1）知，当时，，
所以预计能带动的消费达3.525万辆.
（ii）因为，所以发放的该轮消费补贴助力消费复苏不是理想的.
发放消费券只是影响消费的其中一个因素，还有其他重要因素，
比如：城市经济发展水平不高，居民的收入水平直接影响了居民的消费水平；
城市人口数量有限、商品价格水平、消费者偏好、消费者年龄构成等因素一定程度上影响了消费总量.
年轻人开始更加注重出行的舒适性和环保性，而传统燃油车的排放和能耗等问题也逐渐成为了消费者们考虑的重点.（只要写出一个原因即可）.
21. 已知抛物线的焦点为F，，点是在第一象限内上的一个动点，当DP与轴垂直时，，过点作与相切的直线交轴于点，过点作直线的垂线交抛物线于A，B两点．

（1）求C的方程；
（2）如图，连接PD并延长，交抛物线C于点Q．
①设直线AB，OQ（其中O为坐标原点）的斜率分别为，，证明：为定值；
②求的最小值．
【答案】（1）
（2）①证明见解析；②.
【解析】
【分析】（1）利用抛物线定义列出方程求解结果；
（2）①设，表示直线PM的斜率，求解；将直线PD的方程与联立，由韦达定理表示，求解得出结果；
②求解并化简，结合基本不等式进行求解.
【小问1详解】
因为当DP与轴垂直时，，
根据抛物线定义得，解得 ，所以．
【小问2详解】
①证明：设，则，
由，得当时，，
所以直线PM的斜率为，所以直线，
即，，所以．
又因为，，所以．
将直线PD的方程与联立并化简，得，
易得，设，则，所以．
把点的坐标代入，得，
所以．所以，为定值．
②由①得，直线．
将与联立并化简，得，
易得，则，，
所以．
在直线AB的方程中，令，得，
设直线AB与轴的交点为，则的坐标．
因为，所以，
则

，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为．
22. 已知函数，．
（1）若，证明：当时；
（2）当时，，求a的取值范围．
【答案】（1）证明见解析
（2）．
【解析】
【分析】（1）令，对求导，得到的单调性可证得，令，对求导，可得在上单调递增，即可证得，即可证得；
（2）由题意分析可得要使恒成立即时，恒成立，通过放缩变形证明恒成立，即可求出a的取值范围.
【小问1详解】
当时，，所以即证：，，
先证左边：，令，，
在单调递增，∴，即．
再证右边：，令，
，
∴在上单调递增，
∴，即，
∴时，．
【小问2详解】
，
令，，
因为，所以题设等价于在恒成立，
由（1）知，当时，，于是：
①当时，恒成立；
②当时，等价于，
（i）当时，，
令，因为在上递增，
且，所以存在，使，
所以当，，即，不合题意；
(ii)当时，
令，，
则，
，
所以在上单调递增，
所以，所以，所以.
综上：a的取值范围为．
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式或在不等式中求参数的取值范围的问题，常见的几种方法有：
（1）直接构造函数法：证明不等式转化为证明，进而构造辅助函数；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.