2023成都石室中学高三下学期高考适应性考试（二）数学（文）含解析

成都石室中学高2023届高考适应性考试（二）

文科数学

（全卷满分150分，考试时间120分钟）

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在本试卷和答题卡相应位置上．

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答.答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效．

4．考生必须保证答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的．

1．集合的真子集的个数为（    ）

A．3  B．7  C．15  D．16 

2．有下列四个命题，其中是真命题的是（    ）

A．“全等三角形的面积相等”的否命题

B．在中，“”是“”的充分不必要条件

C．命题“，”的否定是“，”

D．已知，其在复平面上对应的点落在第四象限

3．某市2022年经过招商引资后，经济收入较前一年增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该市的经济收入的变化情况，统计了该市招商引资前、后的年经济收入构成比例，得到如下扇形图．下列结论正确的是（    ）

A．招商引资后，工资净收入较前一年减少

B．招商引资后，转移净收入是前一年的1.25倍

C．招商引资后，转移净收入与财产净收入的总和超过了该年经济收入的

D．招商引资后，经营净收入较前一年增加了一倍

4．幂函数在区间上单调递减，则下列说法正确的是（    ）

A．  B．是减函数  C．是奇函数  D．是偶函数

5．函数图象的对称轴可以是（    ）

A．直线  B．直线  C．直线  D．直线

6．已知m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（    ）

A．若，，则  B．若，，，则

C．若，，则，则  D．若，，则

7．2023年1月底，人工智能研究公司OpenAI发布的名为“ChatGTP”的人工智能聊天程序进入中国，迅速以其极高的智能化水平引起国内关注．深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中L表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，D表示衰减系数，G表示训练迭代轮数，表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.8，衰减速度为12，且当训练迭代轮数为12时，学习率衰减为0.5．则学习率衰减到0.2以下（不含0.2）所需的训练迭代轮数至少为（    ）（参考数据：）

A．36  B．37  C．38  D．39 

8．目前，全国所有省份已经开始了新高考改革．改革后，考生的高考总成绩由语文、数学、外语3门全国统一考试科目成绩和3门选择性科目成绩组成．已知某班甲、乙同学都选了历史和地理科目，且甲同学的另一科目会从化学、生物、政治这3科中选1科，乙同学的另一科目会从化学、生物这2科中选1科，则甲、乙所选科目不相同的概率是（    ）

A．   B．  C．  D．

9．已知双曲线的右顶点为A，左、右焦点分别为，，以为直径的圆与双曲线C的渐近线在第一象限的交点为M，且，则该双曲线的离心率为（    ）

A．  B．  C．  D．

10．设为等差数列的前n项和，且，都有，若，则（    ）

A．的最小值是  B．的最小值是  C．的最大值是  D．的最大值是

11．已知平面上两定点A，B，则所有满足（且）的点P的轨迹是一个圆心在直线AB上，半径为的圆．这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称作阿氏圆．已知动点P在棱长为6的正方体的一个侧面上运动，且满足，则点P的轨迹长度为（    ）

A．  B．  C．  D．

12．对，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（    ）

A．  B．   C．  D．

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．若x，y满足约束条件，则的最大值为______．

14．已知数列满足，，若，，则的值为______．

15．已知函数若函数有且只有三个零点，则实数m的取值范围是______．

16．已知A，B为抛物线上两点，以A，B为切点的抛物线的两条切线交于点P，过点A，B的直线斜率为，若点P的横坐标为，则______．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题，共60分．

17．（本小题满分12分）某企业为了了解年广告费x（单位：万元）对年销售额y（单位：万元）的影响，统计了近7年的年广告费和年销售额的数据，得到下面的表格：

由表中数据，可判定变量x，y的线性相关关系较强．

（Ⅰ）建立y关于x的线性回归方程；

（Ⅱ）已知该企业的年利润z与x，y的关系为，根据（Ⅰ）的结果，年广告费x约为何值时（小数点后保留一位），年利润的预报值最大？

附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，；参考数据：，．

18．（本小题满分12分）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，边BC上有一动点D．

（Ⅰ）求角A的大小；

（Ⅱ）当D为边BC中点时，，求面积的最大值．

19．（本小题满分12分）如图，四边形ABCD为菱形，平面ABCD，，．

（Ⅰ）求证：平面平面AFC；

（Ⅱ）记三棱锥的体积为，三棱锥的体积为，求的值．

20．（本小题满分12分）已知函数．

（Ⅰ）若，求实数a的值；

（Ⅱ）已知且，求证：．

21．（本小题满分12分）已知点，，动点满足直线AM与BM的斜率之积为．记动点M的轨迹为曲线C．

（Ⅰ）求曲线C的方程，并说明C是什么曲线；

（Ⅱ）设P，Q为曲线C上的两动点，直线BP与直线BQ的斜率乘积为．

①求证：直线PQ恒过一定点；

②设的面积为S，求S的最大值．

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，那么按所做的第一题计分．

22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（t为参数），直线l的方程为．

（Ⅰ）当时，求曲线的直角坐标方程；

（Ⅱ）当时，已知点，直线l与曲线交于A，B两点，线段AB的中点为M，求的长．

23．[选修4—5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知函数．

（Ⅰ）求不等式的解集；

（Ⅱ）设函数的最小值为m，正数a，b，c满足，求证：．

成都石室中学高2023届高考适应性考试（二）

文科数学参考答案

答案及解析

1．C【解析】因为，所以集合A的真子集的个数为．故选C．

2．D【解析】对于A，“全等三角形的面积相等”的否命题是“不全等三角形的面积不相等”，这显然是假命题，故A错误；对于B，在中，，由，得，所以“”是“”的必要不充分条件，故B错误；对于C，命题“，”的否定是“，”，故C错误；对于D，，所以其对应的点为，在第四象限，故D正确．故选D．

3．D【解析】设招商引资前经济收入为M，则招商引资后经济收入为2M．对于A，招商引资前工资净收入为，招商引资后的工资净收入为，所以招商引资后，工资净收入增加了，故A错误；对于B，招商引资前转移净收入为，招商引资后转移净收入为，所以招商引资后，转移净收入是前一年的2.5倍，故B错误；对于C，招商引资后，转移净收入与财产净收入的总和为，所以招商引资后，转移净收入与财产净收入的总和低于该年经济收入的，故C错误；对于D，招商引资前经营净收入为，招商引资后经营净收入为，所以招商引资后，经营净收入较前一年增加了一倍，故D正确．故选D．

4．C【解析】函数为幂函数，则，解得或．当时，在区间上单调递增，不满足条件，排除A．当时，在区间上单调递减，满足题意．函数在和上单调递减，但不是减函数，排除B．函数的图象关于原点对称，是奇函数．故选C．

5．A【解析】，则，所以的对称轴为直线，当时，．故选A．

6．B【解析】对于A，若，，则或，故A错误；对于B，若，，过m作平面与，分别交于直线a，b，由线面平行的性质得，，所以，又，，所以，又，，所以，所以，故B正确；对于C，由面面垂直的性质定理可得，当时，，否则可能不成立，故C错误；对于D，若，，则或，故D错误．故选B．

7．A【解析】由已知，得，所以，则有，即，即，即，因此G至少为36．故选A．

8．D【解析】甲、乙同学所选的科目情况有：（化学，化学），（化学，生物），（生物，化学），（生物，生物），（政治，化学），（政治，生物），共6种；其中甲、乙同学所选的科目不相同的情况有：（化学，生物），（生物，化学），（政治，化学），（政治，生物），共4种．因此，所求概率．故选D．

9．B【解析】设双曲线C的半焦距为c．如图，由题意可得，直线OM的方程为，有，即有．又，解得．在中，由余弦定理，得，因此，即有．又，则，．又，于是，所以，即，化简得，即，解得（舍去）或，所以该双曲线的离心率．故选B．

10．A【解析】由，得，即，所以数列为递增的等差数列．因为，所以，即，则，，所以当且时，；当且时，．因此，有最小值，且最小值为．故选A．

11．B【解析】在图1中，以B为原点建立平面直角坐标系如图2所示，设阿氏圆圆心为，半径为r．因为，所以，所以．设圆O与AB交于点M．由阿氏圆性质，知．又，所以．又，所以，解得，所以，所以点P在空间内的轨迹为以O为球心，半径为4的球．当点P在侧面内部时，如图2所示，截面圆与，分别交于点M，R，所以点P在侧面内的轨迹为．因为在中，，，所以，所以，所以点P在侧面内部的轨迹长为．故选B．

12．C【解析】由有意义可知，．由，得．令，即有．因为，所以．令，问题转化为当，恒成立．因为，令，即，解得；令，即，解得，所以在上单调递增，在上单调递减．又，，所以当时，．因为当，恒成立，所以只需且，解得．故选C．

13．2【解析】作约束条件的可行域，如图所示．由解得令．将目标函数变形为．根据其几何意义可得，当直线经过点时，其纵截距最小，即目标函数z取到最大值，则的最大值为2．

14．或【解析】因为，，所以数列为等比数列，设其公比为q．由，，得，，所以．当时，，则；当时，，则．综上，的值为或．

15．【解析】当时，，，所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，且，；当时，，，所以在上单调递减，在上单调递增，且当时，，．作出函数的示意图（略）可知，有且只有三个零点，需满足．

16．【解析】设，，以A，B为切点的抛物线的切线斜率为，．由，得，故，，所以切线PA的方程为，即．同理可得，切线的方程为．设点P的坐标为，所以，，所以，为方程的两根，故，，则．

17．解：（Ⅰ）由表格数据，得，，．由公式，得，，故y关于x的线性回归方程为．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，．设，则，所以，故当时，z取得最大值，此时，即年广告费约为9.2万元时，年利润的预报值最大．

18．解：（Ⅰ）因为，所以，即．由正弦定理，得．因为，所以．因为，所以．又因为，所以，所以．

（Ⅱ）因为D为边BC中点，所以，则．又，，所以，即，当且仅当时取等号，所以，所以面积的最大值为．

19．（Ⅰ）证明：因为四边形ABCD为菱形，所以．因为平面ABCD，平面ABCD，所以．又，，平面BDEF，所以平面BDEF．又平面AFC，所以平面平面AFC．

（Ⅱ）解：如图，设BD交AC于点O，连接OE，OF．由（Ⅰ）可知，平面BDEF，平面BDEF，所以．设，则，，所以，所以．由（Ⅰ）可知，平面ABCD，所以，所以．

20．（Ⅰ）解：，则．注意到，所以是函数的极小值点，则，所以，得．当时，，则函数在上单调递减，在上单调递增，所以，满足条件，故．

（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可得，．令，则，所以，即，，所以．证毕．

21．（Ⅰ）解：由题意，得，化简得，所以曲线C为中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆，不含左、右顶点．

（Ⅱ）①证明：，．因为若直线PQ的斜率为0，则点P，Q关于y轴对称，必有，不合题意，所以直线PQ的斜率必不为0．设直线PQ的方程为．由得，所以，且．因为，即．因为，所以，此时，故直线PQ恒过x轴上一定点．

②解：由①可得，，，所以，当且仅当即时等号成立，所以S的最大值为．

22．解：（Ⅰ）当时，曲线的参数方程为（t为参数）．因为，且，所以曲线的直角坐标方程为．

（Ⅱ）当时，曲线的参数方程为（t为参数）．因为，，所以曲线的直角坐标方程为．设直线l的参数方程为（t为参数）．将直线l的参数方程代入，得．设点A，B，M对应的参数分别为，，．由韦达定理，得．又线段AB的中点为M，所以，所以．

23．（Ⅰ）解：当时，，所以，解得；当时，，所以的解集为；当时，，所以，解得．综上，的解集为．

（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知，当时，，所以．由柯西不等式可得，，所以，当且仅当，，时等号成立，原命题得证．