重庆市南开中学2021-2022高一上学期数学期中试卷及答案

这是一份重庆市南开中学2021-2022高一上学期数学期中试卷及答案，共22页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

重庆南开中学高2024级高一（上）期中考试
数学试题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟. 第Ⅰ卷和第Ⅱ卷都答在答题卷上.
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题8个小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求，答案请涂写在机读卡上．
1. 已知集合，，，则（ ）
A. B.
C. D.
2. 命题“”的否定为（ ）
A. B.
C. D.
3. 已知集合，，则下列图象中，能表示从集合到集合一个函数的为（ ）
A. B.
C. D.
4. 设，则“”是“”的（ ）
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不必要也不充分条件
5. 已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
6. 函数的值域为（ ）
A. B.
C. D.
7. 已知集合，集合，集合满足且，则满足条件的集合的个数为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知定义在上的奇函数在上单调递增，则关于的不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9. 已知，若，，则下列关系式中恒成立的有（ ）
A. B.
C. D.
10. 下列四组函数中是相同函数的有（ ）
A. ；
B. ；
C. ；
D. ；
11. 设函数，（），则下列说法正确的有（ ）
A. 函数的单调递减区间为
B. 若函数为偶函数，则
C. 若函数定义域为，则
D. ，，使得，则
12. 群论是代数学中一门很重要的理论，我们熟知的一元五次及以上的方程没有根式解就可以用群论的知识证明，群的概念则是群论中最基本的概念之一，其定义如下：设是一个非空集合，“”是上的一个代数运算，若满足：
①有；
②，使得，有；
③，使，
则称关于“”构成一个群，则下列说法正确有（ ）
A. 关于数的乘法构成群
B. 有理数集关于数的乘法构成群
C. 关于数的加法构成群
D. 关于数的加法构成群
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
三、填空题：本大题4个小题，每小题5分，共20分.各题答案必须填写在答题卡上相应位置（只填结果，不写过程）.
13. 为庆祝中国共产党成立周年，某校举办了“永远跟党走”文艺汇演活动. 已知高一（1）班参演了两个节目，名同学合唱了歌曲《没有共产党就没有新中国》，名同学表演了诗朗诵《党的赞歌》.其中，两个节目都参加的有名同学.则这个班表演节目的共有____________人.
14. 已知，若则_______.
15. 设函数，若函数在上的最大值为，最小值为，则_______.
16. 设函数，若关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围为____________.
四、解答题：本大题6个小题，共70分. 各题解答必须答在答题卡上（必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）.
17. 设全集，集合，.
（1）若集合恰有一个元素，求实数的值；
（2）若，，求.
18. 集合，，.
（1）求；
（2）现有三个条件：①，②，③条件，，若是的充分不必要条件. 在这三个条件中任选一个填到横线上，并解答本题. 选择多个条件作答时，按第一选择给分.
已知 ，求实数的取值范围.
19. 已知定义在上的函数满足：.
（1）求函数的表达式；
（2）若函数在区间上最小值为，求实数的值.
20. 2019年7月，教育部出台《关于深化教育教学改革全面提高义务教育质量意见》，正式提出“五育并举”的教育方针，要求各级各类学校开足开好劳动教育课. 为此，某中学在校内开辟了种植园区，供学生劳动使用. 为保障同学们种植的作物更好地成长，学校准备采购一批优质种子. 某商家在售的优质种子，原价每千克元，为了促销，准备对购买量大的客户执行团购优惠活动. 购买量没达到千克时，依然按原单价执行；购买量达到或超过千克时，超出部分每多一千克，则购买的所有产品单价每千克降低元. 比如购买千克，则所有的千克均按元单价执行. 另外商家规定一次性最大购买量不超过千克.
（1）求购买该种子千克花费的总费用（元）关于的函数；
（2）学校采购该种子时，幸运的获得了一张元代金券，在购买产品总量不少于千克时，可用来一次性抵扣元. 那么，在购买量不超过千克且花掉代金券的前提下，采购该批种子每千克的平均花费在什么范围？
21. 设二次函数满足，且关于的不等式的解集为.
（1）求函数解析式；
（2）若关于的方程在区间上有解，求实数的取值范围．
22. 已知定义在上的函数满足：
①；
②；
③当时，.
（1）求；
（2）求证：函数在上单调递增；
（3）若实数，在上恒成立，求取值范围.













































重庆南开中学高2024级高一（上）期中考试
数学试题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟. 第Ⅰ卷和第Ⅱ卷都答在答题卷上.
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题8个小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求，答案请涂写在机读卡上．
1. 已知集合，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】计算集合，然后根据交集运算即可.
【详解】由题可知：
所以，所以
故选：B
2. 命题“”的否定为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行求解即可.
【详解】解：由于全称命题“”的否定为特称命题“”，
故命题“”的否定为“”.
故选：D．
3. 已知集合，，则下列图象中，能表示从集合到集合一个函数的为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】依次判断选项中函数图像对应的定义域是否为，且每个都有唯一的在集合中与之对应，即可判断
【详解】选项A，图像对应的定义域不包含，不成立；
选项B，图像存有两个与之对应，不表示函数图像，不成立；
选项C，图像对应的定义域为，且每个都有唯一的与之对应，且值域为，满足题意；
选项D，当，有两个与之对应，不表示函数图像，不成立；
故选：C
4. 设，则“”是“”的（ ）
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不必要也不充分条件
【答案】B
【解析】
【分析】先求解，由充分条件、必要条件的定义即得解
【详解】由题意，或
故“”可以推出“”， 但“” 不可以推出“”
由充分条件、必要条件的定义：
“”是“”充分不必要条件
故选：B
5. 已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，求出二次函数的对称轴，且抛物线开口向上，从而得出函数在上单调递减，结合条件可知，即可求出的取值范围.
【详解】解：二次函数的对称轴为，抛物线开口向上，
函数在上单调递减，
要使在区间上单调递减，
则对称轴，解得：.
故选：C
6. 函数的值域为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题可知，利用换元法，令，得，，将原函数转化为，再根据二次函数的图象和性质，即可求出最值，从而得出函数的值域.
【详解】解：根据题意，可知，则，
令，则，，
所以，
可知当时，取得最大值，无最小值，
所以函数的值域.
故选：A.
7. 已知集合，集合，集合满足且，则满足条件的集合的个数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，可知集合的子集个数共有个，结合条件得出且，从而可得出满足条件的集合的个数.
【详解】解：集合，集合，
则集合的子集个数共有：个，
又因为集合满足且，
可知且，
所以满足条件的集合的个数为：16-4=12个.
故选：B.
8. 已知定义在上的奇函数在上单调递增，则关于的不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，由奇函数的单调性可知在上单调递增，再由奇函数的定义化简得出，分类讨论当和时，由函数的单调性解不等式，即可求出的解集.
【详解】解：已知定义在上的奇函数在上单调递增，
所以在上单调递增，
，则，
当时，在上单调递增，，
则有，解得：，
当时，在上单调递增，，
则有，解得：，
综上得的取值范围为：或，
所以的解集为.
故选：D.
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9. 已知，若，，则下列关系式中恒成立的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】逐一验证，根据不等式性质可知A,B正误；对C，D取值可得结果.
【详解】由题可知：，
所以，，故A,B正确；
令，则，所以，，故C，D错；
故选：AB
10. 下列四组函数中是相同函数的有（ ）
A. ；
B. ；
C ；
D. ；
【答案】BC
【解析】
【分析】依次判断两个函数的定义域和对应法则是否相同，即得解
【详解】选项A，两个函数的定义域分别是与，不表示相同的函数；
选项B，两个函数定义域都为R，且，对应法则相同，故表示相同的函数；
选项C，函数定义域为，函数定义域为，且，
，故对应法则相同，故表示相同的函数；
选项D，函数定义域为，即，函数定义域为，即或，定义域不同，不表示相同的函数
故选：BC
11. 设函数，（），则下列说法正确的有（ ）
A. 函数的单调递减区间为
B. 若函数为偶函数，则
C. 若函数定义域为，则
D. ，，使得，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】对A求得定义域，根据复合函数“同增异减”判断即可；对B，的多项式为偶函数，奇此项为0；对C， 在上恒成立，计算；对D，计算，然后使用分离参数计算即可.
【详解】对A，令或，
所以函数的定义域为，且在单调递减
所以函数的单调递减区间为，故A错；
对B，，由该函数为偶函数，
故，故B正确；
对C，等价于在上恒成立，
所以，所以，故C正确；
对D，，，依题意等价于，
即，，即所以，故D正确；
故选：BCD
12. 群论是代数学中一门很重要的理论，我们熟知的一元五次及以上的方程没有根式解就可以用群论的知识证明，群的概念则是群论中最基本的概念之一，其定义如下：设是一个非空集合，“”是上的一个代数运算，若满足：
①有；
②，使得，有；
③，使，
则称关于“”构成一个群，则下列说法正确的有（ ）
A. 关于数的乘法构成群
B. 有理数集关于数的乘法构成群
C. 关于数的加法构成群
D. 关于数的加法构成群
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据群的定义需满足的三个条件逐一判断即可.
【详解】若，满足乘法结合律，满足②的为1，也满足③，故A正确；
若为有理数集，不满足③，因为当时，不存在，使得，故B错误
若，即为所有偶数组成的集合，满足加法的结合律，满足条件②的为0，
，使，故C正确；
若，满足①

当时，，满足的
，使，故D正确
故选：ACD
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
三、填空题：本大题4个小题，每小题5分，共20分.各题答案必须填写在答题卡上相应位置（只填结果，不写过程）.
13. 为庆祝中国共产党成立周年，某校举办了“永远跟党走”文艺汇演活动. 已知高一（1）班参演了两个节目，名同学合唱了歌曲《没有共产党就没有新中国》，名同学表演了诗朗诵《党的赞歌》.其中，两个节目都参加的有名同学.则这个班表演节目的共有____________人.
【答案】
【解析】
【分析】分别得到只合唱和诗朗诵、以及都参加的人数，然后相交即可.
【详解】由题可知：只合唱的同学又20-5=15人
只诗朗诵的同学有：10-5=5人，
都参加了的同学有：5人
所以这个班表演节目的共有15+5+5=25人
故答案为：25
14. 已知，若则_______.
【答案】
【解析】
【分析】根据分段函数的解析式，先求得，再由，从而可得出的值.
【详解】解：由题可知，，
，
，解得：.
故答案为：.
15. 设函数，若函数在上的最大值为，最小值为，则_______.
【答案】
【解析】
【分析】转化，证明为R上的奇函数，且，，由奇函数性质，即得解
【详解】由题意，
令，定义域为R，且，故为R上的奇函数
且
故若函数在上的最大值为，则；
函数在上的最小值为，则
由于为R上的奇函数，故
即
则
故答案为：2
16. 设函数，若关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围为____________.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，设，可知，从而将不等式的解集为空集，转化为在区间上的解集为空集，从得出而在区间上恒成立，根据二次函数的图象与性质，得出，开口向上，对称轴为，且，分类讨论和两种情况，进而根据一元二次不等式恒成立问题，即可求出的取值范围.
【详解】解：根据题意，可知，
设，则，
因为不等式的解集为空集，
即在区间上的解集为空集，
即在区间上无解，
所以在区间上恒成立，
对于二次函数，开口向上，对称轴为，
，
当，即时，则，
所以在区间上恒成立，符合题意；
当，即时，
令，解得：或，
要使得在区间上恒成立，
只需满足且，
即且，解得：（舍去）或，
又因为，故解得：，
综上得，实数a的取值范围是.
故答案为：.
四、解答题：本大题6个小题，共70分. 各题解答必须答在答题卡上（必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）.
17. 设全集，集合，.
（1）若集合恰有一个元素，求实数的值；
（2）若，，求.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）依据题意可得，计算即可.
（2）根据，分别计算出，然后得到集合，最后根据补集、并集进行运算即可.
【小问1详解】
解得：
【小问2详解】

又
即
检验： ，

18. 集合，，.
（1）求；
（2）现有三个条件：①，②，③条件，，若是的充分不必要条件. 在这三个条件中任选一个填到横线上，并解答本题. 选择多个条件作答时，按第一选择给分.
已知 ，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）选①：；选②；选③
【解析】
【分析】（1）解得集合，然后根据交集运算即可.
（2）选①,得到，然后分，计算即可；选②，分，计算即可；选③可得，分，计算即可；
【小问1详解】
，解得：
， 解得：
，
【小问2详解】
选①：，
当即时，满足题意；
当即时，；
综上：.
选②：当即时，满足题意；
当即时，或，
综上：
选③：由题：.
当即时，满足题意；
当即时，；
综上：.
19. 已知定义在上的函数满足：.
（1）求函数的表达式；
（2）若函数在区间上最小值为，求实数的值.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）由题可知函数满足①，将①式中换成可得②式，联立①②，即可求出函数的表达式；
（2）由（1）可求出，根据二次函数的图象与性质易知开口向上且关于对称，结合题目条件，分类讨论当，，三种情况下的函数在区间上的单调性，进而求得的最小值，从而可得实数的值.
【小问1详解】
解：根据题意，可知函数满足：①，
将①式中换成可得②式：
即：②，
联立①②得，
解得：，
所以函数的表达式为.
【小问2详解】
解：由（1）可得，
而在区间上最小值为，
，易知二次函数开口向上且关于对称，
当，即时，在区间上单调递增，
则，解得：，满足题意，
当，即时，在上单调递减，在上单调递增，
则 ，解得：或（舍去），
当，即时，在区间上单调递减，
则，解得：（舍去），
所以综上得：.
20. 2019年7月，教育部出台《关于深化教育教学改革全面提高义务教育质量的意见》，正式提出“五育并举”的教育方针，要求各级各类学校开足开好劳动教育课. 为此，某中学在校内开辟了种植园区，供学生劳动使用. 为保障同学们种植的作物更好地成长，学校准备采购一批优质种子. 某商家在售的优质种子，原价每千克元，为了促销，准备对购买量大的客户执行团购优惠活动. 购买量没达到千克时，依然按原单价执行；购买量达到或超过千克时，超出部分每多一千克，则购买的所有产品单价每千克降低元. 比如购买千克，则所有的千克均按元单价执行. 另外商家规定一次性最大购买量不超过千克.
（1）求购买该种子千克花费的总费用（元）关于的函数；
（2）学校采购该种子时，幸运的获得了一张元代金券，在购买产品总量不少于千克时，可用来一次性抵扣元. 那么，在购买量不超过千克且花掉代金券的前提下，采购该批种子每千克的平均花费在什么范围？
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据已知条件求得关于的函数.
（2）求得购买种子每千克的平均花费的函数表达式，通过求的值域来求得平均花费的取值范围.
【小问1详解】
当时，；
当时，；
.
【小问2详解】
设购买种子每千克的平均花费为，则由题可知；
此时.
，，
，当时等号成立.
所以当时，取得最小值；当时，取得最大值；
当时，的值域为；
故值域为，即购买种子每千克平均花费在元.
21. 设二次函数满足，且关于的不等式的解集为.
（1）求函数的解析式；
（2）若关于的方程在区间上有解，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意方程的两个根为，设，由，即得解
（2）转化为在上有解，分，两种情况讨论，当时，令，转化为，结合单调性求的值域即得解
【小问1详解】
关于的不等式的解集为
故对应方程的两个根为
设，
又，

【小问2详解】
由在上有解，
① 当时，；
② 当时，令，则，
，
设；
由于都为定义域上的增函数
故在，上单调递增，且
值域为.
值域为
综上，当时原方程有解.
22. 已知定义在上的函数满足：
①；
②；
③当时，.
（1）求；
（2）求证：函数在上单调递增；
（3）若实数，在上恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）赋值法，令，，，即可得解；
（2）利用函数单调性的定义证明，任取，令，结合题干条件证明即可；
（3）结合题干条件以及函数的单调性可转化为，令，可得，利用二次函数的性质即得解
【小问1详解】
取得，
取得，
取得，.
【小问2详解】
任取，令得：
因为，所以，
所以，故函数在上单调递增.
【小问3详解】
，所以
所以，
由（2）知单调递增，则，（*）
定义域，此时也为正
又函数在上有定义，则
令，，
，则，
所以，
（*）式可化为即在恒成立
设，只需解得
综上，.