重庆市西南大学附属2020-2021高一上学期数学期末试卷及答案

西南大学附中2020—2021学年度上期期末考试

高一数学试题

（满分：150分，考试时间：120分钟）

注意事项：

1．答卷前考生务必把自己的姓名，准考证号填写在答题卡上．

2．回答选择题时用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；回答非选择题时，用0.5毫米黑色墨迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．

3．考试结束后，将答题卡交回（试题卷自己保管好，以备评讲）．

一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1. 值为

A.  B.  C.  D.

2. 已知扇形的圆心角为，面积为，则该扇形的半径为（    ）

A.  B.  C.  D.

3. 已知命题，，则p的否定为（    ）

A.  B. ，

C. ， D. ，

4. 关于四个数，，，的大小，下面结论正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

5. 的值为（    ）

A.  B. 1 C.  D. 2

6. 在的图象大致是（    ）

A.  B.

C.  D.

7. 函数单调递增区间是（    ）

A.  B.  C.  D.

8. 若，则的值域为（    ）

A.  B.

C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．）

9. 下列式子中，能使成立的充分条件有（    ）

A.  B.  C.  D.

10. 设集合，若，则实数a的值可以为（    ）

A.  B. 0 C. 3 D.

11. 关于函数，下列叙述正确的是（    ）

A. 偶函数 B. 在区间单调递增

C. 的最大值为2 D. 在有4个零点

12. 已知函数是定义在R上的偶函数，对任意的x都有，且，对任意的，，且时，恒成立，则（    ）

A. 3的一个周期 B.

C. 在上是减函数 D. 方程在上有4个实根

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．）

13. 已知集合，，则__________．

14. 已知幂函数为偶函数，且在区间上是增函数，则 ____________．

15. 设为锐角，若，则的值为____________．

16. 已知函数，则方程的根的个数为 ________．

四、解答题解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）

17. 已知是三角形的一个内角，．

（1）求的值；

（2）求值．

18. 已知集合，集合．

（1）求；

（2）已知，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．

19. 已知锐角与钝角，，．

（1）求值；

（2）求的值．

20. 已知函数，．

（1）求函数的周期和值域；

（2）设，若对任意的及任意的，都有不等式恒成立，求实数的取值范围．

21. 已知函数为R上的偶函数．

（1）求实数k的值；

（2）若方程在恰有两个不同实根，求实数a的取值范围．

22. 已知．

（1）求的递增区间；

（2）是否存在实数，使得不等式对任意的恒成立，若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．

西南大学附中2020—2021学年度上期期末考试

高一数学试题

（满分：150分，考试时间：120分钟）

注意事项：

1．答卷前考生务必把自己的姓名，准考证号填写在答题卡上．

2．回答选择题时用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；回答非选择题时，用0.5毫米黑色墨迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．

3．考试结束后，将答题卡交回（试题卷自己保管好，以备评讲）．

一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1. 的值为

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【详解】试题分析：故选D．

考点：诱导公式．

2. 已知扇形的圆心角为，面积为，则该扇形的半径为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

利用扇形面积公式计算即可.

【详解】由题知：，故.

故选：A

【点睛】本题主要考查扇形面积公式，熟记公式为解题的关键，属于简单题.

3. 已知命题，，则p的否定为（    ）

A.  B. ，

C. ， D. ，

【答案】B

【解析】

【分析】

按存在性命题否定规则判断.

【详解】p的否定为: ，.

所以B正确，A、C、D错误.

故选:B

【点睛】此题考查全称命题与存在性命题的否定，属于基础题.

4. 关于四个数，，，的大小，下面结论正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据指数函数和对数函数的单调性求出每个数的范围即可比较大小.

【详解】，，，，

.

故选：B.

5. 的值为（    ）

A.  B. 1 C.  D. 2

【答案】B

【解析】

【分析】

根据正切的差角公式逆用可得答案．

【详解】，

故选：B．

6. 在的图象大致是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据为奇函数，可排除C、D，求得的值，可排除B，即可得答案.

【详解】由题意得，

所以为奇函数，图象关于原点对称，故排除C、D，

又当时，，

所以可排除B，只有A选项图象满足题意，

故选：A

7. 函数的单调递增区间是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

求出函数的定义域，利用复合函数法可求得函数的单调递减区间.

【详解】对于函数， ，解得或，

所以，函数的定义域为 .

内层函数在区间上单调递减，在区间 上单调递增，

外层函数为增函数，

因此，函数的单调递增区间为 .

故选：D.

【点睛】方法点睛：形如的函数为 ,的复合函数，为内层函数, 为外层函数.

当内层函数单增，外层函数单增时，函数 也单增；

当内层函数单增，外层函数单减时，函数 也单减；

当内层函数单减，外层函数单增时，函数 也单减；

当内层函数单减，外层函数单减时，函数 也单增.

简称为“同增异减”.

8. 若，则的值域为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】作出函数的图象，结合正弦、余弦函数图象与性质，即可求解.

【详解】由题意，作出函数的图象，如图所示，

当时，可得，

则；

当时，可得，则，

所以函数的值域为.

故选：B.

二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．）

9. 下列式子中，能使成立的充分条件有（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】ABD

【解析】

【分析】

根据不等式性质，逐个判断即可得解.

【详解】对A，因为，所以，故A正确，

对B，，根据不等式的性质可得：，故B正确

对C，由于，所以，故C错误，

对D，由于，根据不等式的性质可得：，根D正确，

故选：ABD.

【点睛】本题考查了充分条件的判断，考查了不等式的性质，属于基础题.

10. 设集合，若，则实数a的值可以为（    ）

A.  B. 0 C. 3 D.

【答案】ABD

【解析】

【分析】先求出集A，B，再由得，然后分和两种情况求解即可

【详解】解：，

∵，∴，

∴①时，；

②时，或，∴或.

综上，或，或

故选：ABD.

11. 关于函数，下列叙述正确的是（    ）

A. 是偶函数 B. 在区间单调递增

C. 的最大值为2 D. 在有4个零点

【答案】AC

【解析】

【分析】根据函数的奇偶性、单调性、最值，零点等概念结合正弦函数性质判断各选项．

【详解】，是偶函数，A正确；

时，，单调递减，B错误；

，且，因此C正确；

在上，时，，

时，，

的零点只有共三个，D错．

故选：AC．

12. 已知函数是定义在R上的偶函数，对任意的x都有，且，对任意的，，且时，恒成立，则（    ）

A. 3的一个周期 B.

C. 在上是减函数 D. 方程在上有4个实根

【答案】BD

【解析】

【分析】由，得到，可判定A不正确；根函数的周期性和的值，可判定B正确；根据函数的单调性和奇偶性、周期性，可判定C不正确；根据题意求得，进而求得方程的根，可判定D正确，即可求解.

【详解】由，可得，所以函数是周期为6的周期函数，

所以A不正确；

因为，可得，所以B正确；

因为对任意的，且时，恒成立，

所以函数在上为单调递增函数，

又由函数为偶函数，所以上为单调递减函数，

所以函数在上单调递增，在区间上单调递减，

所以函数在区间先增后减，所以C不正确；

由，可得，所以，

可得在区间内，方程，可得的实根为，

故D正确.

故选：BD

【点睛】函数的周期性有关问题的求解策略：

1、求解与函数的周期性有关问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期；

2、解决函数周期性、奇偶性和单调性结合问题，通常先利用周期性中自变量所在区间，再利用奇偶性和单调性求解.

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．）

13. 已知集合，，则__________．

【答案】

【解析】

【分析】求出集合，再利用集合的交运算即可求解.

【详解】，

，

所以.

故答案为：

14. 已知幂函数为偶函数，且在区间上是增函数，则 ____________．

【答案】

【解析】

【详解】

【分析】试题分析：由幂函数在区间 上是增函数，则，解得 ，当时， ，此时为奇函数，不满足题意；当 时，，此时 为偶函数；当时， ，此时为奇函数，不满足题意，综上所述， ．

考点：幂函数的图象与性质．

15. 设为锐角，若，则的值为____________．

【答案】

【解析】

【分析】由条件求得的值，利用二倍角公式求得和的值，再根据，利用两角差的正弦公式计算求得结果．

【详解】∵为锐角，，∴，

∴，

．

故

故答案为：.

【点睛】要善于根据题目条件凑角，再运用三角恒等变换公式.

16. 已知函数，则方程的根的个数为 ________．

【答案】4

【解析】

【分析】作出函数的大致图象，根据与的图象交点个数即可得出结果.

【详解】方程的根的个数，

即函数与函数的图象交点个数，

在同一坐标系中作出两个的图象，如下：

由图象可知，方程的根的个数为4.

故答案为：4

四、解答题解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）

17. 已知是三角形的一个内角，．

（1）求的值；

（2）求的值．

【答案】（1）；（2）0.

【解析】

【分析】（1）将平方可得，再将平方即可求解.

（2）法一：由（1）求出，从而可得，利用诱导公式以及齐次式可求解；法二：利用诱导公式将代入直接求解即可.

【详解】（1）由，

则，

所以，

则，所以.

又因为，且是三角形的内角，所以，

则，所以.

（2）法一：由，

所以,

则原式

法二：，

则原式

18. 已知集合，集合．

（1）求；

（2）已知，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】（1）先化简与集合，再计算并集即可；

（2）化简，又因为是的充分不必要条件，则即可得出结果.

【详解】（1）由得 则 ，由得 则，所以；

（2）， 因为是的充分不必要条件

所以是的真子集，所以， 即

19. 已知锐角与钝角，，．

（1）求的值；

（2）求的值．

【答案】（1）；（2）

【解析】

【分析】（1）根据，的范围结合平方关系，可得，然后使用两角差的余弦公式可得结果.

（2）根据（1）可得，依据，使用两角和的余弦公式，计算，最后可得结果.

【详解】（1）由题可知：

且，

所以

所以

（2）由，则

又由（1）可知，，所以

所以

则，所以

所以

所以

所以

【点睛】本题考查两角和与差的余弦公式以及平方关系，关键在于角度的范围以及对公式的记忆，考验计算能力，属中档题.

20. 已知函数，．

（1）求函数的周期和值域；

（2）设，若对任意的及任意的，都有不等式恒成立，求实数的取值范围．

【答案】（1），；（2）.

【解析】

【分析】（1）利用辅助角公式化简可得，代入周期公式，可求得周期T，根据x的范围，求得的范围，根据正弦型函数的性质，即可求得答案.

（2）根据题意可得，由（1）可得，分别讨论，，三种，的最小值，结合对勾函数的性质，即可求得答案.

【详解】（1），

周期

由，则，

所以当，即时，有最小值-1

当，即时，有最大值，

所以，所以.

即的值域为

（2）对任意的及任意的，都有不等式恒成立，

只需当

由（1）知，.

当，为上增函数，值域为R，不满足题意；

当，为上增函数，值域为,不满足题意；

当，为对勾函数，

所以，即，

当且仅当，即时取等号.

由题意，即可，所以.

【点睛】解题的关键是将题干条件等价为，分别根据的范围，求得两函数的最值，再进行求解，考查分析计算的能力，属中档题.

21. 已知函数为R上的偶函数．

（1）求实数k的值；

（2）若方程在恰有两个不同实根，求实数a的取值范围．

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】（1）运用偶函数定义即可；

（2）将表示成的函数，运用数形结合即可.

【详解】（1）由题意得，

即，

化简得，

从而，此式在上恒成立，

∴；

（2）由（1）得在恰有两个不同实根，

即在恰有两个不同实根，等价转化为在恰有两个不同实根，

设，所以，所以在单调递减，在单调递增，

当时，有最小值2，当或时，有最大值.

所以，

在恰有两个不同实根，所以在上有2个解，

所以，

即方程在恰有两个不同实根，实数的取值范围.

【点睛】含参方程有解的问题，可以分离参数，然后运用数形结合的方法求解.

22. 已知．

（1）求的递增区间；

（2）是否存在实数，使得不等式对任意的恒成立，若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．

【答案】（1）；（2）存，.

【解析】

【分析】（1）利用二倍角公式化简可得，从而可得，由正弦函数的单调性可得，，解不等式即可.

（2）不等式化为，令，不等式等价为在恒成立，令函数根据二次函数根分布只需，解不等式即可.

详解】（1）解：，

，

解得，

函数的递增区间为；

（2）假设存在这样的实数,则不等式即为,

令则

则不等式

又，

由，，

所以

令函数

即恒成立，

由一元二次方程根的分布，

只需.