江苏省连云港市2021-2022高一下学期数学期末试卷及答案

2021~2022学年第二学期期末调研考试

高一数学试题

注意事项：

1． 考试时间120分钟，试卷满分150分．

2． 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．

3． 请用2B铅笔和0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上指定区域内作答．

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 计算的结果是（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 在锐角三角形中，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

3. 一架飞机向目标投弹，击毁目标的概率为0.2，目标未受损的概率为0.4，则使目标受损但未击毁的概率是（    ）

A. 0.4 B. 0.48 C. 0.6 D. 0.8

4. 某校高一年级1000名学生在一次考试中的成绩的频率分布直方图如图所示，现用分层抽样的方法从成绩40~70分的同学中共抽取80名同学，则抽取成绩50~60分的人数是（    ）

A. 20 B. 30 C. 40 D. 50

5. 已知，，设，的夹角为，则在上的投影向量是（    ）

A.  B.  C.  D.

6. 一个直角梯形上底、下底和高之比为，将此直角梯形以垂直于底的腰为轴旋转一周形成一个圆台，则这个圆台上底面积、下底面积和侧面积之比为（    ）

A.  B.  C.  D.

7. 若a，b为两条异面直线，，为两个平面，，，，则下列结论中正确的是(    )

A. l至少与a，b中一条相交

B. l至多与a，b中一条相交

C. l至少与a，b中一条平行

D. l必与a，b中一条相交，与另一条平行

8. 如图，屋顶的断面图是等腰三角形，其中，横梁的长为8米，，为了使雨水从屋顶（设屋顶顶面为光滑斜面）上尽快流下，则的值应为（    ）

A.  B.  C.  D.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．

9. 一组数据2，6，8，3，3，3，7，8，则（    ）

A. 这组数据的平均数是5 B. 这组数据的方差是

C. 这组数据的众数是8 D. 这组数据的75百分位数是6

10. 在等腰直角三角形中，斜边，向量，满足，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

11. 在长方体中，矩形、矩形、矩形的面积分别是，，，则（    ）

A.  B. 长方体的体积为

C. 直线与的夹角的余弦值为 D. 二面角的正切值为2

12. 在平面四边形中，，，，则（    ）

A. 当时，，，，四点共圆

B 当，，，四点共圆时，

C. 当时，四边形的面积为3

D. 四边形面积的最大值为

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 已知是锐角，，则的值是_________．

14. 已知复数满足，的虚部为－2，所对应的点在第二象限，则_________．

15. 曲柄连杆机构的示意图如图所示，当曲柄在水平位置时，连杆端点在的位置，当自按顺时针方向旋转角时，和之间的距离是，若，，，则的值是_________．

16. 在三棱锥中，平面，，，，则三棱锥体积为_________，三棱锥的内切球的表面积为_________．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 已知向量，满足，，．求：

（1）；

（2）与的夹角．

18. 从1，2，3，4，5中任取2个数字，组成没有重复数字的两位数．

（1）求组成两位数是偶数的概率；

（2）判断事件“组成的两位数是偶数”与事件“组成的两位数是3的倍数”是否独立，并说明理由．

19. 如图，在四棱锥中，底面是菱形．

（1）若点是的中点，证明：平面；

（2）若，，且平面平面，求直线与平面所成角正切值．

20. 已知向量，向量．

（1）若是第四象限角，且，求的值；

（2）若函数，对于，不等式（其中）恒成立，求的最大值．

21. 在中，，，是边上一点，且．

（1）若，求面积；

（2）是否存在？若存在，求的长；若不存在，说明理由．

22. 如图，在正方体中：

（注：如需添加辅助线，请将第（1）（2）问的辅助线分别作在答题卡中的图1与图2上）

（1）证明：平面；

（2）若，点是棱上一点（不包含端点），平面过点，且，求平面截正方体所得截面的面积的最大值．

高一数学参考答案

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. C        2.  A        3. A      4. B       5. A       6. D      7. B      8. B 

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。

9. AB        10. ACD       11. BC    12. ACD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.      14.     15.  5     16.  6  （第一空2分，第二空3分）

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.解：（1）由，得，     ………………………………………2分

故，代入=1，=，得，  …………………4分

      由，得   ………………………………6分

     （2） 由  ……………8分

      故与的夹角为 ………………………………………………………10分

18.解：（1）设事件A:“组成的两位数是偶数”，则样本空间

,  …………2分

,

故,      ………………………………………………………………5分

即组成的两位数是偶数的概率是   ………………………………………………6分

（2）设事件B：“组成的两位数是3的倍数”，

则,,

故, ,    ……………………………………………10分

故

即“组成的两位数是偶数”与事件“组成的两位数是3的倍数”不独立．  ……12分

19.解：（1）连接AC交BD于点M，连接EM，

因为底面ABCD是菱形，故点M是BD的中点，

又因为点E是PD的中点，故∥……………………………………………1分

    又因为平面, 平面,

  所以，PB∥平面;      …………………………………………………………4分

  （2）取AD的中点O，连接PO，BO,

因为，且O为AD的中点，

故⊥AD，   …………………………………5分

又因为平面PAD⊥平面ABCD，

平面PAD平面ABCD=AD, 平面

    故⊥平面ABCD ……………………………8分

  则直线PB与平面ABCD所成角为   ……………9分

    在△PAD中，,

    在△BAO中，

    在Rt△PBO 中，，

  故直线PB与平面ABCD所成角的正切值为…………………………………12分

20.解：（1）因为∥，故

       又因为是第四象限角，故  ………………………………………2分

       由，

得………………………………………………………………………4分

（2）

  ……………………………………………………………………8分

   又，当时，，

当，   ………………………………………………………10分

   故，，则的最大值为      ……………………………12分

21.解：（1）在中,,，

由余弦定理得，  ……………………2分

则

       ………………4分

（2）由得

故………6分

在中,由正弦定理,得,

,即

又因为，解得    …………………8分

在中,由正弦定理得,

   ………………………………………………………10分

在中, 由余弦定理,,

得解得 此时所以BM不存在.

                   ………………………………………………………………12分

22.解：（1）连接,,

在正方体中，,

由平面,，得,

又因为,故平面,

又因为平面,

故，…………………………………………2分

同理，又因为,所以⊥平面;……………………4分

（2）过点P作PQ∥AC，交AD于点Q,  

过点Q作QS∥,交于S，

 过点作∥,交于R,

由作法可知，,∥，故∥,

 又QS∥，故QS∥,则Q,S,P,R四点共面， 

由QS∥∥,∥,

 由（1）可知⊥，⊥，

故⊥QS，⊥，QS,故⊥平面,

 平面即为所求的平面……………………………………………………6分

 因为平面 ∥平面,平面平面,

设平面平面,则∥OT，

又因为QS∥∥，可得OT∥,

同理可得：OP∥,

故平面截正方体所得截面为平面六边形…………8分

设 

则，，PR=

     等腰梯形的面积， 等腰梯形的面积，

截面六边形面积，………………………11分

当，

故平面截正方体所得截面的截面面积的最大值为……12分

(注：仅仅作出截面，并求出最大值的，但没有说明理由的，本问得2分