江苏省南京市江宁区2021-2022高一下学期数学期末试卷及答案

2021-2022学年第二学期期末试卷

高一数学              2022.06

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.的值为

A.1               B.－1             C.              D.

2. 数据0,1,2,3,4,5,6,7,8,9的60百分位数为

A.6              B.6.5             C.7            D.5.5

3.设为平面内一个基底，已知向量，，，若，，三点共线，则的值是

A.2     B.1            C.－2    D.－1

4.已知圆锥的表面积等于12π cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为

A．1 cm               B．2 cm            C．3 cm             D. cm

5. 设函数在区间（k,k+1）（）内有零点，则k的值为

A．-1         B．0          C．1        D．2

6.已知，则

A． B． C． D．

7.《九章算术》把底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三

棱柱称为“堑堵”，把底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的

四棱锥称为“阳马”，现有如图所示的“堑堵"，

其中，，当“阳马”（即四棱锥

）体积为时，则“堑堵”即三棱柱

的外接球的体积为

A．     B．      C．      D．

8. 在中，，，，为线段上的动点，且，则的最小值为

A．            B．            C． D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9. 下列有关复数的说法正确的是

A. 若复数，则 B. 若，则是纯虚数

C. 若是复数，则一定有  D. 若，则

10.已知是不同的平面，m,n是不同的直线，则使得成立的充分条件是

A.  B.

C.  D.

11. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，下列说法正确的是

A．若有两解

B．若有两解

C．若为锐角三角形，则b的取值范围是

D．若为钝角三角形，则b的取值范围是

12. 已知点O为所在平面内一点，且则下列选项正确的有

A．              B.直线过边的中点

C．              D.若，则

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，其中第16题第一空3分，第二空2分，共20分。

13. tan15°=    ▲    ．

14. 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为    ▲   

15. 在平面直角坐标系xoy中，点A(1,2)、B(2,3)、C(3,－1)，以线段AB，AC为邻边作平行四边形，两条对角线中较长的对角线长为    ▲   

16. 我国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数学九章》中提出了“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积，把以上文字写出公式，即 (其中为三角形面积，a,b,c为三角形的三边). 在非直角中，a,b,c为内角A,B,C所对应的三边，若a=3且，则面积的最大值是    ▲    ，此时外接圆的半径为    ▲   

四、解答题：本题共6小题，其中第17题10分，其余各题为12分，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.已知复数，，，若一复数的实部与虚部互为相反数，则称此复数

为“理想复数”，已知为“理想复数”.

(1)求实数；

(2)定义复数的一种运算“”：，求.

18.社会的进步与发展，关键在于人才，引进高素质人才对社会的发展具有重大作用．某市进行人才引进，需要进行笔试和面试，按笔试成绩从高分到低分排序，根据面试人数确定面试人员，一共有名应聘者参加笔试，他们的笔试成绩都在内，将笔试成绩按照、、……、分组，得到如图所示频率分布直方图．

(1)求频率分布直方图中的值；

(2)求全体应聘者笔试成绩的众数和平均数（每组数据以区间中点值为代表）；

(3)若计划面试人，请估计参加面试的最低分数线．

19.已知为锐角，．

(1)求的值； 

(2)求的值．

20.在中，分别为角的对边，，且，.

(1)求角大小.

(2)为边上一点，，且    ▲    ，求的面积.

（从①为的平分线，②为的中点，两个条件中任选一个补充在上面的横线上并作答.如果都选，以选①计分.）

21．如图，三棱锥中，为等边三角形，且面面，，

(1)求证：；

(2)当与平面BCD所成角为45°时，求二面角的余弦值．

22.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝6，P，Q为边BC上两点，＝＝＝2，∠CAQ＝．

（1）求AQ的长；

（2）过线段AP中点E作一条直线l，分别交边AB，AC于M，N两点，设，（xy≠0），求x+y的最小值．

2021-2022学年第二学期期末试卷

高一数学参考答案

一、 单选题：

1．B   2.D   3.D   4.B   5.C   6.D   7.B   8.C

二、多选题

9.AD   10.BC    11.AC   12.ACD

三、填空题

13.2 -      14.    15.      16. .

四、解答题

17.由题得

……………………………………………………2分

是“理想复数”

……………………………………………………4分

(2)

由（1）知，则

由……………………………………………………6分

得…………………10分

18. 解：

(1)由题意有，解得.…………2分

(2)应聘者笔试成绩的众数为，…………4分

应聘者笔试成绩的平均数为．…………7分

(3)方法一：因为面试150人，，所以最低分数在前25%，应该在 范围内；

所以最低分数线估计为：60+=65

方法二，所以，面试成绩的最低分为百分位数，

前两个矩形面积之和为，前三个矩形的面积之和为，

设百分位数为，则，解得.

因此，若计划面试人，估计参加面试的最低分数线为.…………12分

19. (1)因，所以.…………………………………5分

(2)因为锐角，则，而，则，……………………………………………………7分

于是得，所以.………10分

∴ ……………………………………………………12分

20. (1) ……………………………………………………2分

由正弦定理得：

，

……………………………………………………4分

(2)选①：

由平分得：

，

所以，（1）……………………………………………6分

在中，由余弦定理得：

所以，（2）………………………………………………8分

（1）（2）联立得

解得，解得，………………………………………………10分

所以，………………………………………………12分

选②：

，

，得（1）……………………………………6分

中，由余弦定理得

所以，（2）……………………………………………8分

（2）-（1）即可得，………………………………………………10分

.……………………………………………12分

21. (1)在三棱锥中，平面平面，平面平面，而，

平面，因此有平面，又有平面，

所以.……………………………………………4分

(2)取BC中点F，连接AF，DF，如图，

因为等边三角形，则，

而平面平面，平面平面，

平面，于是得平面，

是与平面BCD所成角，即，………………6分

令，则，因，即有，由(1)知，，则有，

过C作交AD于O，在平面内过O作交BD于E，连CE，从而得是二面角的平面角，………………………………8分

中，，，

中，由余弦定理得，

，，显然E是斜边中点，则，

中，由余弦定理得，所以二面角的余弦值.……………………………………………12分

22. 解：（1）在△ABD与△AQC中分别有正弦定理可得：＝和＝，

两式相除可得：＝，

又因为＝＝＝2，所以可得sin∠BAQ＝sin∠CAQ，

因为∠CAQ＝，∠BAQ∈（0，π），

所以∠BAQ＝或π（舍），……………………………………………2分

因为＝＝2，所以CP＝2BP，AB＝2AC，

又a＝6，在△ABC中，由余弦定理可得a2＝b2+c2﹣2bccos∠BAC，可得b2＝，……………………………………………4分

在△ABQ和△ACQ中由余弦定理可得：

，

可得AQ2＝2b2﹣8＝2×﹣8＝，

所以AQ＝；……………………………………………6分

（2）因为＝2，所以CP＝2BP，得＝﹣2，

得﹣＝﹣2（﹣），

所以＝+，

同理：设＝﹣λ，λ≠0，得＝+，…………………………………………8分

因为E为AP中点，所以＝+＝+，

所以可得：，

可得：+＝1，……………………………………………10分

x+y＝（x+y）•（+）＝+++≥+2＝+，

当且仅当：＝时取等号，即x＝，y＝，

所以x+y的最小值．……………………………………………12分