江苏省泰州市2021-2022高一下学期数学期末试卷及答案

这是一份江苏省泰州市2021-2022高一下学期数学期末试卷及答案，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
江苏省泰州市2021—2022学年高一下学期期末考试
数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知复数，其中i为虚数单位，则
A． B． C．3 D．5
2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，则sinB＝
A． B． C． D．
3．已知向量＝(1，t)，＝(3，﹣6)，且∥，则实数t＝
A． B．﹣2 C． D．2
4．某学校有高中学生1000人，其中高一年级、高二年级、高三年级的人数分别为320，300，380．为调查学生参加“社区志愿服务”的意向，现采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为100的样本，那么应抽取高二年级学生的人数为
A．68 B．38 C．32 D．30
5．从2名男生和2名女生中任选2名学生参加座谈会，则下列事件互斥的是
A．“恰好选中1名男生”与“恰好选中1名女生”
B．“至少选中1名男生”与“至少选中1名女生”
C．“选中2名男生”与“选中2名女生”
D．“至多选中1名男生”与“至多选中1名女生”
6．已知，则
A．﹣1 B． C． D．2
7．某工厂需要制作一个如图所示的模型，该模型为长方体ABCD—A′B′C′D′挖去一个四棱锥O—EFGH后所得的几何体，其中O为长方体ABCD—A′B′C′D′的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，AB＝BC＝4cm，AA′＝2cm，那么该模型的表面积为
A．cm2 B．cm2
C．cm2 D．cm2
8．某人工生态园内栽种了10万余株水杉、池杉等品种树木，垛与垛间的夹沟里鱼游虾戏，这里是丹顶鹤、黑鹳、猫头鹰、灰鹭、苍鹭、白鹭等候鸟的乐园．游客甲与乙同时乘竹筏从码头沿下图旅游线路游玩．甲将在“院士台”之前的任意一站下竹筏，乙将在“童话国”之前的任意一站下竹筏，他们两人下竹筏互不影响，且他们都至少坐一站再下竹筏，则甲比乙后下的概率为

A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．下列说法正确的是
A．用简单随机抽样的方法从含有60个个体的总体中抽取一个容量为6的样本，则每个个体被抽到的概率是0.1
B．已知一组数据1，2，m，m＋1，8，9的平均数为5，则这组数据的中位数是5
C．已知某班共有45人，小明在一次数学测验中成绩排名为班级第9名，则小明成绩的百分位数是20
D．若样本数据，，…，的方差为8，则数据2﹣1，2﹣1，…，2﹣1的方差为15
10．在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，下列选项正确的有
A．AD∥平面A1BC1
B．DB1⊥平面A1BC1
C．三棱锥D—A1BC1的外接球的表面积为12π
D．三棱锥D—A1BC1的体积为
11．如图，已知菱形ABCD的边长为6，E为BC中点，，下列选项正确的有
A．
B．若∠BAD＝60°，则
C．若∠BAD＝60°，则
D．
12．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若b＝，c＝2，，则下列说法正确的有
A．A＋3C＝π B．sinC＝ C．a＝2 D．S△ABC＝
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知一组数据为2，3，6，7，8，10，11，13，若在这组数据中插入一个自然数a使得这组新数据满足中位数是7且平均数大于7，则a可以是 .（写出符合条件的一个值）
14．如图，一个圆形漏斗由上、下两部分组成，上面部分是一个圆柱，下面部分是一个共底面的圆锥，若圆锥的高是圆柱高的3倍，且圆柱的容积为V，则这个漏斗的容积为 ．
15．欧拉1707年4月15日生于瑞士巴塞尔，1783年9月18日卒于俄国圣彼得堡．他生于牧师家庭．15岁在巴塞尔大学获学士学位，翌年得硕士学位．1727年，欧拉应圣彼得堡科学院的邀请到俄国．1731年接替丹尼尔·伯努利成为物理教授．他以旺盛的精力投入研究，在俄国的14年中，他在分析学、数论和力学方面作了大量出色的工作．1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式（其中i为虚数单位），这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”．根据此公式，则＝ ；＝ ．（第一空2分，第二空3分）
16．如图所示，该图由三个全等的△BAD、△ACF、△CBE构成，其中△DEF和△ABC都为等边三角形，若DF＝2，∠DAB＝，则AB＝ ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）
已知复数z满足z﹣1为纯虚数，(1﹣2i)·z为实数，其中为虚数单位．
（1）求复数z；
（2）若，求实数x，y的值．



18．（12分）
为提高教学效果，某校对高一某班期中考试数学成绩做了如下统计，用折线图分别表示出男生和女生在本次考试中的成绩（单位：分，且均为整数）．根据全体学生的成绩绘制了频率分布直方图，根据试卷难度测算，将考试成绩在130分以上（含130分）定义为优秀．由于电脑操作失误，折线图中女生数据全部丢失，无法找回．但据数学老师回忆，确定班级成绩中分数在140分（含140分）以上的仅有两人，且都是男生．
（1）求该班级人数及女生成绩在[110，120)的人数；
（2）在成绩为“优秀”的学生中随机选取2人参加省中学生数学奥林匹克竞赛，求选取的恰好是一个男生和一个女生的概率．



19．（12分）
已知向量＝(，)，＝(，)，且⊥．
（1）求cos(＋)的值；
（2）若(0，)，(，π)且，求的值．






20．（12分）
如图，已知斜三棱柱ABC—A1B1C1，∠A1AC＝60°，∠BCA＝90°，AC＝BC＝AA1＝2，且平面ACC1A1⊥平面ABC．
（1）求证：A1B⊥AC1；
（2）求直线A1B 与平面ABC所成角的正弦值．



21．（12分）
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，请在①，②2a﹣c＝2bcosC，③S△ABC这三个条件中任选一个，完成下列问题．
（1）求角B；
（2）在（1）的条件下，若点D为AC的中点，且AB＝3，BD＝，求△ABC的面积．
注：如果选择多组条件分别解答，按第一组解答计分．







22．（12分）
如图（1），在△ABC中，AB＝BC＝2，∠ABC＝90°，E，F，H分别为边AB，AC，BC的中点，以EF为折痕把△AEF折起，使点A到达点P位置（如图（2））．
（1）当PB＝时，求二面角P—EF—B的大小；
（2）当四棱锥P—BCFE的体积最大时，分别求下列问题：
（Ⅰ）设平面PBE与平面PFH的交线为l，求证：l⊥平面PEF；
（Ⅱ）在棱PF上是否存在点N，使得BN与平面PEF所成角的正弦值为？若存在，求PN的长；若不存在，请说明理由．



















江苏省泰州市2021—2022学年高一下学期期末考试
数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知复数，其中i为虚数单位，则
A． B． C．3 D．5
【答案】B
【解析】∵，∴，∴．
2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，则sinB＝
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵，∴，∴sinB＝．
3．已知向量＝(1，t)，＝(3，﹣6)，且∥，则实数t＝
A． B．﹣2 C． D．2
【答案】B
【解析】∵∥，∴1×(﹣6)﹣3t＝0，解得t＝﹣2．
4．某学校有高中学生1000人，其中高一年级、高二年级、高三年级的人数分别为320，300，380．为调查学生参加“社区志愿服务”的意向，现采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为100的样本，那么应抽取高二年级学生的人数为
A．68 B．38 C．32 D．30
【答案】D
【解析】＝30，即抽取高二年级学生的人数为30．
5．从2名男生和2名女生中任选2名学生参加座谈会，则下列事件互斥的是
A．“恰好选中1名男生”与“恰好选中1名女生”
B．“至少选中1名男生”与“至少选中1名女生”
C．“选中2名男生”与“选中2名女生”
D．“至多选中1名男生”与“至多选中1名女生”
【答案】C
【解析】互斥事件是指不可能同时发生的两个事件，根据定义，结合题意可知“选中2名男生”与“选中2名女生”这两件事不可能同时发生，故选C．
6．已知，则
A．﹣1 B． C． D．2
【答案】C
【解析】∵，∴，分子分母同时除以，得，整理得，考虑到分母≠0，故＝．
7．某工厂需要制作一个如图所示的模型，该模型为长方体ABCD—A′B′C′D′挖去一个四棱锥O—EFGH后所得的几何体，其中O为长方体ABCD—A′B′C′D′的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，AB＝BC＝4cm，AA′＝2cm，那么该模型的表面积为

A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．cm2
【答案】A
【解析】连接FH，取FH中点O′，取HG中点M，连接OO′，OM，O′M，则OO′＝1，O′M＝，根据勾股定理得OM＝，∴S表＝，选A．

8．某人工生态园内栽种了10万余株水杉、池杉等品种树木，垛与垛间的夹沟里鱼游虾戏，这里是丹顶鹤、黑鹳、猫头鹰、灰鹭、苍鹭、白鹭等候鸟的乐园．游客甲与乙同时乘竹筏从码头沿下图旅游线路游玩．甲将在“院士台”之前的任意一站下竹筏，乙将在“童话国”之前的任意一站下竹筏，他们两人下竹筏互不影响，且他们都至少坐一站再下竹筏，则甲比乙后下的概率为

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】本题考察古典概型，甲将在“院士台”之前的任意一站下竹筏，且甲至少坐一站再下竹筏，可知甲下竹筏共有10种情况，乙将在“童话国”之前的任意一站下竹筏，且乙至少坐一站再下竹筏，可知乙下竹筏共有7种情况，故共有7×10＝70种情况，其中甲比乙后下的情况有9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＝42种情况，故概率＝，选B．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．下列说法正确的是
A．用简单随机抽样的方法从含有60个个体的总体中抽取一个容量为6的样本，则每个个体被抽到的概率是0.1
B．已知一组数据1，2，m，m＋1，8，9的平均数为5，则这组数据的中位数是5
C．已知某班共有45人，小明在一次数学测验中成绩排名为班级第9名，则小明成绩的百分位数是20
D．若样本数据，，…，的方差为8，则数据2﹣1，2﹣1，…，2﹣1的方差为15
【答案】AB
【解析】60个个体的总体中抽取一个容量为6的样本，每个个体被抽到的概率是＝0.1，故A正确；易知m＋(m＋1)＝5×6﹣1﹣2﹣8﹣9＝10，则，∴这组数据的中位数是5，B正确；45×20%＝9，故第20百分位数是9.5，C错误；若样本数据，，…，的方差为8，则数据2﹣1，2﹣1，…，2﹣1的方差为32，故D错误．
10．在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，下列选项正确的有
A．AD∥平面A1BC1
B．DB1⊥平面A1BC1
C．三棱锥D—A1BC1的外接球的表面积为12π
D．三棱锥D—A1BC1的体积为
【答案】BD
【解析】∵BC与平面A1BC1相交，而AD∥BC，故A错误；易证A1B⊥平面AB1C1D，∴DB1⊥A1B，同理可证DB1⊥C1B，故DB1⊥平面A1BC1，B正确；由于棱长为a的正四面体的外接球半径为，而三棱锥D—A1BC1是棱长为的正四面体，故其外接球半径为，∴外接球表面积为，故C错误，该选项也可以根据正四面体和正方体是公共外接球来计算；由于棱长为a的正四面体的体积为，而三棱锥D—A1BC1是棱长为的正四面体，故其体积为，D正确．
11．如图，已知菱形ABCD的边长为6，E为BC中点，，下列选项正确的有

A． B．若∠BAD＝60°，则
C．若∠BAD＝60°，则 D．
【答案】ABD
【解析】，A正确；若∠BAD＝60°，则∠D＝120°，AD＝6，DF＝2，则根据余弦定理，得AF2＝AD2＋DF2﹣2AD·DFcos∠D＝36＋4＋6×2＝52，∴AF＝，B正确；，∴＝，故C错误；，6cos∠BAD﹣15，∵﹣1＜cos∠BAD＜1，∴﹣21＜6cos∠BAD﹣15＜﹣9，D正确．
12．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若b＝，c＝2，，则下列说法正确的有
A．A＋3C＝π B．sinC＝ C．a＝2 D．S△ABC＝
【答案】AD
【解析】∵，∴，则，故﹣＝C，即A＋3C＝π，A正确；∴A＝π﹣3C，B＝π﹣(π﹣3C)﹣C＝2C，根据正弦定理，得，∴，解得cosC＝，B错误；根据余弦定理c2＝a2＋b2﹣2abcosC，得，化简得，解得a＝1或2，由于＜cosC＝＜，∴＜C＜，故＜B＝2C＜，∴0＜A＜，即A＜C，∴a＜c，故a＝1，C错误；由于cosC＝，则sinC＝，S△ABC＝，D正确．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知一组数据为2，3，6，7，8，10，11，13，若在这组数据中插入一个自然数a使得这组新数据满足中位数是7且平均数大于7，则a可以是 .（写出符合条件的一个值）
【答案】4，5，6，7任意一个
【解析】要保证中位数是7，则这个数a≤7，且2＋3＋6＋7＋8＋10＋11＋13＋a＞63，即a＞3，故3＜a≤7，4，5，6，7任意选一个填写即可．
14．如图，一个圆形漏斗由上、下两部分组成，上面部分是一个圆柱，下面部分是一个共底面的圆锥，若圆锥的高是圆柱高的3倍，且圆柱的容积为V，则这个漏斗的容积为 ．

【答案】2V
【解析】设圆柱高为h，则圆锥高为3h，共底面面积为S，故V＝Sh，该漏斗容积＝Sh＋S3h＝2Sh＝2V．
15．欧拉1707年4月15日生于瑞士巴塞尔，1783年9月18日卒于俄国圣彼得堡．他生于牧师家庭．15岁在巴塞尔大学获学士学位，翌年得硕士学位．1727年，欧拉应圣彼得堡科学院的邀请到俄国．1731年接替丹尼尔·伯努利成为物理教授．他以旺盛的精力投入研究，在俄国的14年中，他在分析学、数论和力学方面作了大量出色的工作．1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式（其中i为虚数单位），这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”．根据此公式，则＝ ；＝ ．（第一空2分，第二空3分）
【答案】﹣2；﹣1
【解析】∵，∴，∴＝﹣2；，令x＝，∴，．
16．如图所示，该图由三个全等的△BAD、△ACF、△CBE构成，其中△DEF和△ABC都为等边三角形，若DF＝2，∠DAB＝，则AB＝ ．

【答案】
【解析】根据正弦定理，，∴，即，∴AF＝BD＝AB，AD＝AB，∵DF＝AD﹣AF＝2，∴AB﹣AB＝2，解得AB＝．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）
已知复数z满足z﹣1为纯虚数，(1﹣2i)·z为实数，其中为虚数单位．
（1）求复数z；
（2）若，求实数x，y的值．
【答案】（1）；（2）x＝y＝．
【解析】解：（1）设（其中，），
由为纯虚数，得，且．
由为实数，得．
所以．
（2）由（1）知，．
故由，得，
即．
因为，，由复数相等的充要条件得：，解得．
18．（12分）
为提高教学效果，某校对高一某班期中考试数学成绩做了如下统计，用折线图分别表示出男生和女生在本次考试中的成绩（单位：分，且均为整数）．根据全体学生的成绩绘制了频率分布直方图，根据试卷难度测算，将考试成绩在130分以上（含130分）定义为优秀．由于电脑操作失误，折线图中女生数据全部丢失，无法找回．但据数学老师回忆，确定班级成绩中分数在140分（含140分）以上的仅有两人，且都是男生．
（1）求该班级人数及女生成绩在[110，120)的人数；
（2）在成绩为“优秀”的学生中随机选取2人参加省中学生数学奥林匹克竞赛，求选取的恰好是一个男生和一个女生的概率．

【答案】（1）该班共有40名学生，其中13名女生的成绩在[110，120)；（2）恰有1名男生和1名女生被选中的概率为．
【解析】解：（1）设该班共有名学生，则，解得．
由频率分布直方图知在的人数为，
由折线图知男生在的人数为3，
所以女生在人数为．
答：该班共有40名学生，其中13名女生的成绩在[110,120)．
（2）成绩在130分及以上的人数为（人）
其中男生为4人，所以女生2人．
记“恰有1名男生和1名女生被选中”为事件，记这6人分别为，，，，，；其中男生为，，，；女生为，．
则样本空间
，
；
所以．
答：恰有1名男生和1名女生被选中的概率为．
19．（12分）
已知向量＝(，)，＝(，)，且⊥．
（1）求cos(＋)的值；
（2）若(0，)，(，π)且，求的值．
【答案】（1）；（2）．
【解析】解：（1）因为，所以，所以
，
所以，
（2）因为，，，
又，所以，
，

又因为，所以．
20．（12分）
如图，已知斜三棱柱ABC—A1B1C1，∠A1AC＝60°，∠BCA＝90°，AC＝BC＝AA1＝2，且平面ACC1A1⊥平面ABC．
（1）求证：A1B⊥AC1；
（2）求直线A1B 与平面ABC所成角的正弦值．

【答案】（1）略；（2）．
【解析】解：（1）连结，因为，平面平面，平面平面，，平面，所以，平面，平面，.在菱形中，，，所以平面，
又平面，所以.
（2）取的中点，连结，，
所以，，，
因为，平面平面，
平面平面，平面，所以平面，
所以，直线与平面所成角为.
，
所以，
所以，
故直线与平面所成角的正弦值为.
21．（12分）
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，请在①，②2a﹣c＝2bcosC，③S△ABC这三个条件中任选一个，完成下列问题．
（1）求角B；
（2）在（1）的条件下，若点D为AC的中点，且AB＝3，BD＝，求△ABC的面积．
注：如果选择多组条件分别解答，按第一组解答计分．
【答案】（1）；（2）．
【解析】解：（1）选①，因为，所以，
，解得，
因为，所以，故角．
选②，因为，
由正弦定理的，，
所以，，，所以，故角．
选③，因为，所以，
，，故角．
（2）作，交于点，连结，则四边形为平行四边形，
点为中点，且．
在中，由余弦定理得

或（舍），即，10分
所以
22．（12分）
如图（1），在△ABC中，AB＝BC＝2，∠ABC＝90°，E，F，H分别为边AB，AC，BC的中点，以EF为折痕把△AEF折起，使点A到达点P位置（如图（2））．
（1）当PB＝时，求二面角P—EF—B的大小；
（2）当四棱锥P—BCFE的体积最大时，分别求下列问题：
（Ⅰ）设平面PBE与平面PFH的交线为l，求证：l⊥平面PEF；
（Ⅱ）在棱PF上是否存在点N，使得BN与平面PEF所成角的正弦值为？若存在，求PN的长；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）；（2）(I)略，(II)．
【解析】解：（1）在图②中，，所以二面角的平面角为．
在中，已知，．由余弦定理得，
，
又，所以，所以二面角的大小为．
（2）（Ⅰ）当四棱锥的体积最大时，．
在等腰直角梯形中，，所以四边形为平行四边形．
所以，平面，平面，所以∥平面．
又平面，平面平面，所以∥．
因为，，所以．
又，∥，所以，，
又，
所以．
（Ⅱ）当四棱锥的体积最大时，由①知，所以与平面所成角为．所以，解得，
在中，解得．
在中，解得，所以点为靠近点或点的线段的四等分点．