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新高一数学暑期衔接教材第5讲-解不等式初步
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主 题 | 解不等式初步 |
教学内容 | |
1. 掌握不等式的基本性质,并灵活的运用; 2. 运用作差法及不等式基本性质证明简单的不等式。 (以提问的形式回顾) 用“>”或“<”或“=”填空 1. 如果a>b,b>c,那么a c 2. 如果a>b,那么 a+c _b+c, a-c b-c. 3.(1) 如果a>b,并且c>0,那么ac bc. (2)如果a>b,并且c<0,那么ac bc.
这三条基本性质初中就已经学过,教师简答总结一下就可以了。 应用不等式的性质,证明下面的结论: (1)如果a>b,c>d,那么a+c>b+d 证明:由a>b,得a+c>b+c, 由c>d,得b+c>b+d 所以 a+c>b+d (2)如果a>b>0,那么 由a>b,a>0,得: 由a>b,b>0,得: 所以
(3)若.
通过(2)的结论这个不等式很容易说明
(4)若,则(且) 证明:假定不大于,这有两种情况或者, 当时,有;当时,显然有 这些都同已知条件矛盾,所以.
第一个证明教师可以给出,第二个可以让学生模仿第一个试着去证明,技巧就是通过中间的一个量过度。第四个证明老师可以直接给出,三和四的结论要强调,这些结论证明完成可以让学生记住,在今后的题目中直接应用。
(采用教师引导,学生轮流回答的形式) 例1:若,则下列不等关系中不能成立的是( ) A. B. C. D. 解:∵,∴。 由,,∴(A)成立。 由,,∴(C)成立。 由,,,∴(D)成立。 ∵,,,, ,,∴(B)不成立。 故应选B。
试一试:下列命题中正确的是 ( ) A.若a2>b2,则a>b B.若>,则a<b C.若ac>bc,则a>b D.若<,则a<b
解析:A错,例如(-3)2>22;B错,例如>; C错,例如当c=-2,a=-3,b=2时,有ac>bc,但a<b. 答案:D
例2. 若x<y<0,试比较(x2+y2)(x-y)与(x2-y2)(x+y)的大小.
解:∵(x2+y2)(x-y)-(x2-y2)(x+y)=(x-y)[(x2+y2)-(x+y)2]=-2xy(x-y). ∵x<y<0,∴xy>0,x-y<0,∴-2xy(x-y)>0,∴(x2+y2)(x-y)>(x2-y2)(x+y).
试一试:设a>0,b>0且a≠b,试比较aabb与abba的大小.
解:∵=aa-b·bb-a=()a-b. 当a>b>0时,>1,a-b>0,则()a-b>1,于是aabb>abba; 当b>a>0时,0<<1,a-b<0,则()a-b>1,于是aabb>abba. 综上所述,对于不相等的正数a、b,都有aabb>abba.
例3. 若a>b>0,c<d<0,e<0,求证:>. 证明:∵c<d<0,∴-c>-d>0. 又∵a>b>0,∴a-c>b-d>0,∴<. 又∵e<0,∴>.
试一试:设a>b>c,求证:++>0. 证明:∵a>b>c,∴-c>-b.∴a-c>a-b>0.∴>>0. ∴+>0.又b-c>0,∴>0.∴++>0.
(学生统一完成,互相批改,教师针对重难点详细讲解) 1. 若a>1,b>1,则1+ab与a+b的大小关系是 。 1+ab<a+b 2. 若x>1.则 (填“>”或“<”) > 3. 若0<a <1,0<b <1且,则中最大的一个是 。 a+b 4. 给出下列几个命题: ①若a>b>0,则>;②若a>b>0,则a->b-;③若a>b>0,则>.其中正确命题的序号是_____. 解析:①在a>b>0两端同除以ab可得>,故①错;②由于(a-)-(b-)=(a-b)(1+)>0,故②正确;③由于-=<0,即<,故③错.答案:②
5. 比较与的大小. 解: 当且时,=; 当或时,>.
6. 已知,求证:. 分析:观察要证的不等式,联系性质可知关键是要证明.为此先证明.
本节课主要知识点:不等式的基本性质,比较两个式子大小的方法 【巩固练习】 1. 下列不等式中不等价的是( ) B (1)与 (2)与 (3)与 (4)与 A.(2) B.(3) C.(4) D.(2)(3) 2. 若x>y,且a>b,则在(1)a-x>b-y;(2)a+x>b+y;(3)ax>by;(4)x-b>y-a;(5)>,这五个式子中恒成立的不等式的序号是________. 解析:由得a+x>b+y,而-b>-a,同理可得x-b>y-a.答案:(2)(4) 3. 已知三个不等式:①;②;③。以其中两个作条件,余下一个作结论,则可组成_____________个正确命题。 解:对命题②作等价变形: 于是,由,,可得②成立,即①③②; 若,,则,故①②③; 若,,则,故②③①。 ∴可组成3个正确命题。 【预习思考】 探究:我们来考察它与其所对的二次函数及二次方程的关系: (1)当或时,,即在轴上方; (2)当或时,,即在轴上; (3)当时,,即在轴下方. 其中,是二次函数与轴的交点,是二次方程的两根. 探究得出:结合图像知不等式的解集是 |
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