新高一数学暑期衔接教材第13讲-函数的单调性

主    题

函数的单调性

教学内容

1. 理解函数单调性的定义；

2. 会用定义证明函数的单调性，能应用单调性解相关题目。

（以提问的形式回顾）

1. 如图为某地区2012年元旦这一天24小时内的气温变化图，观察这张气温变化图：

问题1：气温在哪些时段内是逐步升高的或下降的？   

问题2：怎样用数学语言刻画上述时段内“随着时间的增大  气 温逐渐升高”这一特征？

问题3: 对于任意的、时，当时，是否都有呢?

由问题3的结果师生合作写出单调增区间的定义.

    图像在区间逐渐上升，即在区间内随着的增大，也增大.对区间内任意的，当时，都有.

于是给出单调增函数的定义：一般地，设函数的定义域为,区间：如果对于区间内的任意两个值.当时，都有那么就说在区间I上是增函数，称为的单调增区间.

注：找出单调增函数概念中的关键词（区间内、任意、“当时，都有”）.

类比单调增函数概念，让学生给出单调减函数的概念.

一般地，设函数的定义域为,区间：如果对于区间内的任意两个值.当时，都有那么就说在区间I上是增函数，称为的单调减区间.

（采用教师引导，学生轮流回答的形式）

例1. 定义域是，根据图像指出函数的单调区间，及每个区间上的单调性.

解：单调区间有，，，，，其中在区间，，上是减函数，在区间，上是增函数.

这里可以向学生说明，区间开闭都是正确的。

例2.  利用定义判定(证明)函数在区间上是增函数.

证明：设，是任意两个不相等的实数且设，

由当时，，所以在上是增函数.

【小结】判断函数单调性的方法步骤

1. 任取，且；

2. 作差；

3. 变形（通常是因式分解和配方）；

4. 定号（即判断差的正负）；

5. 下结论.

试一试：求证：函数在区间上为单调减函数.

证明: 对于区间上的任意两个实数 且

，

而由，得，

，即。

所以,函数在区间上为单调减函数.

例3. 判定函数，的单调性，并求出它的单调区间.

解：由于，而且，但，，即，

因此在上不是增函数.

由于，，而且，但，，即，

因此在上不是减函数.

所以，函数在区间上不是单调函数.

但是，我们知道在上是减函数，在上是增函数，

因此，函数的单调区间是及.

小结：

1.的对称轴为，

（1）当时，在上单调递增； （2）当时，在上单调递减.

3.

（1）当时，在上单调递减； （2）当时，在上单调递增.

注意强调类似于反比例函数的这种单调区间要写和，不能用并集符号。

试一试：判断函数，的单调性，并求出它的单调区间.

，对称轴为，

因此，函数的单调区间是和.

例4. 若函数在上单调递减，则实数的取值范围是_____________；

解：二次函数在上单调递减，故，

试一试：若函数在上单调递减，则实数的取值范围是_________________；

解：当时，函数在上单调递减，符合题意；

当时，由题意，。综上所述，。

无论是在不等式还是函数中，关于二次项系数含有字母的，首先讨论二次项系数是否为零。

（学生统一完成，互相批改，教师针对重难点详细讲解）

1. 在区间(0，＋∞)上不是增函数的函数是   （    ）   C

 A．y=2x＋1  B．y=3x2＋1 

 C．y=  D．y=2x2＋x＋1

2．函数f(x)=4x2－mx＋5在区间上是增函数，在区间(－∞，－2)上是减函数，则f(1)的值（   ）D

 A．－7  B．1 

 C．17  D．25

3. 已知f(x)在区间(－∞，＋∞)上是增函数，a、b∈R且a＋b≤0，则下列不等式中正确的是（   ） B

 A．f(a)＋f(b)≤－f(a)＋f(b) B．f(a)＋f(b)≤f(－a)＋f(－b)

 C．f(a)＋f(b)≥－f(a)＋f(b) D．f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)

4. 已知函数是定义在上的减函数，若，求实数的取值范围是        。

答案：，根据定义域和单调性，列出三个不等式求不等式组的解集。

5. 求证：函数在区间上是单调增函数.

证明: 对于区间上的任意两个实数 且。

，

而由，得 ，。

，即。

所以,函数在区间上为单调增函数

6. 已知函数，. 若在上单调，试求的取值范围；

解：（1）若函数单调递增，则 ，

（2）若函数单调递减，则 ，

综上，或。

本节课主要知识点：函数单调性的定义，证明函数单调性的一般步骤，单调性性质的应用。

【巩固练习】

1. 已知函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是（    ）  A

 A．a≤3   B．a≥－3 C．a≤5  D．a≥3

2. 判断函数在定义域上的单调性.

证明：设是任意两个不相等的实数且设，

由当时，，所以在上是增函数.

【预习思考】

我们在研究函数奇偶性的时候，分析过以下两组函数图像

                    （一）                                       （二）

通过函数图像，你发现他们对称区间上的单调性是怎样的？试着证明你的结论。