新高一数学暑期衔接教材第15讲-函数的最值与值域

主    题

函数的最值与值域

教学内容

1. 掌握常见的函数的值域（最大值最小值）的求解方法，

2. 能够利用单调性，基本不等式求值域（最大值最小值）。

求 在 上的值域？在 上的值域？

，由二次函数的图像知在 时，值域为 ；对于有范围的形式，怎么求解值域呢？借助函数图像求出来，值域为（这里提问学生，大部分学生都是画图像的，没做出来的也鼓励他画函数图像，在后面的例题中会进一步讲解借助单调性求解）

（采用教师引导，学生轮流回答的形式）

例1. 求下列二次函数的最大值或最小值.

如果每题都画图求解，显得麻烦，下面我们试着用单调性来分析一下

解：，为函数的对称轴，开口方向向上，

         故函数在区间上单调递减。

当时，函数取得最小值，最小值为。

当时，函数取得最大值，最大值为。

试一试：求下列二次函数的最大值或最小值.

解： ，为函数的对称轴，开口方向向下，

故函数在区间上单调递增，在区间上单调递减。

当时，函数取得最大值，最大值为。

当时，函数取得最小值，最小值为。

老师可以总结一下，二次函数在闭区间上的最大最小值的求解方法，对称轴在区间内，顶点纵坐标取最大（最小）值，远离顶点的端点取最小（最大）；对称轴不在区间内，两个端点一个最大一个最小。

例2.  求下列函数的值域：

（1） ；            （2） .

分析：（1） ，由反比例函数的图像知 ，所以 ，故该函数的值域为 .

     （2）同上 .

试一试：求下列函数的值域：

  （1） ；              （2） .

（1） ；（2） .

【分子分母同为一次函数的函数的值域问题转化为反比例函数进行解答，关键在于会化比例函数的图像，当让根据以上方法我们可以得出结论：在没有特别的条件限制的时候， 的值域为 .】

例3. 将上述例目改为求解在 上的值域呢？

分析：化简，画函数的图像可知在 上为减函数，此时 .

【注意在 有范围时必须进行分离化简，得出函数图像，从函数的图像得出结果.】

试一试：求函数 在 上的最大值和最小值.

分析： ，画图可知该函数在 上为增函数，值域为 .

例4. 求 的值域.

分析：令 ，则 ，原式转化为 ，则 .

【本题主要利用换元的思想将题目转化成熟悉的一元二次函数的形式进行求解值域，在函数的解析式形式中如果出现一个根号的形式就可以考虑换元法求值域.】

试一试：求函数的定义域与值域

分析：令 ，得 ，原式转化为 ，则

（学生统一完成，互相批改，教师针对重难点详细讲解）

1. 当时，求函数的最大值和最小值．

答案：当时，，当时，．

2. 已知函数在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围为________．

　分析：f(x)＝(x－1)2＋2，对称轴x＝1∈[0，m]，故m≥1.又f(0)＝3，由对称性知m≤2.∴1≤m≤2

3. 设函数，若在上的最小值为1，求实数的值．

解： 由题意得，，

对称轴方程为，，对称轴在区间的右边，（做草图）

在上单调递增， ，

解得．．

4. 已知函数，求函数的值域。

解：。（做草图）

在和上单调递减，，

故 函数在上的值域为。

5. 求函数在[0, 2]上的最值

f(x)＝4x－2－2a＋2.(1)当≤0，即a≤0时，f(x)在上递增．∴ f(x)max＝f(2)＝a2－10a＋18.f(x)min＝f(0)＝a2－2a＋2.(2)当≥2，即a≥4时，f(x)在上递减．∴ f(x)max＝f(0)＝a2－2a＋2.f(x)min＝f(2)＝a2－10a＋18.(3)当0≤≤2时，即0≤a≤4时，f(x)min＝f＝－2a＋2.①当0≤≤1时，即0≤a≤2时，f(x)max＝f(2)＝a2－10a＋18；②当1≤≤2时，即2≤a≤4时，f(x)max＝a2－2a＋2.

本节课主要知识点：二次函数求值域的方法，分子分母是一次式的函数求值域的方法。

【巩固练习】

1. 设函数的最大值为，最小值为，其中．求的值（用表示）；

解：由题得 .

对称轴为，。 故对称轴在区间中间。（做草图）

所以，.

2. 求函数的值域；

解：。（做草图）

在和上单调递减，，

故 函数在上的值域为。

【预习思考】

问题：已知二次函数

①求时的值.

②作出函数的简图，并观察方程的根与函数图象与轴交点之间的关系.