厦门市2021—2022学年度第二学期高一年级质量检测数学试卷及解析

厦门市2021—2022学年度第二学期高一年级质量检测

数学试题

满分150分   考试时间120分钟

考生注意

1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将答题卡交回

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知z(1＋i)＝i，则|z|＝(    )

A.          B.          C.           D.2

【答案】B

【解析】两边同时取模|z|•＝1，|z|＝

2.厦门中学生助手有男志愿者120人，女志愿者180人，按性别进行分层，用分层抽样的方法从中抽取一个容量为

50的样本。如果样本按照比例分配，那么男志愿者应抽取的人数是(    )

A.10          B.20          C.30           D.40

【答案】B

【解析】120×＝20，故选B

3.已知P(A)＝0.5，P(B)＝0.3，P(AB)＝0.2，则P(A∪B)＝(    )

A.0.5          B.0.6          C.0.8           D.1

【答案】B

【解析】P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝0.6

4.下列正确的是(    )

A.过球面上两点与球心有且只有一个平面

B.用一个平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台

C.底面是正多边形，侧棱与地面所成的角都相等的棱锥是正棱锥

D.有两个面平行且相似，其它各个面都是梯形的多面体是棱台。

【答案】C

【解析】A反例：可能三点共线，B反例：与底面不平行时不是圆台，

D反例：比如底面为四边形，可能不交于同一点，比如一条直线。故选C

5.正四面体A—BCD中，M为棱AD的中点，则直线AB与CM所成角的余弦值为(    )

A.          B.          C.           D.

【答案】A

【解析】不妨设AB＝2，则CM＝＝CE，ME＝1，cos∠CME＝＝

第5题答案                             第6题答案

6.在△ABC中，点D在边BC上，M是AD的中点，若＝＋(，∈R)，则＋＝(    )

A.－          B.－2          C.           D.2

【答案】A

【解析】设BD＝x，BC＝1，则CD＝1－x，＝(1－x)＋x

＝－＝－＝[(1－x)＋x]－，故＋＝＋－1＝－

7.抛掷一枚质地均匀的骰子2次，甲表示事件“第一次骰子正面向上的数字是2”，乙表示事件“两次次骰子正面向上的数字之和是5”，丙表示事件“两次次骰子正面向上的数字之和是7”则(    )

A.甲乙互斥          B.乙丙互为对立          C.甲乙相互独立           D.甲丙相互独立

【答案】D

【解析】(x，y)表示两次的结果，(2，3)表示甲乙不互斥，数字之和可以是2~12之间的数，说明乙丙不对立。

已知设A表示甲事件，B表示乙事件，C表示丙事件，P(A)＝，两次数字之和为5：(1，4)，(4，1)，

(2，3)，(3，2)，P(B)＝＝，AB：(2，3)，故P(AB)＝，P(A)•P(B)≠P(AB)，故C不正确

数字之和是7：(1，6)，(6，1)，(2，5)，(5，2)，(3，4)，(4，3)，故P(C)＝＝

AC：(2，5)，故P(AC)＝，P(AC)＝P(A)P(C)。

8.记△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c＝1，acosB＝2sinC，cosAsinB＝，则△ABC外接圆的半径为(    )

A.1          B.2          C.3           D.4

【答案】B

【解析】acosB＝2csinC，sinAcosB＝2sin2C，sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝sinAcosB＋，

故sinAcosB＝sinC－＝2sin2C，解得sinC＝，故2R＝＝4，故R＝2

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部

选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.

9.ACD      10.AD        11.BD        12.ABD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.2          14.若a⊥，b⊥，则a∥b          15.(，2)             16.28

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(10分)已知e1，e2是两个单位向量，＝2e1，＝－e1－6e2，且||＝3.

(1)求e1，e2的夹角；

(2)若D为线段BC上一点，DC＝2BD，求证：AD⊥AB.

【解析】

18.(12分)

如图，棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱AA1，CC1的中点，

过E作平面，使得∥平面BDF.

(1)作出截正方体ABCD－A1B1C1D1所得的界面，写出作图过程并说明理由；

(2)求平面与平面BDF的距离.

19.(12分)

防洪是修建水坝的充要目的之一.现查阅一条河流在某个水文站50年的最大洪峰流量(单位：100m3•s)的记录，统计得到如下部分频率分布直方图：

记年最大洪峰流量大于某个数的概率为p，则年最大洪峰流量不大于这个数的概率为1－p.定义重现期(单位：年)为概率的倒数.规定：当p＜50%时，用p报告洪水，即洪水的重现期T＝；当p＞50%时，用1－p报告枯水，即枯水的重现期T＝.如p＝，则报告洪水，重现期T＝100(年)，通俗的说法就是“百年一遇”.

(1)补齐频率分布直方图(用阴影表示)，并估计该河流年最大洪峰流量的平均值(同一组数据用该区间的中点值作代表)；

(2)现拟在该水文站修建水坝，要求其能抵挡五十年一遇的洪水.用频率估计概率，求它能承受的最大洪峰流量

(单位：100m3•s)的最小值的估计值.

20.(12分)

如图，三棱台ABC—A1B1C1中，BC⊥CC1，AB＝BC＝CA＝2B1C1，CC1＝B1C1

(1)求证：AB1⊥BC；

(2)若二面角C1—BC—A的平面角为60°，求直线AC1与平面BCC1B1所成角的正弦值.

21.(12分)

某学校组织校园安全知识竞赛.在初赛中有两轮答题，第一轮从A类的5个问题中任选两题作答，若两题

都答对，则得40分，否则得0分；第二轮从B类的5个问题中任选两题作答，每答对1题得30分，答错得0分.若两轮总积分不低于60分晋级复赛.

小芳和小明同时参赛，已知小芳每个问题答对的概率都为0.5.在A类的5个问题中，小明只能答对4个问题；在B类的5个问题中，小明每个问题答对的概率为0.4.他们回答任一问题正确与否互不影响.

(1)求小明在第一轮得40分的概率；

(2)以晋级复赛的概率大小为依据，小芳和小明谁更容易晋级复赛？

【解析】

22.(12分)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知acosC＋asinC－b－c＝0，b＝.

(1)若a＝，求c；

(2)点A，B，C分别在等边△DEF的边DE，EF，FD上(不含端点).若△DEF面积的最大值为7，求c.

【解析】

(1)解法一：几何辅助线法：

acosC＝CH，asinC＝BH，AH＝b－acosC，BH＝AH＋AB，

延长CA至M使得AM＝AB，MH＝BH，

则∠M＝30°，又AM＝AB，∠CAB＝60°，

cos∠CAB＝＝cos60°＝，a＝，b＝，

则c2－c－18＝0，(c－3)(c＋2)＝0，故c＝3

方法二：直接法

∵acosC＋asinC－b－c＝0，又asinC＝csinA，b＝acosC＋ccosA

∴csinA－ccosA＝c，则∴sinA－cosA＝，sin(A－)＝，0＜A＜π，则A＝60° 

cosA＝＝cos60°＝，a＝，b＝，则c2－c－18＝0，(c－3)(c＋2)＝0，故c＝3

(2)若△DEF面积的最大值为7，则DE2≤7，故DE≤2。

设∠CAD＝＝∠ABE，则∠BAE＝120°－＝∠DCA，

由＝，得AD＝2sin(120°－)，

由＝，得AE＝AB•sin＝c•sin

故DE＝AD＋AE

＝2sin(120°－)＋c•sin

＝cos＋sin＋c•sin

＝(1＋c)sin＋cos

＝•sin(＋)，tan＝，sin(＋)≤1，

故＝2，c2＋c－18＝0，(c＋3)(c－2)＝0，故c＝2