新教材2022-2023学年高一数学下学期期末考试全真模拟卷第04卷（人教A版2019必修第二册）

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高中数学新教材特点分析及教学策略（一）趣味性强，激发学生学习兴趣：在新时代教育制度的改革深化下，学生对于数学课程内容的学习兴趣可以带动学生不断地进行探究。（二）实践性高，高效落实理论学习：在现代化教育课程的背景之下，新课程改革理念越来越融入生活与学习的方方面面，新教材逐步的显现出强大影响力。（三）灵活性强，助力课程目标达成：随着教育制度体系的改革，通过新时代新教材内容的融入，教师不断地革新教学手段，整合线上以及线下的教育资源内容，可以为数学课堂增添新的活力与生机。 新教材2022-2023学年高一数学下学期期末考试全真模拟卷第04卷（人教A版2019必修第二册）测试时间：120分钟 测试范围：人教A2019必修第一册+第二册 满分：150分注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、设集合，则(   ) A． B． C． D．【答案】A【详解】由题意得，，则．故选A．2、（   ） A．1 B． C． D．【答案】D【详解】故选：D3、已知，，，则（   ） A． B． C． D．【答案】D【详解】由题意可知，，，即故选：D4、函数在的图像大致为（   ） A． B． C． D．【答案】D【详解】由，得是奇函数，其图象关于原点对称．又．故选D．5、设是空间中的一个平面，，，是三条不同的直线，则（   ） A．若，，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则【答案】B【详解】根据线面垂直的判定定理，要使，则，必须相交，故A错误；由，可知，又，所以，故B正确；由，可知，结合得，故C错误；由，可知，又，则，可能平行、相交或异面，故D错误．故选：B6、已知函数．给出下列结论：①的最小正周期为；②是的最大值；③把函数的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象．其中所有正确结论的序号是（   ） A．① B．①③ C．②③ D．①②③【答案】B【详解】因为，所以周期，故①正确；，故②不正确；将函数的图象上所有点向左平移个单位长度，得到的图象，故③正确.故选：B.7、在中，分别为内角的对边，若，，且，则（   ） A． B．4 C． D．5【答案】B【详解】因为，则，所以，又因为，即，解得，又由，根据正弦定理，可得，由余弦定理，可得，整理得，即.故选：B.8、在平行四边形中，，，，点为边的中点，点为边上的动点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．【答案】B【详解】因为在平行四边形中，，，，，所以.因为是边的中点，所以.又点在边上，设（），则，所以.又，所以，故的取值范围是.故选:B.二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，不止有一项是符合题目要求的）9、已知，则下列命题为假命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则【答案】BD【详解】对于A，取，此时，故A错误；对于B，由时，利用不等式的性质，不等式两边乘以同一个正数，不等号方向不变，可知，故B正确；对于C，，，当时，，故错误；对于D，由不等式的性质，两边同时减一个数，不等号方向不变，故D正确；故选：BD10、若函数同时满足：①对于定义域上的任意，恒有；②对于定义城上的任意，，当时，恒有，则称函数为“理想函数”．下列四个函数中，能被称为“理想函数”的有（   ） A． B． C． D．【答案】BCD【详解】对于①对于定义域内的任意，恒有，即，所以是奇函数； 对于②对于定义域内的任意，，当时，恒有，在定义域内是减函数；对于A：，，，故不是奇函数，所以不是“理想函数”；对于 B：是奇函数，且是减函数，所以是“理想函数”；对于C：是奇函数，并且在R上是减函数，所以是“理想函数”；对于D：，，所以是奇函数；根据二次函数的单调性，在，都是减函数，且在处连续，所以在上是减函数，所以是“理想函数”.故选：BCD.11、如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中，下列命题正确的是（   ）
  A．  B． C．  D．与是异面直线【答案】ABC【详解】还原正方体，画出正方体的直观图，如图，由图可知，AM与DF是相交直线，D错误；设正方体的棱长为，则，C正确；由正方体的性质可得与平行且相等，所以是平行四边形，可得，A正确；由正方体的性质可得与平行且相等，所以是平行四边形，可得，在正方形中，，所以，B正确，故选：ABC.12、如图，正方体的棱长为，则下列四个命题正确的是（   ） A．直线与平面所成的角等于 B．点到面的距离为 C．两条异面直线和所成的角为 D．三棱柱外接球表面积为【答案】BC【详解】对选项A，连接，交于点，由题意，四边形为正方形，，又因为平面，平面，所以，所以平面，所以为直线与平面所成的角，又，故选项A错误；对选项B，因为平面，所以为点到面的距离，又因为棱长为，所以，故选项B正确；对选项C，连接，因为，所以为异面直线和所成的角，又因为，所以，故选项C正确；对选项D，因为三棱柱的外接球与正方体的外接球相同，设外接球半径为，，所以外接球表面积为，故选项C错误.故选：BC 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13、已知为单位向量，且=0，若，则___________.【答案】.【详解】因为，，所以，，所以，所以 ．14、已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点，则的值为___________.【答案】【详解】∵角的终边过点，∴，.∴.15、的内角的对边分别为.若，则的面积为__________.【答案】【详解】由余弦定理得，所以，即解得（舍去）所以，16、中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为．则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________．【答案】共26个面；棱长为.【详解】由图可知第一层与第三层各有9个面，计18个面，第二层共有8个面，所以该半正多面体共有个面．如图，设该半正多面体的棱长为，则，延长与交于点，延长交正方体棱于，由半正多面体对称性可知，为等腰直角三角形，，，即该半正多面体棱长为． 四、解答题（17题10分，其余每题12分，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，考生根据要求作答）17、某校在一次期末数学测试中，为统计学生的考试情况，从学校的名学生中随机抽取名学生的考试成绩，被测学生成绩全部介于分到分之间（满分分），将统计结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，第八组，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分.（1）根据图表，计算第七组的频率，并估计该校的名学生这次考试成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值代表该组数据平均值）；（2）若从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取名，求他们的分差的绝对值小于分的概率.【答案】（1）频率为：；平均分为；（2）.【详解】解：（1）由频率分布直方图得第七组的频率为：.用样本数据估计该校的名学生这次考试成绩的平均分为：.（2）样本成绩属于第六组的有人，设为，样本成绩属于第八组的有人，设为，从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取2名，基本事件有： AB，AC，Aa，Ab，BC，Ba，Bb，Ca，Cb，ab共10个他们的分差的绝对值小于10分包含的基本事件个数AB，AC，BC，ab 共 4个∴他们的分差的绝对值小于10分的概率. 18、已知向量与的夹角为，且，.（1）若与共线，求；（2）求，；（3）求与的夹角的余弦值【答案】（1）；（2），；（3）.【详解】（1）若与共线，则存在，使得 即，又因为向量与不共线，所以，解得，所以.（2）， ，（3） 19、如图所示，在四棱锥中，平面，，，，，为的中点.
（1）求证：平面；（2）求点到平面的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）.【详解】（1）如图所示，取的中点，连接，.∵，，∴且，又∵，∴.∵，，∴且，∴四边形为平行四边形，∴.又∵平面，平面，∴平面.（2）过点作，垂足为.∵平面，平面，∴.∵，，且，平面，∴平面.∵平面，∴.∵，，且，平面，∴平面.在中，，.∵，平面，平面，∴平面，∴点到平面的距离与点到平面的距离相等，故点到平面的距离为.  20、在中，，，的对边分别为，，．已知（1）求的大小；（2）已知，求的面积的最大值．【答案】（1）；（2）.【详解】（1）由，化简可知，，得，由，故．（2）由，得，故，当且仅当时取等号，所以面积的最大值为．  21、随着共享单车的成功运营，更多的共享产品逐步走入大家的世界，共享汽车、共享篮球、共享充电宝等各种共享产品层出不穷.广元某景点设有共享电动车租车点，共享电动车的收费标准是每小时2元（不足1小时的部分按1小时计算）.甲、乙两人各租一辆电动车，若甲、乙不超过一小时还车的概率分别为，；一小时以上且不超过两小时还车的概率分别为，；两人租车时间都不会超过三小时.（1）求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；（2）求甲、乙两人所付的租车费用之和大于或等于8的概率.【答案】（1）；（2）【详解】解：（1）甲、乙两人所付费用相同即同为2，4，6元.都付2元的概率为；都付4元的概率为；都付6元的概率为；故所付费用相同的概率为.（2）设两人费用之和为8、10、12的事件分别为、、；；.设两人费用之和大于或等于8的事件为，则所以，两人费用之和大于或等于8的概率 22、已知函数为奇函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为.（1）当时，求的单调递减区间；（2）将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的 （纵坐标变），得到函数的图象，当时，求函数的值域.（3）（*）对于第（2）问中的函数，记方程在上的根从小到依次为，，，试确定的值，并求的值.【答案】（1）； （2）； （3），.【详解】（1）由题意，函数因为函数图象的相邻两对称轴间的距离为，所以，可得，又由函数为奇函数，可得，所以，因为，所以，所以函数，令，解得，可函数的递减区间为，再结合，可得函数的减区间为.（2）将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象，再把横坐标缩小为原来的，得到函数的图象，当时，，当时，函数取得最小值，最小值为，当时，函数取得最大值，最小值为，故函数的值域.（3）由方程，即，即，因为，可得，设，其中，即，结合正弦函数的图象，可得方程在区间有5个解，即，其中，即解得所以.