2023年广西柳州市城中区中考数学四模试卷（含解析）

这是一份2023年广西柳州市城中区中考数学四模试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，四象限，解答题等内容，欢迎下载使用。

第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共7小题，共21.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 在实数−3，2，0，−4中，最大的数是( )
A. −3B. 2C. 0D. −4
2. 下列图案中，是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
3. 下列运算正确的是( )
A. a3−a2=aB. (a+b)2=a2+b2
C. (−a2)3=a6D. 8a4÷4a2=2a2(a≠0)
4. 激昂奋进新时代，推进中国式现代化，2023年全国两会公布了2022年国内生产总值，近五年国内生产总值呈逐年上升趋势，分别为91，99，101，114，121(单位：万亿)，这五个数据的中位数是( )
A. 91B. 99C. 101D. 121
5. 我国古代数学家祖冲之推算出π的近似值为355113，它与π的误差小于0.0000003.将0.0000003用科学记数法可以表示为( )
A. 3×10−7B. 0.3×10−6C. 3×10−6D. 3×107
6. 某个物体的三视图形状、大小相同，则这个物体可能是( )
A. 圆柱B. 圆锥C. 三棱柱D. 球
7. 关于反比例函数y=4x的图象，下列说法正确的是( )
A. 必经过点(2,−2)B. 两个分支分布在第二、四象限
C. 两个分支关于x轴成轴对称D. 两个分支关于原点成中心对称
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
8. 在函数y=2x−1中，自变量x的取值范围是______ ．
9. 因式分解：a2−9=______．
10. 正方形网格中，∠AOB如图放置，则tan∠AOB的值为______．
11. 如果一个多边形的内角和是2160°，那么这个多边形的边数是______．
12. 在13个同学中，至少有二个同学同月份生日的概率是______ ．
13. 如图，直线l为y= 3x，过点A1(1,0)作A1B1⊥x轴，与直线l交于点B1，以原点O为圆心，OB1长为半径画圆弧交x轴于点A2；再作A2B2⊥x轴，交直线l于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画圆弧交x轴于点A3；……，按此作法进行下去，则点An的坐标为(______).
三、解答题（本大题共8小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
14. (本小题8.0分)
8−4sin45°−2−1
15. (本小题8.0分)
解不等式组2x>−6,①x−12≤x+16,②请按下列步骤完成解答：

(1)解不等式①，得______ ；
(2)解不等式②，得______ ；
(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
(4)原不等式组的解集为______ ．
16. (本小题8.0分)
本月初我市市区某校九年级学生进行一次体育模拟测试，将目标效果测试中第二类选考项目(足球运球、篮球运球、排球垫球任选一项)的情况进行统计，并将统计结果绘制成统计图，请你结合图中所给信息解答下列问题：

(1)学校参加本次测试的人数有 人，参加“排球垫球”测试的人数有 人，“篮球运球”的中位数落在 等级；
(2)今年参加体育中考的人数约为2.4万人，你能否估计今年全市选择“篮球运球”的考生会有多少人？若能，求出其人数；若不能，请说明理由；
(3)学校准备从“排球垫球”和“篮球运球”较好的两男两女四名学生中，随机抽取两名学生为全校学生演示动作，请用列表法或画树状图法求恰好抽取到一名男生和一名女生的概率．
17. (本小题8.0分)
如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中，
(1)画出△ABC向上平移6个单位，再向右平移5个单位后的△A1B1C1；
(2)以点B为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍，得到△A2BC2，请在网格中画出△A2BC2；
(3)直接写出△CC1C2的面积，及A1，A2的坐标．
18. (本小题8.0分)
“漏壶”是一种古代计时器，在社会实践活动中，某小组同学根据“漏壶”的原理制作了如图①所示的液体漏壶，漏壶是由一个圆锥和一个圆柱组成的，中间连通，液体可以从圆锥容器中匀速漏到圆柱容器中，实验开始时圆柱容器中已有一部分液体．
【实验观察】(1)下表是实验记录的圆柱体容器液面高度y(厘米)与时间x(小时)的数据：
在如图②所示的直角坐标系中描出上表的各点，用光滑的线连接；
【探索发现】(2)请你根据表中的数据及图象，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定y与x之间的函数表达式；
【结论应用】(3)如果本次实验记录的开始时间是上午9：00，那么当圆柱体容器液面高度达到12厘米时是几点？
19. (本小题8.0分)
某超市经销甲、乙两种品牌的洗衣液，进货时发现，甲品牌洗衣液每瓶的进价比乙品牌高6元，用1800元购进甲品牌洗衣液的数量是用1800元购进乙品牌洗衣液数量的45.销售时，甲品牌洗衣液的售价为36元/瓶，乙品牌洗衣液的售价为28元/瓶．
(1)求两种品牌洗衣液的进价；
(2)若超市需要购进甲、乙两种品牌的洗衣液共120瓶，且购进两种洗衣液的总成本不超过3120元，超市应购进甲、乙两种品牌洗衣液各多少瓶，才能在两种洗衣液完全售出后所获利润最大？最大利润是多少元？
20. (本小题8.0分)
如图，点C是以AB为直径的⊙O上一点，点D是AB的延长线上一点，在OA上取一点F，过点F作AB的垂线交AC于点G，交DC的延长线于点E，且EG=EC．
(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)若点F是OA的中点，BD=4，sin∠D=13，求EC的长．
21. (本小题8.0分)
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−12x2+bx+c与x轴交于A(−2,0)、B(4,0)两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，连接AC、BC，点P为直线BC上方抛物线上一动点，连接OP交BC于点Q．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)当PQOQ的值最大时，求点P的坐标和PQOQ的最大值；
(3)把抛物线y=−12x2+bx+c沿射线AC方向平移 5个单位得新抛物线y′，M是新抛物线上一点，N是新抛物线对称轴上一点，当以M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出N点的坐标．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了实数大小比较，关键要熟记：正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小．根据正数大于0，0大于负数，正数大于负数，比较即可．
【解答】
解：∵−4<−3<0<2，
∴四个实数中，最大的实数是2．
故选B．

2.【答案】A
【解析】解：B，C、D选项中的方块字都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
A选项中的方块字能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：A．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3.【答案】D
【解析】解：A、a3与−a2不是同类项，不能合并，故A不符合题意．
B、原式=a2+2ab+b2，故B不符合题意．
C、原式=−a6，故C不符合题意．
D、原式=2a2，故D符合题意．
故选：D．
根据整式的加减运算法则、乘除运算法则即可求出答案．
本题考查整式的混合运算，解题的关键是熟练运用整式的加减运算、乘除运算法则，本题属于基础题型．
4.【答案】C
【解析】
【分析】
将这组数据从小到大重新排列，再根据中位数的定义求解即可．
本题主要考查中位数，将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
【解答】
解：将这组数据从小到大排列为91，99，101，114，121，
∴这组数据的中位数为101，
故选：C．
5.【答案】A
【解析】解：用科学记数法可以表示0.0000003得：3×10−7；
故选：A．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
6.【答案】D
【解析】解：A、圆柱的主视图、左视图、俯视图分别是长方形、长方形、圆，故A错误；
B、圆锥的主视图、左视图、俯视图分别是三角形、三角形、圆及中间一个点，故B错误；
C、三棱柱的主视图、左视图、俯视图分别是矩形、矩形、三角形，故C错误；
D、球体的三视图都是圆，故D正确．
故选：D．
主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看所得到的图形，据此可得一个物体的三视图都相同的物体．
本题主要考查了由三视图确定几何体的形状，主要考查学生空间想象能力．注意球体的三视图均为圆．
7.【答案】D
【解析】解：A、把(2,−2)代入得：左边≠右边，故本选项错误；
B、k=4>0，图象在第一、三象限，故本选项错误；
C、沿x轴对折不重合，故本选项错误；
D、两曲线关于原点对称，故本选项正确；
故选：D．
把(2,−2)代入得到左边≠右边；k=4>0，图象在第一、三象限；根据轴对称的定义沿X轴对折不重合；根据中心对称的定义得到两曲线关于原点对称；根据以上结论判断即可．
本题主要考查对反比例函数的性质，轴对称图形，中心对称图形等知识点的理解和掌握，能根据反比例函数的性质进行判断是解此题的关键．
8.【答案】x≠1
【解析】解：根据题意得：x−1≠0，
解得，x≠1．
故答案为：x≠1．
根据二次根式的性质，被开方数大于等于0可知：2x−1≥0，解得x的范围．
本题考查的是函数自变量取值范围的求法．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
9.【答案】(a+3)(a−3)
【解析】
【分析】
本题考查了公式法分解因式，熟记平方差公式的结构特点是解题的关键．a2−9可以写成a2−32，符合平方差公式的特点，利用平方差公式分解即可．
【解答】
解：a2−9=(a+3)(a−3)，
故答案为(a+3)(a−3)．
10.【答案】2
【解析】
【分析】
根据正切定义，进行计算即可．
此题主要考查了正切定义，关键是正确掌握三角函数的定义．
【解答】
解：如图，过点C作CD⊥OB于点D，
由图可知，∠AOB=∠COD，
tan∠AOB=CDDO=2，
故答案为：2．
11.【答案】14
【解析】解：设这个多边形的边数是n，
则(n−2)⋅180°=2160°，
解得：n=14．
则这个多边形的边数是14．
故答案为：14．
n边形的内角和可以表示成(n−2)⋅180°，设这个多边形的边数是n，就得到方程(n−2)⋅180°=2160°，从而求出边数．
考查了多边形的内角和，此题比较简单，只要结合多边形的内角和公式，寻求等量关系，构建方程求解即可．
12.【答案】1
【解析】解：∵一年有12个月份，
∴在13个同学中，至少有二个同学同月份生日是必然事件，
∴在13个同学中，至少有二个同学同月份生日的概率是1．
故答案为：1．
13个同学中至少有两个同学的生日在同一个月是必然事件，据此可求概率．
本题考查了概率求法，事件分为确定事件和不确定事件(随机事件)，确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中，①必然事件发生的概率为1，即P(必然事件)=1；②不可能事件发生的概率为0，即P(不可能事件)=0；③如果A为不确定事件(随机事件)，那么013.【答案】2n−1，0
【解析】解：∵直线l为y= 3x，点A1(1,0)，A1B1⊥x轴，
∴当x=1时，y= 3，
即B1(1, 3)，
∴tan∠A1OB1= 3，
∴∠A1OB1=60°，∠A1B1O=30°，
∴OB1=2OA1=2，
∵以原点O为圆心，OB1长为半径画圆弧交x轴于点A2，
∴A2(2,0)，
同理可得，A3(4,0)，A4(8,0)，…，
∴点An的坐标为(2n−1,0)，
故答案为：2n−1，0．
依据直线l为y= 3x，点A1(1,0)，A1B1⊥x轴，可得A2(2,0)，同理可得，A3(4,0)，A4(8,0)，…，依据规律可得点An的坐标为(2n−1,0)．
本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，解题时注意：直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b．
14.【答案】解：原式=2 2−4× 22−12
=−12．
【解析】直接利用二次根式的性质和特殊角的三角函数值、负指数幂的性质分别化简得出答案．
此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
15.【答案】x>−3 x≤2 −3【解析】解：(1)解不等式①，得x>−3，
故答案为：x>−3．
(2)解不等式②，
x−12≤x+16
去分母得，3(x−1)≤x+1，
去括号得，3x−3≤x+1，
移项，合并同类项得，2x≤4
系数化为1得，x≤2，
故答案为：x≤2．
(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来如图所示：
．
(4)根据(3)中解集，可知不等式组的解集为−3故答案为：−3(1)解不等式，填空即可；
(2)解不等式，填空即可；
(3)根据不等式的解集，再数轴上表示出即可；
(4)根据数轴上的解集的公共部分，确定不等式组的解集即可．
本题考查了解一元一次不等式组，解题关键是熟练解每个不等式，准确利用数轴确定不等式组的解集．
16.【答案】300 165 良好
【解析】解：(1)∵参加“篮球运球”测试的人数有10+25+40+30=105(人)，
∴学校参加本次测试的人数有105÷35%=300(人)．
参加“排球垫球”测试的人数有300×(1−10%−35%)=165(人)．
∵“篮球运球”的105个数据按从小到大排列后，第53个数据落在“良好”等级，
∴“篮球运球”的中位数落在良好等级．
故答案为：300；165；良好．
(2)能估计今年全市选择“篮球运球”的考生人数．
2.4×35%=0.84(万人)，
∴今年全市选择“篮球运球”的考生大约会有0.84万人．
(3)设两名男生和两名女生分别记为A，B，C，D，
画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中恰好抽取到一名男生和一名女生的结果有：AC，AD，BC，BD，CA，CB，DA，DB，共8种，
∴恰好抽取到一名男生和一名女生的概率为812=23．
(1)求出“篮球运球”的学生人数，用“篮球运球”的学生人数除以其所占的百分比可得参加本次测试的人数；根据扇形统计图求出“排球垫球”的百分比，再乘以参加本次测试的人数可得参加“排球垫球”测试的人数；根据中位数的定义可得答案．
(2)根据用样本估计总体，用2.4万乘以扇形统计图中“篮球运球”的百分比，即可得出答案．
(3)画树状图得出所有等可能的结果数以及恰好抽取到一名男生和一名女生的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、中位数、用样本估计总体，能够理解条形统计图和扇形统计图，熟练掌握列表法与树状图法、中位数的定义以及用样本估计总体是解答本题的关键．
17.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1为所作；
(2)如图，△A2BC2为所作；
(3)△CC1C2的面积=12×3×6=9；
A1的坐标为(7,9)；A2的坐标为(3,5)．
【解析】(1)利用点平移的坐标变换规律写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
(2)延长BA到A2使BA2=2BA，延长BC到C2使BC2=2BC，从而得到△A2BC2；
(3)利用三角形面积公式△CC1C2的面积，然后利用(1)、(2)中所画图形写出A1，A2的坐标．
本题考查了作图−位似变换：画位似图形的一般步骤为：先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；接着根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；然后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．也考查了平移变换．
18.【答案】解：(1)描出各点，并连接，如图所示：

(2)由图象可知该图象是一次函数，设该函数的表达式为y=kx+b，
∵点(1,6)，(2,10)在该函数图象上，
∴k+b=62k+b=10，
解得k=4b=2，
即y与x之间的函数表达式为y=4x+2；
(3)当y=12时，
4x+2=12，
解得x=2.5，
9+2.5=11.5，
即圆柱体容器液面高度达到12厘米时是上午11：30．
【解析】(1)根据表格中的数据，可以在图②所示的直角坐标系中描出各点，并用光滑的线连接起来；
(2)根据(1)中画出的图象，可知该函数为一次函数，然后根据待定系数法求出函数解析式即可；
(3)将y=12代入(2)中的解析式，求出相应的x的值即可．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，画出相应的函数图象，利用数形结合的思想解答．
19.【答案】解：(1)设甲品牌洗衣液每瓶的进价是x元，则乙品牌洗衣液每瓶的进价是(x−6)元，
依题意得：1800x=1800x−6×45，
解得：x=30，
经检验，x=30是原方程的解，且符合题意，
∴x−6=24．
答：甲品牌洗衣液每瓶的进价是30元，乙品牌洗衣液每瓶的进价是24元．
(2)设可以购买甲品牌洗衣液m瓶，则可以购买(120−m)瓶乙品牌洗衣液，设销售利润为y元，
依题意得：30m+24(120−m)≤3120，
解得：m≤40．
依题意得：y=(36−30)m+(28−24)(120−m)=2m+480，
∵k=2>0，
∴y随m的增大而增大，
∴m=40时，y取最大值，y最大值=2×40+480=560．
120−40=80(瓶)，
答：超市应购进甲品牌洗衣液40瓶，乙品牌洗衣液80瓶，才能在两种洗衣液完全售出后所获利润最大，最大利润是560元．
【解析】本题考查分式方程的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
(1)设甲品牌洗衣液每瓶的进价是x元，则乙品牌洗衣液每瓶的进价是(x−6)元，根据数量=总价÷单价，结合用1800元购进的甲品牌洗衣液的数量是乙品牌洗衣液数量的45，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
(2)设可以购买甲品牌洗衣液m瓶，则可以购买(120−m)瓶乙品牌洗衣液，设销售利润为y元，根据总价=单价×数量，结合总费用不超过3120元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，再根据一次函数的性质即可得出结论．
20.【答案】(1)证明：连接OC，如图所示，
∵EF⊥AB，AB为⊙O的直径，
∴∠GFA=90°，∠ACB=90°，
∴∠A+∠AGF=90°，∠A+∠ABC=90°，
∴∠AGF=∠ABC，
∵EG=EC，OC=OB，
∴∠EGC=∠ECG，∠ABC=∠BCO，
又∵∠AGF=∠EGC，
∴∠ECG=∠BCO，
∵∠BCO+∠ACO=90°，
∴∠ECG+∠ACO=90°，
∴∠ECO=90°，
∴DE是⊙O的切线；
(2)解：由(1)知，DE是⊙O的切线，
∴∠OCD=90°，
∵BD=4，sin∠D=13，OC=OB，
∴OCOB+BD=13，
即OCOC+4=13，
解得OC=2，
∴OD=6，
∴DC= OD2−OC2= 62−22=4 2，
∵点F为OA的中点，OA=OC，
∴OF=1，
∴DF=7，
∵∠EFD=∠OCD，∠EDF=∠ODC，
∴△EFD∽△OCD，
∴DFDC=DEDO，
即74 2=DE6，
解得DE=21 24，
∴EC=ED−DC=21 24−4 2=5 24，
即EC的长是5 24．
【解析】(1)要证明DE是⊙O的切线，只要证明OC⊥CD即可，根据题目中的条件和等腰三角形的性质、直角三角形的性质，可以得到∠ECO=90°，从而可以证明结论成立；
(2)根据相似三角形的判定与性质和题目中的数据，可以求得DE和CD的长，从而可以得到EC的长．
本题考查相似三角形的判定与性质、圆周角定理、切线的判定，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
21.【答案】解：(1)将A(−2,0)、B(4,0)代入y=−12x2+bx+c，
得−2−2b+c=0−8+4b+c=0，
∴b=1c=4，
∴y=−12x2+x+4；
(2)过点P作x轴的垂线交直线BC于点E，
∵y=−12x2+x+4，
当x=0时，y=4，
∴C(0,4)，
设直线BC的解析为y=kx+b，
∴b=44k+b=0，
∴k=−1b=4，
∴y=−x+4，
设P(t,−12t2+t+4)，则E(t,−t+4)，
∴PE=−12t2+t+4+t−4=−12t2+2t，
∵PE//OC，
∴PQOQ=PEOC=−12t2+2t4=−18t2+12t=−18(t−2)2+12，
当t=2时，PQOQ有最大值12，
此时P(2,4)；
(3)∵A(−2,0)、C(0,4)，
∴AC=2 5，
∵抛物线y=−12x2+x+4沿射线AC方向平移 5个单位，
∴抛物线沿x轴正方向平移1个单位，沿y轴正方向平移2个单位，
∴y′=−12(x−1−1)2+92+2=−12(x−2)2+132=−12x2+2x+92，
∴抛物线的对称轴为直线x=2，
设N(2,y)，M(m,−12m2+2m+92)，
①当MN、BC为平行四边形的对角线时，
2+m=4y−12m2+2m+92=4，
解得m=2y=−52，
∴N(2,−52)；
②当MB、NC为平行四边形的对角线时，
4+m=2+0−12m2+2m+92=4+y，
解得m=−2y=−112，
∴N(2,−112)；
③当MC、BN为平行四边形的对角线时，
m=4+2−12m2+2m+92+4=y，
解得m=6y=52，
∴N(2,52)；
综上所述，N点的坐标为(2,−52)或(2,−112)或(2,52).
【解析】(1)将A(−2,0)、B(4,0)代入y=−12x2+bx+c，即可求解；
(2)过点P作x轴的垂线交直线BC于点E，设P(t,−12t2+t+4)，则E(t,−t+4)，由PE/​/OC，则PQOQ=PEOC=−18(t−2)2+12，即可求解；
(3)求出平移后的抛物线解析式y′=−12x2+2x+92，设N(2,y)，M(m,−12m2+2m+92)，分三种情况讨论：①当MN、BC为平行四边形的对角线时；②当MB、NC为平行四边形的对角线时；③当MC、BN为平行四边形的对角线时；根据平行四边形的对角线互相平分，分别利用中点坐标公式求出N点坐标即可．
本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行线分线段成比例的性质，平行四边形的性质是解题的关键．
时间x(小时)
1
2
3
4
5
圆柱体容器液面高度y(厘米)
6
10
14
18
22