2022-2023学年福建省厦门市思明区莲花中学九年级（下）月考数学试卷（4月份）（含解析）

2022-2023学年福建省厦门市思明区莲花中学九年级（下）月考数学试卷（4月份）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的绝对值是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  神舟号载人飞船于年月日凌晨成功对接中国空间站，自升空以来神舟十三号飞船每天绕地球圈，按地球赤道周长计算神舟十三号飞船每天飞行约千米，用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  如图是由个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的主视图是(    )

A.
B.
C.
D.

4.  当太阳光线与水平地面成角时，一棵树的影长为，则该树高为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  下列运算中，正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

6.  某校一年级学生的平均年龄为岁，方差为，年后该校六年级学生的年龄中(    )

A. 平均年龄为岁，方差改变 B. 平均年龄为岁，方差不变
C. 平均年龄为岁，方差改变 D. 平均年龄不变，方差不变

7.  如图，，在上，是直径，，则(    )

A.
B.
C.
D.

8.  被历代数学家尊为“算经之首”的九章算术是中国古代算法的扛鼎之作．九章算术中记载：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问燕、雀一枚各重几何？”译文：“今有只雀、只燕，分别聚集而且用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻．将一只雀、一只燕交换位置而放，重量相等只雀、只燕重量为斤．问雀、燕毎只各重多少斤？”设每只雀重斤，每只燕重斤，可列方程组为(    )

A.  B.
C.  D.

9.  已知四边形为矩形，对角线，交于点，点在的平分线上，连接若，则点一定也在(    )

A. 的平分线上 B. 的平分线上
C. 的垂直平分线上 D. 的垂直平分线上

10.  如图，正方形的顶点分别在反比例函数和的图象上．若轴，点的横坐标为，则(    )
 

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.  ______ ．

12.  分解因式：          ．

13.  要使式子有意义，则的取值范围是        ．

14.  不透明袋子中装有个黑球、个白球，这些球除了颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出个球，“摸出黑球”的概率是______．

15.  如图，用一个半径为的定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了，假设绳索粗细不计，且与轮滑之间没有滑动，则重物上升了______ 结果保留

16.  如图，在矩形中，将矩形对折，得到折痕；沿着折叠，点的对应点为，与的交点为；再沿着折叠，使得与重合，折痕为，此时点的对应点为下列结论：是直角三角形；点，，共线；；；点是外接圆的圆心，其中正确的序号为______．

三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）

17.  解不等式组：
；
解二元一次方程组：．

四、解答题（本大题共8小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18.  本小题分
已知：如图，在菱形中，，是对角线上两点，连接，，求证：．

19.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

20.  本小题分
在测浮力的实验中，将一长方体石块由玻璃器皿的上方，向下缓慢移动浸入水里的过程中，弹簧测力计的示数与石块下降的高度之间的关系如图所示．
求所在直线的函数表达式；
当石块下降的高度为时，求此刻该石块所受浮力的大小．
温馨提示：当石块位于水面上方时，；当石块入水后，

21.  本小题分
年北京冬奥会的成功举办激发了人们对冰雪运动的热情．如图是某滑雪场的横截面示意图，雪道分为，两部分，小明同学在点测得雪道的坡度：，在点测得点的俯角若雪道长为，雪道长为．
求该滑雪场的高度；
据了解，该滑雪场要用两种不同的造雪设备来满足对于雪量和雪质的不同要求，其中甲设备每小时造雪量比乙设备少，且甲设备造雪所用的时间与乙设备造雪所用的时间相等．求甲、乙两种设备每小时的造雪量．

22.  本小题分
如图，在中，，点为边上一点．
尺规作图：在边上找一点，使得．
在的条件下以点为圆心，为半径的圆分别与，交于，点，且求证：与相切．

23.  本小题分
表一：参展的车辆情况．“双碳”背景下，新能源和低碳技术的价值链将成为重中之重，新能源汽车在主流的大众消费群体中越来越受欢迎．某市会展中心正在举行一场新能源汽车的车展活动，此次车展共有三十几种不同品牌的新能源汽车参展，根据不同续航里程可以将这些车分成六类，参展的每一类车辆数如表一：

秦先生去参加了这次车展活动，他比较看重新能源汽车的续航里程、百公里加速、智能化水平等三个方面的参数．秦先生根据汽车鉴定评估机构发布的不同类型汽车的评估结果了解到，续航里程评分规则如下：续航里程达到公里可得基本分分，续航里程每增加公里得分增加分增加不足公里的忽略不计智能化水平分为一般、良好、优秀，分别可得分、分、分．百公里加速得评分规则如图：

秦先生随机选择了一辆车了解车辆信息，记事件为：选择的是续航里程超过公里的车辆．求事件的概率；
新能源汽车的续航里程、百公里加速、智能化水平等三个方面的参数，在秦先生心目中的重要程度分别占，，，秦先生看中了售价一样的甲、乙两款车，这两款车的三项性能如表二．
表二：甲、乙两款车型的三项性能表．

根据所学的统计与概率的知识，你认为秦先生应选择哪一款汽车比较合适？请说明理由．

24.  本小题分
如图，已知为的直径，连接，，，过点作于点，点是半径的中点，连接，．
如图，设的半径为，若，求线段的长．
如图，设交于点，延长交于点，连接．
求证：；
若，求的度数．

 

25.  本小题分
已知抛物线与轴的两个交点为，点在点的右侧，且，与轴交点为．
求该抛物线所对应的函数表达式；
若点是抛物线位于直线下方的图象上一个动点，求点到直线的距离的最大值；
设直线与抛物线交于，两点点在点的右侧，与直线交于点试证明：无论取任何正数，恒成立．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的绝对值是．
故选：．
根据一个负数的绝对值是它的相反数即可求解．
本题考查了绝对值，如果用字母表示有理数，则数的绝对值要由字母本身的取值来确定：当是正数时，的绝对值是它本身；当是负数时，的绝对值是它的相反数；当是零时，的绝对值是零．
 

2.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要确定的值以及的值．
 

3.【答案】 

【解析】解：从几何体的正面看，底层是四个小正方形，上层的左端是一个小正方形．
故选：．
利用主视图的定义进行判断即可，即从几何体的正面观察得出视图．
本题主要考查了简单组合体的三视图，正确把握观察的角度是解题的关键．画简单组合体的三视图要循序渐进，通过仔细观察和想象，再画它的三视图．
 

4.【答案】 

【解析】解：如图，太阳光与水平地面成，
，
根据勾股定理，，
影长，
，
解得
故选：．
根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半可得，再根据勾股定理列式进行计算即可得解．
本题考查了直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质，勾股定理的应用，熟记性质是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：、，计算错误，不符合题意；
B、，计算正确，符合题意；
C、，计算错误，不符合题意；
D、，计算错误，不符合题意．
故选：．
根据同底数幂乘法，积的乘方，幂的乘方和单项式除以单项式的计算法则求解判断即可．
本题主要考查了同底数幂乘法，积的乘方，幂的乘方和同底数幂的除法，熟知相关计算法则是解题的关键，注意同底数幂乘法指数是相加，幂的乘方指数是相乘．
 

6.【答案】 

【解析】解：一年级学生的平均年龄为岁，方差为，
年后该校六年级学生的年龄中：平均年龄为岁，方差不变．
故选：．
直接利用年后，平均年龄将增加，而他们之间岁数差别不变，则方差不变．
此题主要考查了方差以及平均数，正确把握方差的性质是解题关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：连接，

，
，
为的直径，
，
，
故选：．
连接，先利用同弧所对的圆周角相等求出，再根据直径所对的圆周角是直角求出，最后利用直角三角形两锐角互余进行计算即可解答．
本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组．
设每只雀有斤，每只燕有斤，根据五只雀、六只燕，共重斤，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，列方程组即可．
【解答】
解：设每只雀有斤，每只燕有斤，
由题意得，
故选C．  

9.【答案】 

【解析】解：如图，连接，

四边形是矩形，
，，
，，
，
平分，
又平分，
平分，
又，
垂直平分，
即垂直平分，
点在的垂直平分线上，
故选：．
利用矩形的性质可证平分，可得平分，由等腰三角形的性质可得垂直平分，即可求解．
本题考查了矩形的性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查反比例函数的图象及应用，涉及正方形的性质，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标．
连接交于，延长交轴于，连接、，设，，根据轴，可得，，即知，从而，，由在反比例函数的图象上，在的图象上，得，，即得．
【解答】
解：连接交于，延长交轴于，连接、，如图：

四边形是正方形，
，
设，，
轴，
，，
，都在反比例函数的图象上，
，
，
，
，
在反比例函数的图象上，在的图象上，
，，
，
故选：．  

11.【答案】 

【解析】解：原式．
故答案为：．
根据立方根的定义，零指数次幂的定义以及有理数减法法则，进行计算即可．
本题考查了立方根的定义，零指数次幂的定义以及有理数减法法则，正确进行计算是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：原式
，
故答案为：．
根据提取公因式、平方差公式，可分解因式．
本题考查了因式分解，利用了提公因式法与平方差公式进行分解，注意分解要彻底．
 

13.【答案】 

【解析】解：式子有意义，
，
．
故答案为：．
根据，二次根式有意义，则被开方数是非负数，即可．
本题考查了二次根式的知识，掌握二次根式有意义，则被开方数是非负数是关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：袋子中装有个黑球、个白球，这些球除了颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出个球，“摸出黑球”的概率是，
故答案为：．
一共有个球，黑白，黑球占总数的，因此可求出随机摸出个球，“摸出黑球”的概率．
本题考查概率公式，理解概率的定义是正确解答的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：由题意得，重物上升的距离是半径为，圆心角为所对应的弧长，
即，
故答案为：．
根据弧长的计算方法计算半径为，圆心角为的弧长即可．
本题考查弧长的计算，掌握弧长的计算方法是正确解答的前提．
 

16.【答案】 

【解析】解：由折叠可知：，，
，
，
是直角三角形，故正确；
由折叠可知：，，
，
点，，在同一条直线上，故正确；
设，则，
，
在矩形中，，
由折叠可知：，，
，，
，
解得，
，，
解得，
，故错误；
，，
，故正确；
，
，
由折叠可知：，，
，
，
，
点是的中点，
点是外接圆的圆心，故正确．
故答案为：．
由折叠的性质及平角的定义可求解，即可判定；利用折叠的性质及平角的定义可判定；设，则，利用矩形的性质及勾股定理可求解的长，进而可求得，的长，从而判定；由，的长可判定；由平行线的判定与性质及折叠的性质可判定．
本题主要考查翻折问题，勾股定理，矩形的性质，直角三角形的判定，三角形的外接圆与外心，作适当的辅助线是解题的关键．
 

17.【答案】解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
不等式组的解集为；
，
得，，
，
把代入得，，
，
． 

【解析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集；
利用加减消元法求解可得．
本题考查的是解二元一次方程组与一元一次不等式组，熟知同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到的原则是解答此题的关键．
 

18.【答案】证明：四边形是菱形，
，
，
，
，
，
在和中，

≌，
． 

【解析】利用菱形的性质可得，进而可得，，利用证明≌可证明结论．
本题主要考查菱形的性质，全等三角形的判定与性质，证明≌是解题的关键．
 

19.【答案】解：原式


，
当时，原式． 

【解析】根据分式的混合运算法则把原式化简，把的值代入计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
 

20.【答案】解：设所在直线的函数表达式为，将，代入得：
，
解得，
所在直线的函数表达式为；
在中，令得，
，
当石块下降的高度为时，该石块所受浮力为 

【解析】用待定系数法可得所在直线的函数表达式；
结合，求出石块下降的高度为时，的值，即可得到答案．
本题考查了待定系数法求一次函数解析式，难度适中，解题的关键是读懂题意，把实际问题转化为数学问题．
 

21.【答案】解：过作，过过，两直线交于，过作垂直地面交地面于，如图：

根据题知，
，
的坡度：，
：：，
设，则，
，
，
解得，负值已舍去，
  ，
答：该滑雪场的高度为；
设甲种设备每小时的造雪量是，则乙种设备每小时的造雪量是，
根据题意得：，
解得，
经检验，是原方程的解，也符合题意，
，
答：甲种设备每小时的造雪量是，则乙种设备每小时的造雪量是． 

【解析】过作，过过，两直线交于，过作垂直地面交地面于，根据题知，可得，由的坡度：，设，则，可得，即可得；
设甲种设备每小时的造雪量是，可得：，即方程并检验可得甲种设备每小时的造雪量是，则乙种设备每小时的造雪量是．
本题考查解直角三角形和分式方程的应用，解题的关键是构造直角三角形和列出分式方程．
 

22.【答案】解：如图，连接，作的垂直平分，交于点，点即为所求；

证明：如图，连接，，
由的作图可知：垂直平分，
，
，
是半径，
也是的半径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
与相切． 

【解析】连接，作的垂直平分，交于点即可；
连接，，由的作图可得垂直平分，所以，然后根据圆周角定理证明，可得，进而可以解决问题．
本题考查了作图复杂作图，圆周角定理，切线的判定，解决本题的关键是掌握切线的判定．
 

23.【答案】解：由表一可知总共有辆车，续航里程超过公里的车有辆，
．
甲车的续航里程评分为，百公里加速得评分为，智能化水平得分为，
甲车的平均分为分，
乙车的续航里程评分为，百公里加速得评分为，智能化水平得分为，
乙车的平均分为分，
秦先生应选择甲款汽车比较合适． 

【解析】利用随机事件的概率公式求解即可；
求出甲乙的加权平均数比较即可．
本题考查了概率公式和加权平均数的计算．在计算过程中要弄清楚各数据的权是解题的关键．
 

24.【答案】解：，，，
，，，
是直径，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
．

证明：如图中，过点作于，交于，连接．

，
，
∽，
，同理，
，
，
，
四边形是平行四边形，
．

解：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
．
解法二：可以过点作交于点，连接．

，，

，
，
，
，，
，
，
≌，
，
，
，
，
，
，
 

【解析】解直角三角形求出，再证明，利用直角三角形斜边中线的性质即可解决问题．
过点作于，交于，连接想办法证明四边形是平行四边形可得结论．
想办法证明，推出，推出是等腰直角三角形即可解决问题．
本题属于圆综合题，考查了等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题，属于中考压轴题．
 

25.【答案】解：设，，则，是的两个实数根，
，，
，
，
，
即，
解得，
经检验，满足题意，
抛物线所对应的函数表达式为；
解：设，则到距离为的长，过作轴于，交于，如图：

在中，令得，令得或，
，，，
由，得直线解析式为，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
最大即是最大，
设，则，
，
，
时，最大为，
最大为，
答：点到直线的距离的最大值是；
证明：过作轴于，过作轴于，过作轴于，如图：

轴，轴，轴，
，
，
设，则，，，
由得，
的两根为，，
，，
，
即，
，
由得，
，
，
，
，
． 

【解析】设，，则，是的两个实数根，由，得，即，可解得抛物线所对应的函数表达式为；
设，则到距离为的长，过作轴于，交于，在中，得，，，由，得直线解析式为，，可得是等腰直角三角形，，故最大即是最大，设，则，，即可得最大为，从而点到直线的距离的最大值是；
过作轴于，过作轴于，过作轴于，设，则，，，由得，可得，，由得，可得，故，即，从而．
本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，等腰直角三角形的判定与性质，平行线分线段成比例等，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度．