初中数学浙教版七年级下册3.4 乘法公式同步练习题

3.4　乘法公式

第2课时   完全平方公式

一、选择题

1．(1－x)2＝(　　)

A．1－x2  B．1＋x2  C．1－2x＋x2  D．1＋2x＋x2

2．下列各式中，与(－a－1)2相等的是(　　)

A．a2－1  B．a2＋2a＋1  C．a2－2a＋1  D．a2＋1

3．若(x＋m)2＝x2－6x＋n，则m，n的值分别为(　　)

A．3，9  B．3，－9  C．－3，9  D．－3，－9

4．下列运算正确的是(　　)

A．2x2y＋3xy＝5x3y2  B．(－2ab2)3＝－6a3b6

C．(3a＋b)2＝9a2＋b2  D．(3a＋b)(3a－b)＝9a2－b2

5．【2022·百色】如图是利用割补法求图形面积的示意图，下列公式中与之相对应的是(　　)

A．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2  B．(a－b)2＝a2－2ab＋b2

C．(a＋b)(a－b)＝a2－b2  D．(ab)2＝a2b2

6．如图，将图①中阴影部分拼成图②，根据两个图形中阴影部分的关系，可以验证下列哪个计算公式(　　)

A．(a－b)2＝a2－2ab＋b2  B．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2

C．(a－b)2＝(a＋b)2－4ab  D．(a＋b)(a－b)＝a2－b2

7．设(a＋2b)2＝(a－2b)2＋A，则A＝(　　)

A．8ab  B．－8ab  C．8b2  D．4ab

8．下列变形中，错误的是(　　)

①(b－4c)2＝b2－16c2；

②(a－2bc)2＝a2＋4abc＋4b2c2；

③(x＋y)2＝x2＋xy＋y2；

④(4m－n)2＝16m2－8mn＋n2.

A．①②③  B．①②④    C．①③④  D．②③④

9．【2021·台州】已知(a＋b)2＝49，a2＋b2＝25，则ab＝(　　)

A．24  B．48  C．12  D. 2

10．已知：(x＋y)2＝12，(x－y)2＝4，则x2＋3xy＋y2的值为(　　)

A．8          B．10          C．12          D．14

11．已知a＋＝4，则a2＋的值是(　　)

A．4  B．16   C．14  D．15

二、填空题

12．已知x2＋y2＝17，xy＝4，则(x＋y)2＝________．

13．填空：(1)(a＋2b)2＝a2＋4ab＋__________；

(2)4x2－__________＋1＝(2x－1)2；

(3)(________－2)2 ＝4x2－8x＋________．

14．小明在利用完全平方公式计算一个二项整式的平方时，得到正确结果x2＋■＋16，但其中一项被小明不小心染黑了，你认为这一项是__________．

15．设M＝x＋y，N＝x－y，P＝xy.若M＝1，N＝2，则P＝________．

16．观察等式：①9－1＝2×4；②25－1＝4×6；③49－1＝6×8，…，按照这种规律写出第n个等式：________________________．

三、解答题

17．计算：

(1)(x＋1)(x－1)－(x＋2)2；

(2)；

(3)2 0222－4 044×2 021＋2 0212.

18．一个底面是正方形的长方体，高为6 cm，底面正方形边长为5 cm．如果它的高不变，底面正方形的边长增加了a cm，那么它的体积增加了多少？

19．定义新运算“※”：x※y＝xy＋x2－y2，化简(2a＋3b)※(2a－3b)，并求出当a＝2，b＝1时(2a＋3b)※(2a－3b)的值．

20．(1)已知a2＋b2＝10，a＋b＝4，求a－b的值．

(2)关于x的代数式(ax－3)(2x＋1)－2x2＋m化简后不含x2项与常数项，且an2＋mn＝1，求2n3＋5n2－5n＋2 023的值．

21．我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．这个三角形给出了(a＋b)n(n＝1，2，3，4，…)的展开式的系数规律(按a的次数由大到小的顺序)：

……

(a＋b)1＝a＋b

(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2

(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3

(a＋b)4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4

……

请依据上述规律，直接写出展开式中含x2 020的项的系数．

参考答案

一、选择题

1．(1－x)2＝(　C　)

A．1－x2  B．1＋x2  C．1－2x＋x2  D．1＋2x＋x2

2．下列各式中，与(－a－1)2相等的是(　B　)

A．a2－1  B．a2＋2a＋1  C．a2－2a＋1  D．a2＋1

3．若(x＋m)2＝x2－6x＋n，则m，n的值分别为(　C　)

A．3，9  B．3，－9  C．－3，9  D．－3，－9

4．下列运算正确的是(　D　)

A．2x2y＋3xy＝5x3y2  B．(－2ab2)3＝－6a3b6

C．(3a＋b)2＝9a2＋b2  D．(3a＋b)(3a－b)＝9a2－b2

5．【2022·百色】如图是利用割补法求图形面积的示意图，下列公式中与之相对应的是(　A　)

A．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2  B．(a－b)2＝a2－2ab＋b2

C．(a＋b)(a－b)＝a2－b2  D．(ab)2＝a2b2

6．如图，将图①中阴影部分拼成图②，根据两个图形中阴影部分的关系，可以验证下列哪个计算公式(　A　)

A．(a－b)2＝a2－2ab＋b2  B．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2

C．(a－b)2＝(a＋b)2－4ab  D．(a＋b)(a－b)＝a2－b2

7．设(a＋2b)2＝(a－2b)2＋A，则A＝(　A　)

A．8ab  B．－8ab  C．8b2  D．4ab

8．下列变形中，错误的是(　A　)

①(b－4c)2＝b2－16c2；

②(a－2bc)2＝a2＋4abc＋4b2c2；

③(x＋y)2＝x2＋xy＋y2；

④(4m－n)2＝16m2－8mn＋n2.

A．①②③  B．①②④    C．①③④  D．②③④

9．【2021·台州】已知(a＋b)2＝49，a2＋b2＝25，则ab＝(　C　)

A．24  B．48  C．12  D. 2

10．已知：(x＋y)2＝12，(x－y)2＝4，则x2＋3xy＋y2的值为(　D　)

A．8          B．10          C．12          D．14

【解析】先利用完全平方公式展开，再把两个等式相加可得x2＋y2＝8，把两个等式相减可得xy＝2，最后代入求值即可．

11．已知a＋＝4，则a2＋的值是(　C　)

A．4  B．16   C．14  D．15

【解析】∵＝a2＋＋2，∴a2＋＝－2＝16－2＝14.

二、填空题

12．已知x2＋y2＝17，xy＝4，则(x＋y)2＝________．

【答案】25

13．填空：(1)(a＋2b)2＝a2＋4ab＋__________；

(2)4x2－__________＋1＝(2x－1)2；

(3)(________－2)2 ＝4x2－8x＋________．

【答案】4b2   4x   2x    4

14．小明在利用完全平方公式计算一个二项整式的平方时，得到正确结果x2＋■＋16，但其中一项被小明不小心染黑了，你认为这一项是__________．

【答案】±8x或x4

15．设M＝x＋y，N＝x－y，P＝xy.若M＝1，N＝2，则P＝________．

【答案】－

【解析】(x＋y)2＝x2＋2xy＋y2＝1，

(x－y)2＝x2－2xy＋y2＝4，

两式相减得4xy＝－3，

解得xy＝－，则P＝－.

16．观察等式：①9－1＝2×4；②25－1＝4×6；③49－1＝6×8，…，按照这种规律写出第n个等式：________________________．

【答案】(2n＋1)2－1＝2n(2n＋2)

三、解答题

17．计算：

(1)(x＋1)(x－1)－(x＋2)2；

解：原式＝x2－1－(x2＋4x＋4)＝x2－1－x2－4x－4＝－4x－5.

(2)；

解：原式＝＝602＋2×60×＋＝3 600＋2＋＝3 602.

(3)2 0222－4 044×2 021＋2 0212.

解：原式＝2 0222－2×2 022×2 021＋2 0212＝(2 022－2 021)2＝1.

18．一个底面是正方形的长方体，高为6 cm，底面正方形边长为5 cm．如果它的高不变，底面正方形的边长增加了a cm，那么它的体积增加了多少？

解：6(5＋a)2－6×52

＝6(25＋10a＋a2)－6×25

＝6×25＋60a＋6a2－6×25

＝60a＋6a2(cm3)．

答：它的体积增加了(60a＋6a2)cm3.

19．定义新运算“※”：x※y＝xy＋x2－y2，化简(2a＋3b)※(2a－3b)，并求出当a＝2，b＝1时(2a＋3b)※(2a－3b)的值．

解：(2a＋3b)※(2a－3b)＝

(2a＋3b)(2a－3b)＋(2a＋3b)2－(2a－3b)2

＝4a2－9b2＋4a2＋12ab＋9b2－4a2＋12ab－9b2

＝4a2－9b2＋24ab，

当a＝2，b＝1时，

原式＝16－9＋48＝55.

20．(1)已知a2＋b2＝10，a＋b＝4，求a－b的值．

解：∵a2＋b2＝10，a＋b＝4，

∴(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab＝16.

∴2ab＝16－10＝6.

∴(a－b)2＝a2＋b2－2ab＝4.

∴a－b＝±2.

(2)关于x的代数式(ax－3)(2x＋1)－2x2＋m化简后不含x2项与常数项，且an2＋mn＝1，求2n3＋5n2－5n＋2 023的值．

解：∵(ax－3)(2x＋1)－2x2＋m

＝2ax2＋ax－6x－3－2x2＋m

＝(2a－2)x2＋(a－6)x＋m－3.

∵不含x2项与常数项，

∴2a－2＝0，m－3＝0.∴a＝1，m＝3.

∵an2＋mn＝1，

∴n2＋3n＝1.

∴2n3＋5n2－5n＋2 023

＝2n3＋6n2－n2－5n＋2 023

＝2n(n2＋3n)－n2－5n＋2 023

＝2n－n2－5n＋2 023

＝－(n2＋3n)＋2 023

＝－1＋2 023＝2 022.

21．我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．这个三角形给出了(a＋b)n(n＝1，2，3，4，…)的展开式的系数规律(按a的次数由大到小的顺序)：

……

(a＋b)1＝a＋b

(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2

(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3

(a＋b)4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4

……

请依据上述规律，直接写出展开式中含x2 020的项的系数．

解：－4 044.　

【解析】首先确定含x2 020的项是展开式中第二项，根据“杨辉三角”，的展开式的第二项为2 022x2 021·，所以含x2 020的项的系数为－4 044.