2022-2023学年安徽省滁州市定远县第三中学等3校高一上学期期末考试数学试题含解析

2022-2023学年安徽省滁州市定远县第三中学等3校高一上学期期末考试数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据集合的交运算即可求解.

【详解】由得，所以，

故选：D

2．“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】若，则成立，逆命题不成立，可得出结论.

【详解】当时，，

所以“”是“”的充分条件，

当时，或，，

所以“”是“”的不必要条件，

即“”是“”的充分不必要条件，

故选：A.

3．已知，则下列不等式成立的是

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由于，可以根据分式、根式、对数式、指数式对应的函数的单调性直接分析即可.

【详解】∵，∴，，，.

只有B正确．

故选B．

【点睛】本题考查基本初等函数的单调性并利用单调性比较大小，难度较易.

4．函数的定义域是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据解析式，列出不等式，求出使解析式有意义的自变量的范围，即可得出结果.

【详解】因为，

所以，解得且，

即函数的定义域为.

故选：C.

【点睛】本题主要考查求具体函数的定义域，属于基础题型.

5．已知函数，则的值为（    ）

A． B． C．1 D．

【答案】B

【解析】根据函数解析式，结合特殊角的三角函数值，即可求得结果.

【详解】依题意.

故选：B

【点睛】本题考查分段函数函数值的求解，涉及特殊角的正弦值，属综合简单题.

6．设函数，则下列函数中为奇函数的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据给定的函数，逐一计算各个选项中的函数，并分别判断作答.

【详解】函数，

对于A，，其图象关于原点对称，是奇函数，A是；

对于B，，其图象关于原点不对称，不是奇函数，B不是；

对于C，，其图象关于原点不对称，不是奇函数，C不是；

对于D，，其图象关于原点不对称，不是奇函数，D不是.

故选：A

7．幂函数在区间上单调递增，且，则的值（    ）

A．恒大于0 B．恒小于0

C．等于0 D．无法判断

【答案】A

【分析】由已知条件求出的值，则可得幂函数的解析式，再利用幂函数的性质判断即可

【详解】由函数是幂函数，可得，解得或．

当时，；当时，．

因为函数在上是单调递增函数，故．

又，所以，

所以，则．

故选：A．

8．德国著名的天文学家开普勒说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割，如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿．”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是两底角为的等腰三角形（另一种是两底角为的等腰三角形）．例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金△ABC中，．根据这些信息，可得sin 54°＝（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】先求出，再借助倍角公式求出，通过诱导公式求出sin 54°.

【详解】正五边形的一个内角为，则，，

，所以．

故选：C.

二、多选题

9．与角终边相同的角是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BD

【分析】写出终边相同的角的集合，再判断选项.

【详解】与角终边相同的角的集合是，

当时，，当时，.

故选：BD

10．已知不等式的解集为，则以下选项正确的有（    ）

A． B．

C．的解集为 D．的解集为或

【答案】AD

【分析】依题意可以判断，，利用根和系数的关系求出，代入求解即可.

【详解】不等式的解集为

根据一元二次不等式解法可知，且，

故由上可知A正确，B错误；

由，可知：将，代入

由可得：，解得：或

故的解集为或，C错误，D正确；

故选：AD

11．已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（    ）

A．

B．的图象关于直线对称

C．在上单调递减

D．该图象向右平移个单位可得的图象

【答案】ABD

【分析】由图象求得函数解析式，然后根据正弦函数性质及图象变换判断各选项．

【详解】根据函数的部分图象，可得，，所以，故A正确；

利用五点法作图，可得，可得，所以，令，求得，为最小值，故函数的图象关于直线对称，故B正确；

当时，，函数没有单调性，故C错误；

把的图象向右平移个单位可得的图象，故D正确．

故选：ABD．

12．已知函数（且）在定义域内存在最大值，且最大值为，，若对任意，存在，使得，则实数的取值可以是（    ）

A． B．0 C． D．3

【答案】ABC

【分析】先求出，得到时，

再由题意得到，即可求出m的范围，对照四个选项即可得到正确答案.

【详解】定义域为.

由题意知时，，即.

此时，

时，

时，，由得.

对照四个选项，可以选:ABC.

故答案为：ABC

三、填空题

13．若是钝角，，则____________．

【答案】/

【分析】由诱导公式求得，再由同角关系式求得．

【详解】，

因为是钝角，所以，．

故答案为：.

14．已知半径为3的扇形面积为，则这个扇形的圆心角为 ________ ．

【答案】

【解析】由扇形的面积公式直接求解.

【详解】由扇形面积公式，

可得圆心角，

故答案为：.

【点睛】(1)在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简捷．

(2)求扇形面积的最值应从扇形面积出发，在弧度制下使问题转化为关于α的不等式或利用二次函数求最值的方法确定相应最值.

15．设二次函数（，）的值域是，则的最小值是____________．

【答案】

【分析】结合二次函数图象，由值域为，求得，，再由基本不等式求解即可.

【详解】当二次函数的图象开口向上，且与轴有且只有一个交点时，其值域为，

∴，∴，，.

∴由基本不等式，，

当且仅当时等号成立．

∴的最小值是．

故答案为：.

16．已知函数，若方程有3个实数根，则实数k的取值范围是________.

【答案】

【分析】将问题转化为与有3个交点，根据分段函数解析式确定的区间性质，结合函数图象判断交点情况，进而求k的范围.

【详解】由题意，方程有3个实数根，即为与有3个交点，

由的解析式知：当时，；当时，对称轴为且；图象如下图示：

∴当且仅当时，与有3个交点，即有3个实根.

故答案为：

【点睛】关键点点睛：转化为函数图象的交点问题，根据分段函数的性质，应用数形结合的方法确定参数的范围.

四、解答题

17．（1）计算；

（2）若，求的值．

【答案】（1）1；（2）

【分析】（1）化成同底数指数幂的形式，底数不变指数相加减，即可求出结果.

（2）通过方程求出x的值，代入表达式即可.

【详解】（1）原式．

（2）∵，

∴，

∴．

18．已知集合,．

(1)若，求；

(2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数a的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由已知确定集合，再根据集合的并集运算即可；

（2）若“”是“”的必要不充分条件，则B是A的真子集，列不等式求解，即可得实数a的取值范围．

【详解】（1）解：若，则，又

所以；

（2）解：，

因为“”是“”的必要不充分条件，所以B是A的真子集，

所以，解得，所以实数a的取值范围是．

19．已知函数.

(1)求的最小正周期和单调递增区间；

(2)当时，求的最大值和最小值.

【答案】(1)，；

(2)最大值，最小值.

【分析】（1）利用二倍角的正弦、辅助角公式化简函数，再利用正弦函数的性质求解作答.

（2）在给定条件下求出（1）中函数的相位，再利用正弦函数的性质求解作答.

【详解】（1）依题意，，则的最小正周期，

由，得，

所以的单调递增区间是.

（2）由（1）知，，由，得，

当，即时，有最大值，

当时，即时，有最小值.

20．已知函数，其中且．

(1)求的值并写出函数的解析式；

(2)判断并证明函数的奇偶性；

(3)已知在定义域上是单调递减函数，求使的的取值范围．

【答案】(1)，

(2)奇函数，证明见解析

(3)

【分析】（1）由求解即可；

（2）由函数奇偶性的定义判断并证明即可；

（3）由，结合函数单调性求解即可.

【详解】（1）由已知，，

∴，解得（舍）或，

∴．

（2）为奇函数，证明如下：

∵，∴由即，解得，

∴的定义域为，

，都有，

且，即，

∴函数是定义在上的奇函数．

（3）∵在定义域上单调递减，，

∴解得，

又∵的定义域为，

∴的取值范围是．

21．某公司生产“中国共产党成立100周年”纪念手册，向人们展示党的百年光辉历程，经调研，每生产万册，需要生产成本万元，若生产量低于20万册，；若生产量不低于20万册，.  上市后每册纪念册售价50元，根据市场调查发现生产的纪念册能全部售出.

(1)设总利润为万元，求函数的解析式（利润=销售额成本）；

(2)生产多少册纪念册时，总利润最大？并求出最大值.

【答案】(1)

(2)当生产25万册时，总利润最大，为300万元

【分析】（1）按生产量不低于20万册和低于20万册两种情况分别去求函数的解析式；

（2）分段求得函数的最大值，二者中较大者为最大总利润.

【详解】（1）当时，

当时，

所以

（2）当时，

当时，取得最大值为225

当时，，

（当且仅当，即时取得等号.）

所以，即当时，取得最大值为300.

因为，所以当生产25万册时，总利润最大，为300万元.

22．已知函数，．

(1)若的最小值是，求的值．

(2)是否存在，使得当的定义域为时，的值域为？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由．

【答案】(1)；

(2)不存在，理由见解析.

【分析】（1）讨论、，结合换元法、二次函数的性质及最值求参数即可.

（2）根据（1）及已知判断的单调性，进而将问题转化为有两个不同的正根，结合二次函数性质列不等式组求，即可判断存在性.

【详解】（1）当时，，没有最小值，不符合题意．

当时，设，则．

①当时，的图象开口向下，无最小值，则无最小值，不符合题意．

②当时，对称轴，因为的最小值是，

所以，

化简得，解得（舍去）或，

所以．

（2）当时，由（1）知：，

当时，的对称轴，

所以当时为增函数，即为增函数．

所以定义域为时，值域为可转化为有两个不同的正根，．

所以有两个大于1且不相等的根．

所以，解得，

所以不存在满足题意的．