2022-2023学年江苏省扬州市高邮市第一中学高一上学期第三次阶段测试数学试题含解析

2022-2023学年江苏省扬州市高邮市第一中学高一上学期第三次阶段测试数学试题

一、单选题

1．设为实数，，，若，则的值为（    ）

A．2或3 B．2 C．3 D．1或2或3

【答案】A

【分析】由得，即可判断答案.

【详解】由得，故的值为2或3.

故选：A.

2．与函数的图象不相交的一条直线是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由题意求函数的定义域，即可求得与函数图象不相交的直线.

【详解】由， 解得： ，

当时，，

函数的图象不相交的一条直线是.

故选：B.

3．已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由函数单调性可比较a，b大小；通过研究函数单调性可比较b，c大小，即可得答案.

【详解】因函数在上单调递减，又，

则，即；

注意到，.则.

构造函数，则，

令在上单调递增，

又，，

则，即.

综上，.

故选：B

【点睛】关键点睛：本题涉及比较代数式大小，常利用函数单调性与构造函数解决问题.构造函数的关键，为找到需比较大小代数式间的联系.

4．已知半径为4的扇形面积为，则扇形的圆心角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据扇形的面积公式，代入相关数据，即可求解.

【详解】设扇形的圆心角大小为，半径为，则由扇形的面积为，可得：，解得：扇形的圆心角．

故选：C

5．“”是“函数在区间上为减函数”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】求出函数在区间上为减函数的的取值范围，结合与的关系求出答案

【详解】的图象如图所示，

要想函数在区间上为减函数，必须满足，

因为是的子集，

所以“”是“函数在区间上为减函数”的充分不必要条件.

故选：A

6．已知A，B，C是的内角，下列等式中错误的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】利用三角形内角和定理结合同角基本关系、诱导公式逐一验证各选项即可.

【详解】在中，.

对于A，，A正确；

对于B，，，B正确；

对于C，，C错误；

对于D，，D正确.

故选：C.

7．现有四个函数：①，②，③，④的图象（部分）如下，但顺序被打乱，则按照从左到右将图象对应的函数序号安排正确的一组是（    ）

A．①②③④ B．④③②① C．②①③④ D．③②①④

【答案】D

【分析】根据各函数的特征如函数值的正负，单调性、奇偶性，定义域、值域等进行判断．

【详解】对于函数，有，

所以为奇函数，图象关于原点对称，且时，，

所以对应的是第个三函数图象；

对于函数，有，所以函数是偶函数，所以函数对应的是第二个函数图象；

对于函数，为幂函数，且在上是减函数，

所以函数对应的图象是第一个图象；

对于函数，当时，，

所以函数对应的是第四个函数图象；

则按照图象从左到右的顺序对应的应该为③②①④.

故选：D.

【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：

(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．

(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；

(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；

(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.

8．我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．则函数图象的对称中心为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】直接根据题目新信息，列方程组，即可求出a、b，得到对称中心.

【详解】由题意的信息可得到函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是为奇函数．

所以可化为为奇函数，

则，即，即，

令，则，即，解得或（舍去），

所以，则.

则，此时

所以为奇函数.

故图象的对称中心为.

故选：B

二、多选题

9．已知幂函数的图象经过点，则（    ）

A．的定义域为 B．的值域为

C．是偶函数 D．的单调增区间为

【答案】ABD

【分析】根据已知条件求出幂函数的解析式，然后利用幂函数的基本性质逐项判断，可得出合适的选项.

【详解】设，则，可得，则，

对于A选项，对于函数，有，则函数的定义域为，A对；

对于B选项，，则函数的值域为，B对；

对于C选项，函数的定义域为，定义域不关于原点对称，

所以，函数为非奇非偶函数，C错；

对于D选项，的单调增区间为，D对.

故选：ABD.

10．以下四个命题，其中是真命题的有（    ）

A．若，则

B．若，则

C．若，则函数的最小值为

D．若，，，则的最小值为4

【答案】BC

【分析】AB选项，由作差法可判断选项正误；CD选项，由基本不等式可判断选项正误.

【详解】A选项，因，则，故A错误；

B选项，因，则，故B正确；

C选项，因，则，当且仅当

，即时取等号，故C正确；

D选项，因，，则.

当且仅当时，即时取等号，故D错误.

故选：BC

11．如图，摩天轮的半径为40米，点O距地面的高度为50米，摩天轮按逆时针方向做匀速转动，每30分钟转一圈，摩天轮上点P的起始位置在最低点处，下面的有关结论正确的有（    ）

A．经过15分钟，点P首次到达最高点

B．从第10分钟到第20分钟摩天轮上的点P距离地面的高度一直在升高

C．若摩天轮转速减半，则其旋转一圈所需要的时间变为原来的倍

D．在摩天轮转动的一圈内，有10分钟的时间点P距离地面超过70

【答案】AD

【解析】建立平面直角坐标系：根据题意得到，求得点P离地面的高度为：，然后再逐项判断.

【详解】建立如图所示平面直角坐标系：

则，

得 ，

所以点P离地面的高度为： ，

A. 当时，，所以经过15分钟，点P首次到达最高点，故正确；

B．令 ，解得 ，所以从第10分钟到第15分钟，点P距离地面的高度一直在升高，从第15分钟到第20分钟，高度在降低，故错误；

C.若摩天轮转速减半，则其旋转一圈所需要的时间变为原来的倍，故错误；

D. 令，即，解得，所以，有10分钟的时间点P距离地面超过70故正确.

故选：AD

【点睛】关键点点睛：本题关键是建立坐标系，求出P离地面的高度函数.

12．函数的定义域为，其图象如图所示.函数是定义域为R的偶函数，满足，且当时，.给出下列四个结论，其中正确的是（    ）

A． B．函数的图象关于直线对称

C．不等式的解集为R D．函数的单调递增区间为，

【答案】ABD

【分析】根据已知可得，，周期为2.根据为偶函数可推得A正确；根据的奇偶性以及周期可推出，即可得到B正确；由可推得C不正确；由图象知，在上单调递减，根据单调性和奇偶性的关系可推出在上单调递增，然后根据周期性即可判断D正确.

【详解】

对于A，因为函数是定义域为R的偶函数，所以，

又，所以，故A正确；

对于B，因为函数是定义域为R的偶函数，所以，

又，所以，所以，

所以函数的图象关于直线对称，故B正确；

对于C，由题意知，，故C错误；

对于D，由题意知，在上单调递减，又为偶函数，图象关于轴对称，所以在上单调递增.

又，所以周期为2，

所以函数在，上单调递增，故D正确.

故选：ABD

三、填空题

13．命题“，”的否定是______．

【答案】，

【分析】由全称量词命题的否定形式即可得答案.

【详解】命题“，”的否定是“，”.

故答案为：，

14．计算：___________ ．

【答案】

【解析】根据指数幂的运算性质和对数的运算性质以及特殊角的三角函数值，计算即可.

【详解】

故答案为：

【点睛】思路点晴：综合运用指数、对数运算性质和三角函数值.

四、双空题

15．已知，则______，满足的x的范围是______．

【答案】          或.

【分析】由分段函数解析式结合定义域可解决第1空，由对数，指数函数单调性结合定义域可解决第2空.

【详解】由题，，则；

当时，；

当时，.

综上，或.

故答案为：或.

五、填空题

16．《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大正方形，若如图所示的角，且小正方形与大正方形的面积之比为，则的值为______.

【答案】

【分析】将面积之比表示关于的三角函数，从而可求的值.

【详解】大正方形的边长为，则小正方形的边长为，

故，故即，

故，所以即，

故或，因为，故，

所以，

故答案为：.

六、解答题

17．在平面直角坐标系中，角的顶点为坐标原点，始边为x的非负半轴，终边经过点．

(1)求的值；

(2)求的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据任意角三角函数的定义运算求解；

（2）根据诱导公式化简求值.

【详解】（1）由题知角终边经过点，则，

∴，，

故.

（2）由（1）知，

则，

故.

18．设全集，，．

(1)当a＝1时，求，；

(2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

【答案】(1)；或

(2)

【分析】（1）解不等式可得集合，将代入解出集合，根据集合基本运算即可求得结果；

（2）根据题意可得集合是集合的真子集，根据集合间的基本关系即可求得实数a的取值范围．

【详解】（1）令可得，解得，

所以，或

当时，，

所以，

或.

（2）由“”是“”的充分不必要条件可得，集合是集合的真子集，

又，

所以，解得，

故实数a的取值范围为．

19．已知函数（且）是偶函数．

(1)求实数a的值；

(2)求函数的值域．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）由为偶函数可得对都有，代入得，求解即可；

（2）由（1）可得，从而可得，令（当时取等号），再结合二次函数的单调性即可求解.

【详解】（1），

因为为偶函数，所以对都有，

即恒成立，即恒成立，

，解得.

（2）由（1）可知，

所以，

令（当时取等号），

则，

所以所求函数为，

则函数在上单调递增，

所以，即函数的值域为.

20．某同学用“五点法”画函数在某一周期内的图象时，列表并填入的部分数据如表：

(1)请利用上表中的数据，写出、的值，并求函数的解析式；

(2)若，求函数的单调增区间；

(3)将函数的图象向右平移个单位，再把所得图象上各点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，若在上恒成立，求实数m的取值范围．

【答案】(1)，，；

(2)；

(3)

【分析】（1）根据表中的数据以及五点作图的规律直接求解即可；

（2）先求得，再令求解即可；

（3）先根据平移变换及周期变换的规则可得函数的解析式，再将问题转化为，然后求出函数在上的最值即可.

【详解】（1）由表格根据五点作图的规律，

可得，，，，

得，，

，得，

综上：，，；

（2）由（1）可知，，

令，解得，

所以函数的单调增区间为.

（3）将函数的图象向右平移个单位得，

再把所得图象上各点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变得.

由得，

若在上恒成立，

则，

又当时，，

，得.

所以实数m的取值范围为

21．已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，

(1)当时，求的解析式；

(2)若函数在上单调递减．

求a的取值范围；

实数，恒成立，求实数t的取值范围．

【答案】(1)

(2)（i）；（ii）

【详解】（1）当时，时，，       

设，则，，  

因为是奇函数，

所以，  

所以；

（2）当时，图象的对称轴为，

因为函数在上单调递减，所以，

即a的取值范围为；    

因为  

因为函数在上单调递减，是定义在R上的奇函数，

所以函数在R上单调递减，所以 

即在时恒成立，    

因为，  

所以，                                           

即实数t的取值范围为

22．已知函数，其中且．

(1)若且函数的最大值为2，求实数a的值．

(2)当时，不等式在有解，求实数m的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）将代入函数得出解析式，根据复合函数同增异减的性质，分类讨论和时在的单调性，由此确定最大值，即可解出实数a的值．

（2）由对数函数性质可得，再由对数单调性可得，利用换元法结合二次函数的性质求出不等式右边的最大值，即可得到m的取值范围．

【详解】（1）当时，

所以，

当时，在定义域内单调递增，，解得

当时，在定义域内单调递减，，解得，不符合题意，舍去

综上所述，实数a的值为.

（2）要使在上有意义，则，解得

由，即，因为，所以

即，得，令，，记，对称轴为，

若不等式在有解，则在有解

即，即

综上所述，实数m的取值范围为