北师大版九年级上册数学期中测试1（含解析）

北师大版初中数学九年级上册期中测试卷

考试范围：第一，二，三章；考试时间：100分钟；总分：120分

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36分）

1. 如图，在矩形纸片中，，点在边上，将沿直线折叠，点恰好落在对角线上的点处，若，则的长是(    )

1.  B.  

C.  D.

2. 已知，是方程的两个实数根，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 当时，关于的一元二次方程的根的情况为(    )

A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根 D. 无法确定

4. 如图，在矩形中，周长为，面积为，，，，分别是边上的中点，则四边形的周长为(    )
   

A.  B.  C.  D.

5. 在一个不透明的口袋中，放置了红球，白球共个，这些小球除颜色外其余均相同，数学小组每次摸出一个球记录下颜色后再放回，并且统计了红球出现的频率如图，
   现从中无放回的抽取两个球，抽到一红一白的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 根据规定，我市将垃圾分为了四类：可回收物、易腐垃圾、有害垃圾和其他垃圾四大类．现有投放这四类垃圾的垃圾桶各个，若将用不透明垃圾袋分类打包好的两袋不同垃圾随机投进两个不同的垃圾桶，投放正确的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

7. 班长邀请，，，四位同学参加圆桌会议．如图，班长坐在号座位，四位同学随机坐在四个座位，则，两位同学座位相邻的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

8. 小东在解关于的一元二次方程时，误将，颠倒位置，求得方程的解为，，则原方程的解是(    )

A. ， B. ，
C. ， D. ，

9. 如图，在中，点，分别是边，的中点，点是线段上的一点．连接，，，且，，则的长是(    )

D.

10. 一个盒子中装有颗蓝色幸运星，若干颗红色幸运星和颗黄色幸运星，小明通过多次摸取幸运星试验后发现，摸取到红色幸运星的频率稳定在左右，若小明在盒子中随机摸取一颗幸运星，则摸到蓝色幸运星的频率为(    )

A.  B.  C.  D.

11. 若关于的方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大，那么称这样的方程为“隔根方程”例如，方程的两个根是，，则方程是“隔根方程”，若关于的方程是“隔根方程”，则的值为(    )

A.  B.  C. 或 D. 或

12. 一个不透明的袋子中有个红球，个绿球和个白球，这些球除颜外都相同从袋中随机摸出一个球，记录其颜色，然后放回大量重复该实验，发现摸到绿球的频率稳定于，则白球的个数的值可能是(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12分）

13. 在一个暗箱里放有个除颜色外其他完全相同的球，这个球中红球只有个每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回暗箱通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在，那么可以推算出大约是          ．
14. 已知关于的方程：有两个相等的实数根，则代数式的值是______．
15. 在如图所示的电路图中，当随机闭合开关，，中的两个时，能够让灯泡发光的概率为______．

16. 如图，矩形中，，，是上一点，且，是上一动点，若将沿对折后，点落在点处，则点到点的最短距离为______．

三、解答题（本大题共8小题，共72分）

17. 如图，在▱中，对角线与相交于点，点，分别为，的中点，延长至，使，连接．
    求证：≌；
    当与满足什么数量关系时，四边形是矩形？请说明理由．

18. 已知关于的一元二次方程有两个实数根，．

求实数的取值范围；

若方程的两个实数根，满足，求的值．

19. 如图所示，有一长方形的空地，长为米，宽为米，建筑商把它分成甲、乙、丙三部分，甲和乙为正方形，现计划甲建筑成住宅区，乙建成商场，丙开辟成公园．
    
    请用含的代数式表示正方形乙的边长：______米；
    若丙地的面积为平方米，请求出的值．
20. 钟南山院士谈到防护新型冠状病毒肺炎时说：“我们需要重视防护，但也不必恐慌，尽量少去人员密集的场所，出门戴口罩，在室内注意通风，勤洗手，多运动，少熬夜．”某社区为了加强社区居民对新型冠状病毒肺炎防护知识的了解，通过微信群宣传新型冠状病毒肺炎的防护知识，并鼓励社区居民在线参与作答年新型冠状病毒防治全国统一考试全国卷试卷，社区管理员随机从甲、乙两个小区各抽取名人员的答卷成绩，并对他们的成绩单位：分进行统计、分析，过程如下：
    收集数据：
    甲小区：
    乙小区：
    整理数据：

分析数据：

应用数据：
填空：______，______，______，______；
若甲小区共有人参与答卷，请估计甲小区成绩大于分的人数；
社区管理员看完统计数据，准备从成绩在到分之间的两个小区中随机抽取人进行再测试，请求出抽取的两人恰好一个是甲小区、一个是乙小区的概率．

21. 某学校利用“世界献血日”开展自愿义务献血活动，经过检测，献血者血型有“，，，”四种类型，随机抽取部分献血结果进行统计，根据结果制作了如图两幅不完整统计图表：
    血型统计表

本次随机抽取献血者人数为______ 人，图中 ______ ；
补全表中的数据；
现有个自愿献血者，人为型，人为型，人为型，若在人中随机挑选人，利用树状图或列表法求两人血型均为型的概率．

22. 如图，已知四边形是菱形，点，分别在线段，上，，，点，分别在线段，上，和相交于点，．
    求证：四边形是菱形．
    若四边形是菱形，求证：点是线段的中点．

23. 暑假期间，某商场购进一批价格为元的文化衫，根据市场预测，每件文化衫售价为元时，每周可售出件，售价每上涨元，销售量将减少件，为了维护消费者的利益，物件部门规定，该文化衫的售价不能超过进价的倍该商场为了确保这批文化衫每周的销售利润为元，每件文化衫应定价多少元？

24. 为了丰富校园文化生活，提高学生的综合素质，促进中学生全面发展，学校开展了多种社团活动．小明喜欢的社团有：合唱社团、足球社团、书法社团、科技社团分别用字母，，，依次表示这四个社团，并把这四个字母分别写在四张完全相同的不透明的卡片的正面上，然后将这四张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上．

小明从中随机抽取一张卡片是足球社团的概率是____．

小明先从中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的字母后不放回，再从剩余的卡片中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的字母．请你用列表法或画树状图法求出小明两次抽取的卡片中有一张是科技社团的概率．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：将沿直线折叠，点恰好落在对角线上的点处，
，，
，
，
，
，
，
故选：．
根据折叠的性质得到，，根据等腰三角形的性质得到，于是得到结论．
本题考查了翻折变换的性质，矩形的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：是方程的实数根，
，
，
，
，是方程的两个实数根，
，
．
故选：．
先根据一元二次方程的解的定义得到，则可化为，再根据根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，，．
 

3.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
由可得出，根据方程的系数结合根的判别式可得出，由偶次方的非负性可得出，即，由此即可得出关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
【解答】
解：，
．
．
，
，
，
关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
故选A．  

4.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了中点四边形的知识，涉及了一元二次方程的应用，三角形中位线定理，矩形的性质和勾股定理等知识．
连接、，首先根据题意列出方程并分别求出、，然后根据三角形中位线定理解答即可．
【解答】
解：如图，连接，．

设的长为，
矩形的周长为，
的长为，
矩形面积为，
，
解得：，，
则或，
，或，，
由勾股定理得：．
点，分别是、的中点，
，
同理可得：，
四边形的周长．
故选A．  

5.【答案】 

【解析】解：由统计图可知，红球出现的频率为，
则红球有：个，白球个，
根据题意列表如下：

共有种等可能的结果，其中抽到一红一白的有种情况，
抽到一红一白的概率是．
故选C．
根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出抽到一红一白的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

6.【答案】 

【解析】解：可回收物、易腐垃圾、有害垃圾和其他垃圾四大类对应的垃圾筒分别用，，，表示，垃圾分别用，，，表示．设分类打包好的两袋不同垃圾为、，
画树状图如图：
共有个等可能的结果，分类打包好的两袋不同垃圾随机投入进两个不同的垃圾桶，投放正确的结果有个，
分类打包好的两袋不同垃圾随机投入进两个不同的垃圾桶，投放正确的概率为；
故选：．
可回收物、易腐垃圾、有害垃圾和其他垃圾四大类对应的垃圾筒分别用，，，表示，垃圾分别用，，，表示．设分类打包好的两袋不同垃圾为、，画出树状图，由概率公式即可得出答案．
此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

7.【答案】 

【解析】解：画树状图为：

共有种等可能的结果数，其中，两位同学座位相邻的结果数为，
故A，两位同学座位相邻的概率是．
故选：．
画树状图展示所有种等可能的结果数，再找出，两位同学座位相邻的结果数，然后根据概率公式求解．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式求事件或的概率．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查一元二次方程的根，一元二次方程的解法．
先得出，，可得，则原方程为，即可解答．
【解答】
解：由题意可得，将，顺倒位置后的方程可化为，
整理可得．
根据题意，原方程可化为，
即，
解得，．
故选C．  

9.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了三角形的中位线定理，直角三角形斜边上的中线，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键．
根据三角形中位线定理求得长度，再利用直角三角形斜边上的中线求得长度，即可得到结论．
【解答】
解：点，分别是边，的中点，
是的中位线，
，
，
，，
，
，
故选B．  

10.【答案】 

【解析】

【分析】
考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是了解大量反复试验下频率稳定值即概率．
设袋中红色幸运星有个，根据“摸取到红色幸运星的频率稳定在左右”列出关于的方程，解之可得袋中红色幸运星的个数，再根据频率的定义求解可得．

【解答】
解：设袋中红色幸运星有个，
根据题意，得：，
解得：，
经检验：是原分式方程的解，
则袋中红色幸运星的个数为个，
若小明在盒子中随机摸取一颗幸运星，则摸到蓝色幸运星的频率为．
故选D．

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了因式分解法解一元二次方程，利用因式分解法求出一元二次方程的两个根是解题的关键．利用因式分解法解一元二次方程可得出方程的两个根分别为，，结合关于的方程是“隔根方程”，可得出关于的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出的值．
【解答】
解：，即，
，．
又关于的方程是“隔根方程”，
，
解得：或．
故选C．  

12.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了利用频率估计概率，利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率关键是根据绿球的频率得到相应的等量关系根据绿球个，摸到绿球的频率稳定于，列出算式，求出的值即可．
【解答】 
解：摸到绿球的频率稳定于，

，
．

13.【答案】 

【解析】略
 

14.【答案】 

【解析】解：关于的方程有两个相等的实数根，
，即，
，
．
故答案为：．
根据方程的系数结合根的判别式，可得出，将其代入中即可得出结论．
本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：画树状图得：

共有种等可能的结果，能够让灯泡发光的是闭合，，，，
能够让灯泡发光的概率为：，
故答案为：．
根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与能够让灯泡发光的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．
此题考查了列表法与树状图法求概率的知识．注意概率所求情况数与总情况数之比．
 

16.【答案】 

【解析】

【分析】
先根据勾股定理计算的长，当、、共线时，最小，即最短距离是此时的长．
本题考查了矩形的性质，勾股定理，翻折变换的性质，利用数形结合的思想，根据图形确定点到点的最短距离解决问题．
【解答】
解：如图，连接，，

四边形是矩形，
，
，，
，
，
，
由折叠得：，
，
当、、共线时，最小，
；
故答案为：．  

17.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，，，
，
点，分别为，的中点，
，，
，
在和中，

≌；
解：当时，四边形是矩形；理由如下：
，，
，
是的中点，
，
，
同理：，
，
，
由得：≌，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形． 

【解析】本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定、三角形中位线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
由平行四边形的性质得出，，，，由平行线的性质得出，证出，由证明≌即可；
证出，由等腰三角形的性质得出，，同理：，得出，由三角形中位线定理得出，，得出四边形是平行四边形，即可得出结论．
 

18.【答案】解：方程有两个实数根，，
，
解得；
由根与系数关系知：，，
，
，
又，代入得，，可化简为：．
解得不合题意，舍去或，
． 

【解析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，，也考查了根的判别式．
根据判别式的意义得到，然后求出不等式的解即可；
利用根与系数的关系得到，，加上，则可判断，所以，可化简为：，然后解方程求出的值．
 

19.【答案】解：；
结合得，丙的宽为，所以丙的面积为：
列方程得，
解方程得，． 

【解析】

解：因为甲和乙为正方形，结合图形可得丙的长为：米．
同样乙的边长也为米
故答案是：；
见答案．
【分析】
由甲和乙为正方形，且该地长为米，宽为米，可得出丙的长，也即乙的边长．
由已求得丙的长，再求出丙的宽，即可得出丙的面积，由此列出方程，求解即可．
本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是表示出有关的线段的长，难度不大．  

20.【答案】解：、  、、；
估计甲小区成绩大于分的人数为人；
列表如下：

由表格可知，共有种等可能结果，
其中抽取的两人恰好一个是甲小区、一个是乙小区的有种情况，
抽取的两人恰好一个是甲小区、一个是乙小区的概率为． 

【解析】

【分析】
此题考查的是用列表法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
根据样本数据可得、的值，利用众数和中位数的概念可得、的值；
用总人数乘以样本中甲小区成绩大于分的人数所占比例即可得；
列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再利用概率公式计算可得．
【解答】
解：由样本数据知的数据有个，即，的数据有个，即，
甲小区的数据中出现次数最多，因此众数是，即；
将乙小区数据重新排列为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．
则中位数，
故答案为：、、、；
见答案；
见答案．  

21.【答案】，
型献血的人数为人，
型献血的人数为人，
补全表中的数据如下表

画树状图如图所示，

共有个等可能的结果，两人血型均为型的结果有个，
两人血型均为型的概率为． 

【解析】解：这次随机抽取的献血者人数为人，
；
故答案为：，；

用型的人数除以它所占的百分比得到随机抽取的献血者的总人数，然后计算的值；
先计算出型的人数，再计算出型人数，从而可补全上表中的数据；
画出树状图，根据概率公式即可得到结果．
本题考查了列表法与树状图法以及概率公式：随机事件的概率事件可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．也考查了统计图与统计表．
 

22.【答案】证明：四边形是菱形，
，，
，，
四边形、四边形、四边形都是平行四边形，
，，
，
，
平行四边形是菱形；
由可知，，
四边形是菱形，
，
，
四边形是菱形，
，
，
点是线段的中点． 

【解析】先证四边形、四边形、四边形都是平行四边形，得，，再证，即可得出结论；
由可知，，再由菱形的性质得，，则，即可得出结论．
本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质等知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
 

23.【答案】解：设每件文化衫的定价为元，则每周的销售量为件，
依题意，得：，
解得：，．
售价不能超过进价的倍，
，
不合题意，舍去，
．
答：每件文化衫应定价为元． 

【解析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
设每件文化衫的定价为元，则每周的销售量为件，根据周销售利润每件的利润周销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之取符合题意的值即可得出结论．
 

24.【答案】解：；
列表如下：

由表可知共有种等可能结果，小明两次抽取的卡片中有一张是科技社团的结果数为种，
所以小明两次抽取的卡片中有一张是科技社团的概率为． 

【解析】

【分析】
本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式求出事件或的概率．
直接根据概率公式求解；
利用列表法展示所有种等可能性结果，再找出小明两次抽取的卡片中有一张是科技社团的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】
解：一共有张卡片，每张卡片被抽到的可能性相同，故小明从中随机抽取一张卡片是足球社团的概率为；
故答案为；
见答案．