2022-2023学年山东省东营市利津县高级中学高一下学期5月月考数学试题含解析

2022-2023学年山东省东营市利津县高级中学高一下学期5月月考数学试题

一、单选题

1．已知复数，则的虚部为（    ）

A．2 B． C． D．

【答案】C

【分析】根据复数的概念判断即可.

【详解】复数的虚部为.

故选：C

2．（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】逆用两角差的余弦公式求解即可.

【详解】，

故选：B

3．已知中，角，，所对的边分别是，，，若，且，那么是（    ）

A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形

【答案】B

【分析】将化简并结合余弦定理可得的值，再对结合正、余弦定理化简可得边长关系，进行判定三角形形状.

【详解】由，得，

整理得，则，

因为，所以，

又由及正弦定理，得，化简得，

所以为等边三角形，

故选：B

4．设平面向量，，若与的夹角为钝角，则的取值范围是（    ）

A．  B．

C．  D．

【答案】A

【解析】由两向量的夹角为钝角，则需两向量的数量积小于零，且两向量不共线可求得的取值范围.

【详解】解：∵与的夹角为钝角，

∴，且，

，且，

故选：A．

【点睛】本题考查向量的夹角为钝角的条件：两向量的数量积小于零且两向量不共线，属于基础题.

5．在中，内角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，若的面积是，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据正余弦定理及面积公式化简计算即可.

【详解】由余弦定理可得：

由条件及正弦定理可得：

，

所以，则．

故选：A

6．已知，，则的值为（     ）

A． B． C．2 D．或2

【答案】C

【解析】由同角间的三角函数关系先求得，再得，然后由两角和的正切公式可求得．

【详解】∵，∴，∴，

∴，

∴.

故选：C．

【点睛】思路点睛：本题考查三角函数的求值．考查同角间的三角函数关系，两角和的正切公式．三角函数求值时首先找到“已知角”和“未知角”之间的联系，选用恰当的公式进行化简求值．注意三角公式中“单角”与“复角”的区别与联系，它们是相对的．不同的场景充当的角色可能不一样．如题中在作为复角，但在中充当“单角”角色．

7．在中，已知分别为角的对边且 ， 若 且 ，则的周长等于（    ）

A． B．12 C． D．

【答案】D

【分析】由三角形面积求得，再由正弦定理得，可解得，然后由余弦定理解得，可得三角形周长．

【详解】由题意，，

又，由正弦定理得，联立解得，

，

所以．

故选：D．

8．已知函数在上有且只有2个零点，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】将问题转化为在上有且只有2个解，根据正弦型函数的性质求的范围.

【详解】由，令，

所以，而有，

所以在上有且只有2个解，故，故.

故选：A

二、多选题

9．下列命题不正确的是（    ）

A．若＝，则＝ B．若＝0，则＝或＝

C．若∥，∥，则∥ D．若＝，＝，则＝

【答案】ABC

【分析】两向量相等，方向相同，大小相等，据此可判断A；

两向量数量积为零，则其中一个向量为零向量或两向量垂直，据此可判断B；

零向量和任意向量共线，故如果不限制向量为非零向量，三个向量之间，向量共线不具有传递性，据此可判断C；

向量相等具有传递性，据此可判断D.

【详解】A：若＝，则与不一定相等，因为它们方向未知，故A错误；

B：若＝0，则＝或＝或，故B错误；

C：若∥，∥，则当时，无法判断与的关系，故C错误；

D：若＝，＝，则＝，故D正确.

故选：ABC.

10．下列说法正确的是（    ）

A．已知，，若，则

B．在中，若，则点是边的中点

C．已知正方形的边长为，若点满足，则

D．若共线，则

【答案】BC

【分析】根据向量共线的坐标表示可判断选项A；根据向量的线性运算可判断选项B；根据向量数量积的运算可判断选项C，举反例可判断选项D，进而可得正确选项.

【详解】对于A：，，可得，若则

，即，所以，故选项A不正确；

对于B：取的中点，则，即点与点重合，所以点是边的中点，故选项B正确；

对于C：

，故选项C正确；

对于D：当反向时不成立，故选项D不正确，

故选：BC.

11．复数，i是虚数单位，则下列结论正确的是（    ）

A．z的实部是  B．z的共轭复数为

C．z的实部与虚部之和为2 D．z在复平面内的对应点位于第一象限

【答案】ACD

【分析】根据复数的基本概念和共轭复数的概念，以及复数的几何意义，逐项判定，即可求解.

【详解】由复数，可得复数的实部为，虚部为，所以A正确；

又由共轭复数的概念，可得，所以B错误；

由复数的实部与虚部之和为，所以C正确；

由复数在复平面内对应的点位于第一象限，所以D正确.

故选：ACD.

12．已知函数，则（    ）

A．的最大值为

B．直线是图象的一条对称轴

C．在区间上单调递减

D．的图象关于点对称

【答案】ABC

【分析】利用两角和差公式、二倍角和辅助角公式可化简得到，根据余弦型函数最值可知A正确；利用代入检验法，结合余弦函数性质，依次验证BCD正误即可.

【详解】；

对于A，，A正确；

对于B，当时，，是的一条对称轴，B正确；

对于C，当时，，此时单调递减，C正确；

对于D，，不是的对称中心，D错误.

故选：ABC.

三、填空题

13．若，则tan 2＝___．

【答案】.

【分析】方法1：运用特殊角的三角函数值计算即可.

方法2：运用同角三角函数的平方关系与商式关系及二倍角公式计算即可.

【详解】方法1：∵，，

∴，

∴.

方法2：∵，

∴，

∴，

∴.

故答案为：.

14．已知复数，若是实数，则的值为__________．

【答案】0或1

【详解】，由题意得：，得或，故答案为或.

15．已知，，，则______．

【答案】

【分析】将，两边同时平方，即可求得两向量乘积，再将要求的关系式平方代入即可.

【详解】因为，，，

所以，，

则.

故答案为：.

16．求函数在区间上的最大值______．

【答案】

【详解】试题分析：∵，∵，∴，∴，∴，故填

【解析】本题考查了三角恒等变换及三角函数的最值

点评：熟练掌握三角恒等变换公式及三角函数的单调性是解决此类问题的关键．

四、解答题

17．已知复数，其中i为虚数单位，.

(1)若z是纯虚数，求m的值；

(2)z在复平面内对应的点在第二象限，求m的取值范围.

【答案】(1)；

(2)

【分析】（1）z是纯虚数需要满足实部等于0，虚部不等于0，即可求出结果；

（2）z在复平面内对应的点在第二象限，需要满足实部小于0，虚部大于0.

【详解】（1）因为z是纯虚数，

所以，

解得.

（2）因为z在复平面内对应的点在第二象限，

所以，

解得，

所以m的取值范围为.

18．已知，．

(1)求；

(2)若，且，求．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用同角三角函数的平方关系及两角差的余弦公式即可求解；

（2）根据（1）的结论及同角三角函数的平方关系，结合两角和的正弦公式及三角函数的特殊值对应特殊角注意角的范围即可求解.

【详解】（1）由，得．

，

．

（2）由，得，

由，得，                         

．

又

19．已知分别为中角的对边，函数且.

(1)求角的大小；

(2)若，求面积的最大值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）直接依据题设条件建立方程求解；

（2）借助余弦定理结合基本不等式可求解出的最大值，然后结合第（1）问中角，借助面积公式即可求解面积的最大值.

【详解】（1）由题意可得：，所以

∴，即，

，所以.

（2）由余弦定理可得：，

（当且仅当时“=”成立）.

∴，

故面积的最大值是.

20．已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.

(1)求A；

(2)若，且BC边上的高为，求a.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据正弦定理边化角，将原式化简即可求得结果.

（2）由面积公式可得，再由条件结合余弦定理即可求得结果.

【详解】（1）由正弦定理，原式可化为，

由于，

整理得.

又∵，∴，

∴，

∵，∴，

∴，即.

（2）由题意可知，由，得，

又，∴，，

由余弦定理知，

解得.

21．如图，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°，相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，求的值.

【答案】

【分析】在△CBA中根据余弦定理得，再利用正弦定理求解即可

【详解】在△CBA中，AB=40，AC=20，∠BAC=，由余弦定理得

由正弦定理得，，

22．已知函数．

(1)求函数的单调递增区间；

(2)若函数在区间上有且仅有两个零点，求实数k的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由三角恒等变换化简，再利用正弦函数的单调性即可得出答案.

（2）函数在区间上有且仅有两个零点转化为曲线与直线在区间上有且仅有两个交点，即可求实数k的取值范围.

【详解】（1）

，

令，所以，

所以函数的单调递增区间为：

（2）函数在区间上有且仅有两个零点，即曲线与直线在区间上有且仅有两个交点，由，当时，，设，则，且，

若要使曲线与直线区间上有且仅有两个交点，

则.