2022-2023学年广东省东莞市东莞实验中学高一下学期3月月考数学试题含解析

2022-2023学年广东省东莞市东莞实验中学高一下学期3月月考数学试题

一、单选题

1．已知向量，若，则x的值为（    ）

A．－2 B．－1 C．1 D．2

【答案】D

【分析】根据题意可得，进而求出x的值.

【详解】因为，所以，

即，解得，

故选：D.

2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则角C＝（　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用余弦定理求出的值，结合角的取值范围可求得角的值．

【详解】由余弦定理可得，

，．

故选：．

3．已知向量，的夹角为，且，，则（    ）

A．1 B． C．2 D．

【答案】A

【分析】将平方开根号，结合数量积的运算律即可得解.

【详解】解：．

故答案为：A.

4．已知角的顶点与坐标原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，且满足，，则（    ）

A．为第一象限角 B．为第二象限角 C．为第三象限角 D．为第四象限角

【答案】B

【分析】根据给定条件，由，分别确定角的终边位置，再求其公共部分作答.

【详解】依题意，由，得角的终边在x轴上方，由，得角的终边在y轴左侧，

所以角的终边在第二象限，即为第二象限角.

故选：B

5．在△ABC中，若三边之比，则等于（    ）

A． B． C．2 D．－2

【答案】B

【分析】根据正弦定理将角化边，再结合已知条件，即可求得结果.

【详解】根据正弦定理可得.

故选：B.

6．在平行四边形ABCD中，E是对角线AC上靠近点C的三等分点，点F在BE上，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据平面向量三点共线定理和平面向量基本定理，由对应系数相等列方程求解即可.

【详解】由题可知，

∵点F在BE上，

∴，

∴．

∴，．

∴．

故选：C．

7．在中，角A、、所对的边分别为、、，且若，则的形状是（    ）

A．等腰且非等边三角形 B．直角三角形

C．等边三角形 D．等腰直角三角形

【答案】C

【分析】由余弦定理求得，由正弦定理化边为角得，代入另一已知得，从而得三角形形状．

【详解】∵，所以，又，∴，

∵，∴，

，，∴，从而，为等边三角形，

故选：C．

8．如图，在中，，则（    ）

A．9 B．18 C．6 D．12

【答案】D

【分析】由可得，则，代入化简即可得出答案.

【详解】由可得：，

所以，所以，

，

因为，

所以.

故选：D.

二、多选题

9．下列说法正确的有（    ）

A．已知，，若与共线，则

B．若，，则

C．若，则一定不与共线

D．若，，为锐角，则实数的范围是

【答案】AD

【分析】根据向量共线的性质可直接判断ABC选项，再根据向量数量积与夹角的关系可判断选项D.

【详解】A选项：，，若与共线，则，，A选项正确；

B选项：当时，，，但不一定成立，B选项错误；

C选项：，无法确定两个向量的方向，两个向量可能共线，C选项错误；

D选项：，，若为锐角，则，解得，D选项正确；

故选：AD.

10．在中，若，则a的值可以为（    ）

A． B． C．· D．

【答案】AB

【分析】根据余弦定理，直接计算求值.

【详解】根据，得，

即，解得：或.

故选：AB

11．在中，已知，下列结论中正确的是（    ）

A．这个三角形被唯一确定 B．一定是钝角三角形

C． D．若，则的面积是

【答案】BC

【分析】设，然后结合正弦定理，余弦定理分别对选项进行判断，即可得到结果.

【详解】依题意可设，则

对于A，当取不同的值时，三角形显然不同，故A错误；

对于B，因为，

所以，则三角形为钝角三角形，故B正确；

对于C，由正弦定理可知，，故C正确；

对于D，因为，即，即，

又因为，所以

则，故D错误.

故选:BC.

12．如图放置的边长为1的正方形的顶点，分别在轴的正半轴、轴的非负半轴上滑动，则的值可能是（    ）

A． B． C． D．

【答案】AC

【分析】设，由边长为1的正方形的顶点，分别在轴的正半轴、轴的非负半轴上滑动，可得出的坐标，由此可表示出两个向量，算出它们的内积即可.

【详解】设，因为，所以，

，，

故，，

所以．

同理可得，所以，

所以．

因为，所以，则，故的值可能是，2．

故选：

三、填空题

13．已知为锐角，且，则的值为__________.

【答案】/

【分析】根据同角三角函数的基本关系和诱导公式求解.

【详解】因为为锐角，且，所以，

所以，

故答案为: .

14．如图，在中，，，为的中点，则_____________．

【答案】

【分析】，据此可得答案.

【详解】.

则.

故答案为：

15．在一座高的观测台顶测得对面水塔塔顶的仰角为，塔底俯角为，则这座水塔的高度是__________．

【答案】

【分析】由已知条件得到，，在直角三角形中，用勾股定理求出CM的边长，再求出CD的值即可．

【详解】如图所示，AB为观测台，CD为水塔，AM为水平线，依题意得：，，

，∴，，，∴m．

故答案为：m．

16．如图所示，扇形中，，点在上运动（包括端点、），且满足，则的最大值是______.

【答案】/

【分析】考虑点与点或重合时和点与点，都不重合，对于点与点，都不重合时，作出辅助线，由正弦定理得到，，从而得到，求出最大值.

【详解】当点与点或重合时，易得，

当点与点，都不重合时，分别作，，如图所示，

设，设扇形的半径为，

则，

在三角形AEM中，由正弦定理得：，

则，，

所以，

故，

当时，取得最大值，

综上，的最大值是.

故答案为：

四、解答题

17．已知函数．

(1)写出的最小正周期；

(2)求的最小值，并求取得最小值时自变量的集合．

【答案】(1)

(2)最小值为，自变量的集合为

【分析】（1）利用求周期的公式求解；

（2）利用正弦型函数的性质可求最值及自变量的集合.

【详解】（1）∵函数，

∴的最小正周期为．

（2）对于函数，

当，时，即当时，时，取得最小值为．

所以函数取得最小值时自变量的集合为．

18．已知向量，．

(1)求与的坐标；

(2)求向量，的夹角的余弦值．

【答案】(1)，．

(2)

【分析】（1）利用平面向量线性运算的坐标表示运算；

（2）利用平面向量夹角的坐标表示运算.

【详解】（1），．

（2），，，

,．

19．在锐角中，的对边分别为，且

(1)确定角的大小；

(2)若，且，求边.

【答案】(1)

(2)或

【分析】(1)直接由正弦定理可得，从而可得答案.

(2)由余弦定理可得，再由可求答案.

【详解】（1）由及正弦定理得

因为，故

又锐角，所以.

（2）由余弦定理，

，得

解得:或.

20．如图，已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，求：

(1)的值；

(2)的最大值．

【答案】(1)1

(2)1

【分析】（1）依题意建立平面直角坐标系，从而可得到，，的坐标，再设，，进而可得到，，最后利用数量积的坐标运算即可求得的值；

（2）结合（1）可得，，从而得到，再根据的取值范围即可求得的最大值．

【详解】（1）依题意建立如图所示平面直角坐标系，

则，，，

设，，

所以，，

所以．

（2）因为，，

所以，

因为，

所以的最大值是1．

21．某海轮以30海里/小时的速度航行，在点A测得海上面油井P在南偏东，向北航行40分钟后到达B点，测得油井P在南偏东，海轮改为北偏东的航向再航行40分钟到达C点．

（1）求P，C间的距离；

（2）求在点C测得油井P的位置？

【答案】（1）40海里；（2）P在C的正南40海里处．

【分析】（1）由正弦定理求，再在直角△中求即可.

（2）由求，易知，结合（1）的结果，即知在点C测得油井P的位置.

【详解】（1）如图，在△中，，

由正弦定理：，解得，

在△中，，又，故．

答：P，C间的距离为40海里．

（2）在△中，，

∴，即，又，

∴，即在点C测得油井P在C的正南40海里处．

22．在锐角三角形中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，为在方向上的投影向量，且满足.

(1)求的值；

(2)若，，求的周长.

【答案】(1)

(2)

【分析】利用正弦定理，边化角，结合同角三角函数的平方式，建立方程，可得答案.

【详解】（1）由为在方向上的投影向量，则，即，

根据正弦定理，，

在锐角中，，则，即，

由，则，整理可得，解得.

（2）由，根据正弦定理，可得，

在中，，则，，，

由（1）可知，，则，

由，则，解得，，

根据正弦定理，可得，则，，

故的周长.