2022-2023学年河南省新乡市原阳县第三高级中学高一下学期第一次月考测试数学试卷含答案

  高一第一次月考测试卷

数    学

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

1．已知，则（    ）

A． B．1 C． D．

2．若,|,的夹角为,则等于(   ).

A． B．

C． D．

3．已知平面向量，若，则（    ）

A． B． C．2 D．

4．已知，若与的夹角为，则在上的投影向量为（    ）

A． B． C． D．

5．已知角α的顶点与直角坐标系原点重合,始边与x轴非负半轴重合,其终边上有一点),且,若,则α=（    ）

A．θ B．  C． D．

6．已知，则（    ）

A．  B． C．  D．

7．在平行四边形ABCD中，，，则（    ）

A． B．

C． D．

8．如图，A，B是函数图像上的两个最高点，点是图像上的一个对称中心，若为直角三角形，则（    ）

A． B． C． D．

二、选择题：本题共有4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有错的得0分.

9．关于平面向量，有下列四个命题，其中说法正确的是（    ）

A．若，则

B．，若与平行，则

C．非零向量和满足，则与的夹角为

D．点，与向量同方向的单位向量为

10．下列各式中，值为的是（    ）

A． B．

C． D．

11．为了得到函数的图象，只需将函数的图象（    ）

A．所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的图象向右平移个单位长度

B．所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移个单位长度

C．向右平移个单位长度，再把得到的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变

D．向左平移个单位长度，再把得到的图象上所有点的横坐标摍短到原来的，纵坐标不变

12．关于函数，下列叙述正确的是（    ）

A．其图像关于直线对称

B．其图像可由图像上所有点的横坐标变为原来的得到

C．其图像关于点对称

D．其值域是

三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分

13．写出使“函数为奇函数”的的一个取值______．

14．已知平面向量，，若与共线，则______ .

15．已知向量，满足，，，则_________.

16．一扇中式实木仿古正方形花窗如图1所示，该窗有两个正方形，将这两个正方形（它们有共同的对称中心与对称轴）单独拿出来放置于同一平面，如图2所示.已知分米，3分米，点在正方形的四条边上运动，当取得最大值时，与夹角的正切值为______.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤

17．（10分）

已知，为第二象限角．

(1)求的值；

(2)求的值．

18．（12分）

已知.

(1)当k为何值时，与共线?

(2)若且A，B，C三点共线，求m的值.

19．（12分）

已知函数，.

（1）求的值；

（2）求函数的最小正周期；

（3）当时，求函数的值域.

20．（12分）

已知tanα<0，

（1）若求的值;

（2）若求tanα的值.

21．（12分）

在中，点，分别在边和边上，且，，交于点，设，.

(1)若，试用，和实数表示；

(2)试用，表示；

(3)在边上有点，使得，求证：，，三点共线.

22．（12分）

设向量，，，函数，将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，已知的最小正周期为.

（1）求取得最大值时，的取值集合；

（2）令函数，对任意实数，恒有，求实数的取值范围.

参考答案：

1．B

【分析】利用同角三角函数的基本关系式即可求得结果．

【详解】，故选：B．

2．B

【详解】因为，的夹角为，所以.

故选:B.

3．A

【分析】根据向量共线得，则.

【详解】，，显然，，故选：A.

4．B

【分析】先计算，再根据投影向量公式即可计算.

【详解】

在上的投影向量为故选：B

5．D

【分析】根据点在角α终边上,利用正弦函数余弦函数的定义,写出其等式,将代入进行化简,即可求得结果.

【详解】解:因为,所以,因为点在角α终边上,

所以,

,因为,所以.故选:D

6．D

【分析】，代入数据计算得到答案.

【详解】

.故选：D

7．C

【分析】设，，将，，都用，表示，设，解出

m，n.

【详解】

设，，

因为，所以，

因为，所以，

设，则，

，解得，，即.

故选：C.

8．B

【分析】由题意得，，设的最小正周期为，分别用表示出，，，由勾股定理解出，进一步求出，又因为点在图像上，代入即可求出.

【详解】由题意得，.

设的最小正周期为，所以，，，所以，即，所以.

因为，所以，即，又，所以  .故选：B.

9．BCD

【分析】根据向量的数量积、平行、几何意义、单位向量这些知识对每一个选项进行判断即可.

【详解】对于A，若且，可满足条件，但，故A不正确；

对于B，由条件，若这两向量平行，有，解得，故B正确；

对于C，由条件可知，以向量和为边对应的四边形为一个角是的菱形，则与的夹角为，故C正确；

对于D，可得，因此与同方向的单位向量为，故D正确.  故选：BCD.

10．BC

【分析】根据正弦函数、余弦函数和正切函数的倍角公式，准确化简，即可求解.

【详解】由余弦的倍角公式，可得，所以A不正确；

由正切的倍角公式，可得，所以B正确；由正弦的倍角公式，可得，所以C正确；

由，所以D不正确.   故选：BC.

11．AC

【分析】根据三角函数的图象变换规律逐个分析可得答案.

【详解】将图象上所有点的横坐标缩短到原来的，得到，纵坐标不变，再把得到的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，A正确；将的图象向右平移个单位长度，得到，再把得到的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，C正确.   故选：AC

12．BD

【分析】根据正弦函数的性质逐一判断即可.

【详解】对于A，因为，

所以直线不是函数图象的对称轴，故A错误；

对于B，函数的图象上所有点的横坐标变为原来的，

可得，故B正确；

对于C，因为，

所以函数的图象关于点对称，故C错误；

对于D，因为，

所以，故D正确.

故选：BD.

13．（答案不唯一）

【分析】根据三角函数的性质得出，从而得出的一个取值.

【详解】因为函数为奇函数，所以.

即的一个取值为.

故答案为：（答案不唯一）

13．或1.5

【分析】确定，根据平行得到，解得答案.

【详解】，，则，

，故，解得  故答案为：

15．

【分析】根据模长公式及向量的数量积公式求解即可.

【详解】由可得，，即，解得：，

所以．  故答案为：．

16．或0.5

【分析】以为坐标原点，建立平面直角坐标系，分类讨论点的位置，根据平面向量数量积的坐标表示可求出结果.

【详解】以为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，则，，.

，，

设，， ，

当时，， ，当且仅当时等号成立，

当时，， ，当且仅当时等号成立，

当时，， ，当且仅当时等号成立，

当时，， ，当且仅当时等号成立，

由以上可知，当时，取得最大值，此时，，

设与的夹角为，则，

所以，.   故答案为：

17．(1)   (2)

【分析】（1）根据同角三角函数结合已知得出，即可根据二倍角的正弦公式代入数值得出答案；

（2）根据两角和差的余弦公式代入数值得出答案.

【详解】（1），为第二象限角，

，

则；

（2）.

18．(1)  (2)

【分析】(1)根据向量共线坐标表示即可求；

(2)三点共线可转化为向量共线，再根据向量共线坐标表示即可求.

【详解】（1）

因为与共线，

所以解得.

故当时，与共线.

（2）因为A，B，C三点共线，与不共线，

所以存在实数λ，使得

即，

整理得

所以，解得.故的值为.

19．（1）；（2）；（3）.

【解析】（1）本题将代入中进行计算即可得出结果；

（2）本题首先可通过两角和的正弦公式将函数转化为，然后通过周期计算公式即可得出结果；

（3）本题首先可根据得出，然后通过正弦函数性质即可求出值域.

【详解】（1），即.

（2），

故的最小正周期.

（3）因为，所以，

当，即时，；

当，即时，，

故在上的值域为.

20．（1）；（2）或．

【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系求得的值，可得的值，再利用诱导公式求得要求式子的值．

（2）利用同角三角函数的基本关系求得，由此求得的值．

【详解】（1），，为第四象限角，，，

．

（2），，，或．

【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系，诱导公式，属于基础题．

21．(1)   (2)

(3)证明见解析

【分析】(1)根据向量加减法运算即可;

(2)根据向量的数量关系及向量加减法表示;

(3)应用向量共线且有公共点证明即可.

【详解】（1）由题意，所以，

①

（2）设，由，，

②

由①、②得，，

所以，解得，所以；

（3）由，得，所以，

所以，因为与有公共点，所以，，三点共线.

22．（1）；（2）.

【分析】（1）先根据三角恒等变换的公式化简，然后根据图象平移求解出的解析式，最后采用整体替换的方法求解出取最大值时的取值集合；

（2）根据已知条件将问题转化为“对恒成立”，由此采用换元法求解出，则结果可求.

【详解】解：（1）根据已知得到

，

将的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象.

则，

由的最小正周期为，得，.

由，得，.

故当取最大值时，的取值集合为.

（2）由（1）得，

所以.

根据对任意恒成立，可得对任意恒成立.

令，，

因为，所以，

易得当时，函数取得最大值，

所以，故实数的取值范围为.