2022-2023学年江西省新余市第一中学高一下学期第二次月考数学试题含答案

  江西省新余市第一中学2022-2023学年高一下学期第二次月考数学试题

第I卷（选择题）

一、单选题

1. 设复数z满足，则在复平面内对应的点在第几象限（    ）

A. 一 B. 二 C. 三 D. 四

2. 设m，n是不同的直线，是不同的平面，则下列命题正确的是（    ）

A. ，则 B. ，则

C. ，则 D. ，则

3. 已知，若与的夹角为120°，则在上的投影向量为（    ）

A.  B.  C.  D.

4. 设，，，则a，b，c大小关系是（    ）

A.  B.

C.  D.

5. 已知向量，的夹角为60°，且，则（    ）

A.  B.

C.  D.

6. 上、下底面均为等边三角形三棱台的所有顶点都在同一球面上，若三棱台的高为，上、下底面边长分别为，，则该球的体积为（    ）

A.  B.  C.  D.

7. 锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，C，若，则sinA的取值范围是（    ）

A.   B.  C.  D.

8. 在中，角A，B，C所对边分别记为a，b，c，若，，则面积最大值是（    ）

A.  B. 2 C.  D.

二、多选题

9. 下列命题正确的是（    ）

A. 设是非零向量，则

B. 若，复数，则

C. 设是非零向量，若，则

D. 设，是复数，若，则

10. 若函数，则（    ）

A. 函数的一条对称轴为

B. 函数的一个对称中心为

C. 函数的最小正周期为

D. 若函数，则的最大值为2

11. 如图，的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，D是外一点，，，则下列说法正确的是（    ）

A. 是等边三角形

B. 若，则A，B，C，D四点共圆

C. 四边形ABCD面积最小值为

D. 四边形ABCD面积最大值为

12. 如图，在矩形AEFC中，，EF=4，BEF中点，现分别沿AB、BC将△ABE、△BCF翻折，使点E、F重合，记为点P，翻折后得到三棱锥P-ABC，则（    ）

A. 三棱锥的体积为 B. 直线PA与直线BC所成角的余弦值为

C. 直线PA与平面PBC所成角的正弦值为 D. 三棱锥外接球的半径为

第II卷（非选择题）

三、填空题

13. 若是关于的实系数一元二次方程的一个根，则该方程可以是______.

14. 如图，正方体的棱长为2，E是侧棱的中点，则平面截正方体所得的截面图形的周长是________.

15. 已知的内角对应的边分别是，内角的角平分线交边于点，且.若，则面积的最小值是______.

16. 已知向量，满足，且，若向量满足，则的取值范围为________.

四、解答题

17. 已知锐角的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量，，且．

（1）求角C的值；

（2）若，求周长的取值范围．

18. 已知四棱锥中，底面为直角梯形，平面，，，，，为中点，过，，的平面截四棱锥所得的截面为．

（1）若与棱交于点，画出截面，保留作图痕迹（不用说明理由），并证明．

（2）求多面体的体积．

19. 如图，在中，D是线段上的点，且，O是线段的中点延长交于E点，设．

（1）求的值；

（2）若为边长等于2的正三角形，求的值．

20. 如图，在直三棱柱中，，D为的中点，为上一点，且．

（1）证明：∥平面；

（2）若，，求点到平面的距离．

21. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若.

（1）求；

（2）若，，求的面积的最大值.

22. 已知函数的最大值为1．

（1）求实数a的值；

（2）将图象上所有点向右平移个单位，再将图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到的图象，若在上有两个不同的解，求实数m的取值范围．

江西省新余市第一中学2022-2023学年高一下学期第二次月考数学试题

第I卷（选择题）

一、单选题

1. 设复数z满足，则在复平面内对应的点在第几象限（    ）

A. 一 B. 二 C. 三 D. 四

【答案】D

2. 设m，n是不同的直线，是不同的平面，则下列命题正确的是（    ）

A. ，则 B. ，则

C. ，则 D. ，则

【答案】D

3. 已知，若与的夹角为120°，则在上的投影向量为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

4. 设，，，则a，b，c的大小关系是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

5. 已知向量，的夹角为60°，且，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

6. 上、下底面均为等边三角形的三棱台的所有顶点都在同一球面上，若三棱台的高为，上、下底面边长分别为，，则该球的体积为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

7. 锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，C，若，则sinA的取值范围是（    ）

A.   B.  C.  D.

【答案】C

8. 在中，角A，B，C所对边分别记为a，b，c，若，，则面积的最大值是（    ）

A.  B. 2 C.  D.

【答案】C

二、多选题

9. 下列命题正确的是（    ）

A. 设是非零向量，则

B. 若，是复数，则

C. 设是非零向量，若，则

D. 设，是复数，若，则

【答案】BC

10. 若函数，则（    ）

A. 函数的一条对称轴为

B. 函数的一个对称中心为

C. 函数的最小正周期为

D. 若函数，则的最大值为2

【答案】ACD

11. 如图，的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，D是外一点，，，则下列说法正确的是（    ）

A. 是等边三角形

B. 若，则A，B，C，D四点共圆

C. 四边形ABCD面积最小值为

D. 四边形ABCD面积最大值为

【答案】AD

12. 如图，在矩形AEFC中，，EF=4，B为EF中点，现分别沿AB、BC将△ABE、△BCF翻折，使点E、F重合，记为点P，翻折后得到三棱锥P-ABC，则（    ）

A. 三棱锥的体积为 B. 直线PA与直线BC所成角的余弦值为

C. 直线PA与平面PBC所成角的正弦值为 D. 三棱锥外接球的半径为

【答案】BD

第II卷（非选择题）

三、填空题

13. 若是关于的实系数一元二次方程的一个根，则该方程可以是______.

【答案】

14. 如图，正方体的棱长为2，E是侧棱的中点，则平面截正方体所得的截面图形的周长是________.

【答案】

15. 已知的内角对应的边分别是，内角的角平分线交边于点，且.若，则面积的最小值是______.

【答案】

16. 已知向量，满足，且，若向量满足，则的取值范围为________.

【答案】

四、解答题

17. 已知锐角的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量，，且．

（1）求角C的值；

（2）若，求周长的取值范围．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用向量垂直的坐标表示得，应用正余弦定理的边角关系化简，结合锐角三角形求角C；

（2）法一：将用的三角函数表示出来，结合求周长范围；法二：首先得到，再用表示周长，利用函数的单调性求范围.

【小问1详解】

，

（法一），，，

∴，则，又为锐角三角形，故.

（法二）则，，

∴，且为锐角三角形，故.

【小问2详解】

，，

由于为锐角三角形，则，且，解得，

（法一）周长

，而，即，

∴，故的周长l的取值范围为．

（法二）由上，由余弦定理得，

周长，

记，则在单调递增，

∴的周长l的取值范围为．

18. 已知四棱锥中，底面为直角梯形，平面，，，，，为中点，过，，的平面截四棱锥所得的截面为．

（1）若与棱交于点，画出截面，保留作图痕迹（不用说明理由），并证明．

（2）求多面体的体积．

【答案】（1）答案见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）延长，连接交于，连接，可得截面；过作交于，通过证明，可得；

（2）由（1）可得，后由题目条件可得答案.

【小问1详解】

延长，连接交于，连接，如图，四边形为截面.

中，，由，则为中点，为中点．

过作交于，则.

,.，即．

【小问2详解】

.

由题意及（1）可得，.

则；

又可得，点F到平面BEC距离为，

则.

则．

19. 如图，在中，D是线段上的点，且，O是线段的中点延长交于E点，设．

（1）求的值；

（2）若为边长等于2的正三角形，求的值．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据图形，利用向量的线性运算，化简求值；

（2）法一，根据平面向量基本定理的推论，确定，再以向量为基底，表示向量，利用数量积公式，即可求解；法二，首先设，以向量为基底，表示与，利用向量平行求，再利用数量积公式求的值.

【小问1详解】

因为O为的中点，，

又，故

【小问2详解】

法一，设，因为O为的中点，，

∴

∵B，O，E三点共线，所以，得

故

因为为边长为2的正三角形

故

（法二）设

又由（1）知与为非零的共线向量.

与为非零的共线向量，所以，得

∴

因为为边长为2的正三角形

故

.

20. 如图，在直三棱柱中，，D为的中点，为上一点，且．

（1）证明：∥平面；

（2）若，，求点到平面的距离．

【答案】（1）证明见解析；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）如图，连接交于点，连接，证明，原题即得证；

（2）由题知点到平面的距离等于点到平面的距离的一半，过作，垂足为，连接，过作，垂足为，先证明平面，即线段为点到平面的距离，再求出即得解.

【小问1详解】

如图，连接交于点，连接，

因为四边形为矩形，且为的中点，所以，

又因为，所以，所以，

因为平面，平面，所以平面．

【小问2详解】

由题知点到平面距离等于点到平面的距离的一半，

过作，垂足为，连接，过作，垂足为，

因为平面，平面，所以，

又因为，平面，平面，

所以平面，

因为平面，所以.

又平面，，

所以平面，即线段为点到平面的距离．

因为，，，所以，

由几何关系可知，

所以，，

由几何关系可知，

所以，故点到距离为．

21. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若.

（1）求；

（2）若，，求的面积的最大值.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用三角形内角和，正弦定理即可求出角；

（2）利用向量加法，余弦定理和基本不等式求出的取值范围，即可得到的面积的最大值.

【小问1详解】

由题意，

在中，，

∵，

∴,即，

∴，

∵，

∴，可得，解得：.

【小问2详解】

由题意及（1）得

在中，，，，

∴为边的中点，

∴,

∴，即，

设，，则，

所以，当且仅当时，等号成立.

∴，当且仅当时，等号成立，

∴的面积的最大值为.

22. 已知函数的最大值为1．

（1）求实数a的值；

（2）将图象上所有点向右平移个单位，再将图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到的图象，若在上有两个不同的解，求实数m的取值范围．

【答案】（1）0    （2）

【解析】

【分析】（1）利用三角函数恒等变换化简，结合函数的最大值即可求得答案；

（2）根据三角函数图像的平移以及伸缩变换规律，可得的解析式，将在上有两个不同的解，转化为在上有两个不同的解，数形结合，结合正弦函数性质，即可求得答案.

【小问1详解】

函数

,

由于函数的最大值为1,故.

【小问2详解】

由题意可得，

故，

则在上有两个不同的解，

即相当于即在上有两个不同的解，

此时，

令 ，作出函数的图象，如图：

结合图象可知.