2022-2023学年山东省滨州市部分校高一下学期5月月考数学试题含答案

  试卷类型：A

2022~2023学年5月联合质量测评试题

高一数学

2023.5

考试用时120分钟，满分150分

注意事项：

1．答题前，考生先将自己的学校、班级、姓名、考号、座号填涂在相应位置．

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．

3．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回．

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．某学校高一年级学生中对数学非常喜欢、比较喜欢和一般喜欢的人数分别为600、300、100，为了了解数学兴趣对数学成绩的影响，现通过分层抽样的方法抽取容量为的样本进行调查，其中非常喜欢的有18人，则的值是（    ）

A．20    B．30    C．40    D．50

2．已知分别为三个内角的对边，若，则满足此条件的三角形个数为（    ）

A．0    B．1    C．2    D．1或2

3．设表示不同的点，表示不同的直线，表示不同的平面，下列说法正确的是（    ）

A．若，则    B．若，则

C．若，则    D．若，则

4．已知向量的夹角为，且，则（    ）

A．    B．    C．    D．

5．在中，角的对边分别为，已知，则的外接圆面积为（    ）

A．    B．    C．     D．

6．如图，在长方体中，，且为的中点，则直线与所成角的大小为（    ）

A．    B．    C．    D．

7．已知分别为三个内角的对边，且满足，则的形状为（    ）

A．等腰三角形    B．直角三角形    C．等边三角形    D．等腰直角三角形

8．已知梯形，且为平面内一点，则的最小值是（    ）

A．    B．    C．    D．2

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．已知复数，其中为虚数单位，则（    ）

A．的虚部是

B．

C．若复数满足，则的最大值是

D．若是关于的实系数方程的一个复数根，则

10．已知向量，设的夹角为，则（    ）

A．     B．     C．     D．

11．在中，内角所对的边分别为，已知，则（    ）

A．

B．若是底边为的等腰三角形，为其内心，则

C．若，则的周长为15

D．若，则

12．传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球（与圆柱的两底面及侧面都相切的球），阿基米德认为这个“圆柱容球”是他最为得意的发现，在他的著作《论圆和圆柱》中，证明了数学史上著名的圆柱容球定理：圆柱的内切球的体积与圆柱的体积之比等于它们的表面积之比．亦可证明该定理推广到圆锥容球也正确，即圆锥的内切球（与圆锥的底面及侧面都相切的球）的体积与圆锥体积之比等于它们的表面积之比．若已知该比值为的圆锥，其母线长为，底面半径为，轴截面如图所示，则（    ）

A．若，则

B．圆锥的母线与底面所成角的正弦值为

C．用过顶点的平面去截圆锥，则所得的截面图形可以为直角三角形

D．若一只小蚂蚁从点出发，沿着圆锥的侧面爬行一周到达点，则爬行最短距离为

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．其中16题第一空2分，第二空3分．

13．已知一组数据1，2，，4，5的平均数为3，则这组数据的方差为__________．

14．已知外接圆的圆心为，且是与方向相同的单位向量，则在上的投影向量为__________．

15．直三棱柱的底面的直观图如图所示，其中，且，则直三棱柱外接球的表面积为__________．

16．在中，为的中点，的平分线分别交于点，且，，则__________；__________．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分10分）（1）已知复数．若为纯虚数，求的值；

（2）已知复数，若满足，求的值．

18．（本小题满分12分）某高校为了对该校研究生的思想道德进行教育指导，对该校120名研究生进行考试，并将考试的分值（百分制）按照分成6组，制成如图所示的频率分布直方图．已知，分值在的人数为15．

（1）求图中的值；

（2）若思想道德分值的平均数、中位数均超过75分，则认为该校研究生思想道德良好，试判断该校研究生的思想道德是否良好．

19．（本小题满分12分）如图，在四棱台中，底面是正方形，侧面底面是正三角形，是底面的中心，是线段上的点．

（1）当平面时，求证：平面；

（2）求二面角的余弦值．

20．（本小题满分12分）已知半圆圆心为，直径为半圆弧上靠近点的三等分点，以为邻边作平行四边形，且，如图所示，设

（1）若，求的值；

（2）在线段上是否存在一点，使得?若存在，确定点的位置，并求；若不存在，请说明理由．

21．（本小题满分12分）今年“五一”假期，“进淄赶烤”成为最火旅游路线，全国各地游客纷纷涌向淄博，感受疫情后第一个最具人间烟火气的假期．某地为了吸引各地游客，也开始动工兴建集就餐娱乐于一体的休闲区如图，在的长均为60米的区域内，拟修建娱乐区、就餐区、儿童乐园区，其中为了保证游客能及时就餐，设定就餐区域中．

（1）为了增加区域的美感，将在各区域分隔段与处加装灯带，若，则灯带总长为多少米？

（2）就餐区域的面积最小值为多少平方米？

22．（本小题满分12分）如图①，在梯形中，，，，将沿边翻折至，使得，如图②，过点作一平面与垂直，分别交于点．

（1）求证：平面；

（2）求点到平面的距离．

2022-2023学年五月联合质量测评试题

高一数学参考答案及评分标准

一．单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．

二．多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．

三．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题，第一空2分，第二空3分．

13．2    14．    15．    16．

四．解答题：本题共6小题，共70分．

17．（本小题满分10分）

【解析】

答案：（1）

（2）或

（1）因为是纯虚数，所以，            2分

解得，                4分

所以．                5分

（2）因为，所以．            6分

．                8分

所以，                9分

解得或                10分

18．（本小题满分12分）

【解析】

（1）因为分值在的人数为15人

所以的频率为0.125，所以．            2分

因为，

又                4分

所以，

解得                5分

（2）这组数据的平均数为，        8分

这组数据的中位数满足

解得，                11分

所以该学校研究生思想道德良好．                12分

19．（本小题满分12分）

【解析】

（1）证明：连接平面平面，平面平面，

，                    1分

又∵在中，是的中点，是的中点，                2分

∵底面是正方形，，又∵平面平面，平面平面平面，平面，                4分

平面是正三角形，平面，

平面．                6分

（2）取的中点分别为，连接，

是正三角形，，                7分

∵平面平面，平面平面，

平面平面，                8分

平面，又平面，

平面，                9分

平面，

则即为所求二面角的平面角，                10分

设，则，在直角三角形中，，

，                    11分

即所求二面角的余弦值为．            12分

20．（本小题满分12分）

【解析】法一：（1）因为半圆弧上靠近点的三等分点，

                1分

又因，则为正三角形且平行四边形为菱形                2分

为线段靠近的三等分点                3分

因，令

                5分

，则                6分

（2）存在点，使得                7分

令因平行四边形为菱形，所以            8分

            9分

                    10分

则为线段靠近的四等分点                11分

且                12分

法二：如图，以为原点，以所在直线为轴建立平面直角坐标系

因为半圆弧上靠近点的三等分点，

且为正三角形、平行四边形为菱形            1分

                    2分

为线段靠近的三等分点

，故                3分

                4分

                5分

                    6分

（2）存在点，使得                7分

令

            9分

                10分

则为线段靠近的四等分点                11分

且                12分

21．（本小题满分12分）

【解析】为等度角形，且顶角为，所以            1分

（1）在中，由，则，

由正弦定理，即

                    2分

同理，在中，则，

由正弦定理可得                4分

所以灯带总长为米                5分

（2）设，则

由正弦定理可            7分

                8分

                9分

∴当即时，                10分

面积最小为                11分

所以就餐区域面积最小值为平方米                12分

22．（本小题满分12分）

【解析】

（1）证明：如图①，，，            l分

如图②，因为，

，                2分

，且平面，

平面，                4分

又平面平面，且平面，

又，且平面平面．            6分

（2）方法一：过点作，垂足为，由（1）知平面，

而平面

                7分

且平面平面

则垂线段的长度即为点到平面的距离．                8分

在中，，

                9分

由已知得，则，                10分

由（1）知，                11分

即点到平面的距离为．                12分

方法二：求点到平面的距离，即求点到平面的距离，

由（1）知平面平面，                7分

在直角三角形中，，

由等面积得，，

即，                8分

平面，且平面，

由（1）知，

则在直角三角形中，，                9分

设点到平面的距离为，

在三棱锥中，由等体积得，，

即                10分

，

，                11分

即点到平面的距离为．                12分