2022-2023学年山东省威海市乳山市银滩高级中学高一下学期4月月考数学试题含解析

2022-2023学年山东省威海市乳山市银滩高级中学高一下学期4月月考数学试题

一、单选题

1．如果点P(sinθ＋cosθ，sinθcosθ)位于第二象限，那么角θ的终边在（    ）

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

【答案】C

【分析】由已知条件可得sinθ＋cosθ＜0，且sinθcosθ＞0，从而可得，由此得θ为第三象限角

【详解】解：由题意知sinθ＋cosθ＜0，且sinθcosθ＞0，

∴，

∴θ为第三象限角.

故选：C

【点睛】此题考查由三角函数的符号确定角所在的象限，属于基础题.

2．与函数的图象不相交的一条直线是(　　)

A．x＝ B．x＝－

C．x＝ D．x＝

【答案】D

【详解】当时，，而的正切值不存在，所以直线与函数的图象不相交

故选

3．若向量，，，且∥，则在上的投影向量为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由∥得的坐标，再根据投影向量的概念即可得出结果.

【详解】∵∥，∴，即，

在上的投影向量为：，

故选:A

4．如图所示，已知在中，，，交于点，若，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】设，利用向量加法的三角形法则以及减法的几何意义可得，从而可得，再根据三点共线，可得，解得，即可求出

【详解】设，

，，

，

，

三点共线，，解得，

，，

.

故选：B

【点睛】本题考查了向量加法、减法以及向量共线定理的推论，考查了学生基本知识的应用能力，属于基础题.

5．（    ）

A． B．1 C． D．

【答案】B

【分析】利用和角的正切公式得到，代入即得解.

【详解】由题得，

所以

.

故选：B

6．已知函数的最小正周期为,为了得到函数的图象,只要将的图象(　　)

A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度

C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度

【答案】A

【详解】由的最小正周期是，得，

即

，

因此它的图象向左平移个单位可得到的图象．故选A．

【解析】函数的图象与性质．

【名师点睛】三角函数图象变换方法：

7．已知则的值为

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】，故选B．

8．如图，已知扇形的半径为，其圆心角为，四边形是该扇形的内接矩形，则该矩形面积的最大值为     

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】设，根据几何图形的性质把矩形面积表示成关于的三角函数最值问题.

【详解】连接，设，则，由已知可得：三角形是等腰直角三角形，即，

所以，

故矩形的面积为：

显然当时，取得最大值，

故选:B

二、多选题

9．下列说法中不正确的为（    ）

A．已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是

B．向量，不能作为平面内所有向量的一组基底

C．若，则

D．非零向量和满足，则与的夹角为

【答案】AD

【分析】利用平面向量数量积的坐标运算可判断A选项；利用平面向量基底的定义可判断B选项；由平面向量数量积的定义可判断C选项；利用平面向量数量积的运算性质可判断D选项.

【详解】对于A，，，与的夹角为锐角，则，

，

且与不共线，即，即，所以且，故A错误；

对于B，向量，即、共线，故、不能作为平面内所有向量的一组基底，B正确；

对于选项C，因为，所以，故C正确；

对于D，因为，两边平方得，则，

，

故，而，

故，故D项错误．

故选：AD.

10．已知函数的部分图象如图所示，把函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，得到函数的图象，则（    ）

A． B．为偶函数

C．的图象关于直线对称 D．在区间上单调递减

【答案】ACD

【分析】根据给定的图象依次求出，得函数的解析式，结合图象变换求出函数，再逐项判断作答.

【详解】观察图象知，，，则，而，于是，A正确；

函数的周期满足：，即，解得，

又，即有，而，于是，

因此，，，

，显然函数不是奇函数，B错误；

因为，所以的图象关于直线对称，C正确；

当时，，而正弦函数在上单调递减，

所以在区间上单调递减，D正确.

故选：ACD

11．已知函数为函数的一条对称轴，且若在上单调，则的取值可以是（    ）

A． B． C． D．

【答案】AD

【分析】由为对称轴，及求出的取值集合，再根据函数在区间上单调，求出的范围，即可求出的值；

【详解】为对称轴，；

或，；

联立解之得:或，，；

又在上单调，

，所以

或

故选：AD.

12．水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个半径为的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时6秒.经过秒后，水斗旋转到点，设点的坐标为，其纵坐标满足，则下列结论正确的是（    ）

A．

B．当时，函数单调递增

C．当时，点的纵坐标越来越小

D．当时，

【答案】CD

【分析】利用周期求出点所在角的终边对应的角，根据三角函数的定义可得，然后根据三角函数的性质逐个分析判断即可

【详解】因为，所以，

因为旋转一周用时6秒，所以角速度，

所以，

所以根据三角函数的定义可得，

所以，所以A错误，

对于B，当时，，则函数在此区间上不单调，所以B错误，

对于C，当时，，所以函数在上单调递减，所以点的纵坐标越来越小，所以C正确，

对于D，当时， ，所以，因为，所以，所以D正确，

故选：CD

三、填空题

13．如图，扇形AOB的面积是1，它的弧长是2，则弦AB的长为________．

【答案】

【分析】由扇形面积公式可得，从而求得，再根据即可求解.

【详解】由扇形面积公式，可得，解得，

所以，

所以.

故答案为：

14．若，则________．

【答案】/

【分析】由，利用诱导公式及已知即可求值.

【详解】由.

故答案为：

15．已知向量，满足，，，的夹角为150°，则与的夹角为______.

【答案】

【分析】根据向量数量积的定义，求得的值，利用平面向量的几何意义和数量积的运算律求得、，结合夹角公式计算即可求解.

【详解】因为，与的夹角为，

所以，

所以，

得，又，

所以，

又因为，所以.

故答案为：.

16．已知函数，，则下列结论中正确的是______，

①若，则将图象向左平移个单位长度后得到的图象关于原点对称

②若，且的最小值为，则

③若在上单调递增，则的取值范围为

④当时，在有且只有3个零点

【答案】①②④

【分析】应用辅助角公式化简函数式，根据图象平移写出解析式判断①；由题设得即可求判断②；根据正弦型函数的单调性求的范围判断③；令结合给定区间确定零点个数判断④.

【详解】函数，

①若，，将向左平移个单位长度得到，其图象关于原点对称，故正确；

②若，且的最小值为，则，解得，故正确；

③ 当时，，若在上单调递增，则，解得，故错误；

④当时，，令，解得，

因为，满足的零点有，

所以在有且只有3个零点，故正确；

故答案为： ①②④.

四、解答题

17．在平面内给定三个向量．

（1）求满足的实数m,n的值；

（2）若向量满足，且，求向量的坐标．

【答案】（1）；（2）或．

【解析】(1)根据向量的坐标运算求解即可.

(2) 设向量再根据平行与模长的公式列式求解即可.

【详解】（1）由已知条件以及,

可得,

即解得

（2）设向量,则,.

∵,

∴解得或

∴向量的坐标为或.

【点睛】本题主要考查了向量坐标的运算以及平行的与模长的公式,属于中等题型.

18．已知函数在区间上的最大值为5，

(1)求常数的值；

(2)当时，求使成立的x的取值集合.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用向量的数量积及三角恒等变换化简，再根据三角函数的图象与性质即可求；

（2）由（1）求得，根据三角函数的图象与性质即可解不等式.

【详解】（1）

，

，

，，

∴函数的最大值为，，，

（2）由（1）得，

由得，∴

解得：.

成立的x的取值集合是．

19．设函数的图像过点.

（1）求的解析式；

（2）已知，，求的值；

（3）若函数的图像与的图像关于轴对称，求函数的单调区间.

【答案】（1）；（2）；（3）单减区间为，

单增区间为.

【分析】(1)将P点坐标代入求A，即得结果，(2)先代入得 ，利用平方关系得，再根据诱导公式化简式子，最后代入求结果，(3)先根据对称性得解析式，在根据正弦函数性质求单调区间.

【详解】（1）因为，所以；

（2）,

 所以 , =;

（3）因为函数的图象与图象关于轴对称，所以，

由得

单减区间为，

由得

单增区间为．

【点睛】函数的性质

(1).

(2)周期

(3)由 求对称轴

(4)由求增区间;

由求减区间

20．已知函数的图象关于直线对称,且图象上相邻两个最高点的距离为.

(1)求和的值

(2)若,求的值.

【答案】（1），（2）

【分析】（1）由题意可得函数f（x）的最小正周期为π 求得ω＝2．再根据图象关于直线x对称，结合φ可得 φ 的值．

（2）由条件求得sin（α）．再根据α的范围求得cos（α）的值，再利用诱导公式计算求得结果．

【详解】(1)因为的图象上相邻两个最高点的距离为,

所以的最小正周期,从而.

又因为的图象关于直线对称,

所以,.

因为,所以.

(2)由(1)得,

所以.

由,得,

所以

.

因此

,

.

【点睛】本题主要考查由函数y＝Asin（ωx+φ）的部分图象求函数的解析式，两角和差的三角公式的应用，属于中档题．

21．已知函数的图象如图所示.

(1)求函数的对称中心；

(2)先将函数图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变），然后将得到的函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），最后将所得图象向左平移个单位后得到函数的图象.若对任意的恒成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）根据函数图象求得的解析式，然后利用整体代入法求得的对称中心.

（2）利用三角函数图象变换的知识求得的解析式，根据在区间上的值域转化不等式，由此求得的取值范围.

【详解】（1）由图可知：，所以，所以，，

又，

所以，.

所以.

令，，

则，.

所以的对称中心为，.

（2）由题.

当时，.

因为对任意的恒成立，

则.

所以.

22．海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮，一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；在落潮时返回海洋．下面是某港口在某季节每天的时间和水深关系表：

经长期观测，港口的水深与时间关系，可近似用函数描述．

(1)根据以上数据，求出函数的表达式；

(2)一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4.0米，安全条例规定至少要有2米的安全间隙（船底与洋底的距离），该船在一天内（0：00～24：00）何时能进入港口然后离开港口？

【答案】(1)

(2)在0时进港4时出港或12时进港16时出港，每次在港内可停留4个小时.

【分析】（1）由表格易知，由，求得A，B，再根据和时，函数取得最大值，分别求得即可.

（2）根据货船需要的安全水深度为6，由求解.

【详解】（1）由表格可知,，

则，

又，

当时，，

即，所以，

又，所以，

所以.

（2）因为货船需要的安全水深度为6，

所以，即，

所以，即，

又因为，

当时，，当时，，

所以在0时进港4时出港或12时进港16时出港，每次在港内可停留4个小时.