2022-2023学年云南省宣威市第三中学高一下学期第一次月考数学试题含解析

2022-2023学年云南省宣威市第三中学高一下学期第一次月考数学试题

一、单选题

1．设集合，，，则（   ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】直接利用交集的定义求解即可

【详解】解：因为集合，，，

所以，

故选：B

2．已知命题：，，则命题的否定是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】A

【分析】由全程命题的否定是特称命题，即可得出结果.

【详解】命题：“”是全称命题，全程命题的否定是特称命题

所以否定为

故选：A

3．（    ）

A．1 B．0 C．-1 D．

【答案】A

【解析】用诱导公式化简计算．

【详解】因为，

所以，

所以原式.

故选：A.

【点睛】本题考查诱导公式，考查特殊角的三角函数值．属于基础题．

4．为了得到函数的图象，可以将函数的图象

A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度

C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度

【答案】D

【详解】，据此可知，为了得到函数的图象，可以将函数的图象向右平移个单位长度.

本题选择D选项.

5．方程的解所在的区间是

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据零点存在性定理判定即可.

【详解】设，，

根据零点存在性定理可知方程的解所在的区间是.

故选：C

【点睛】本题主要考查了根据零点存在性定理判断零点所在的区间,属于基础题.

6．若偶函数在区间上单调递增，且，则不等式的解集是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由偶函数定义可确定函数在上的单调性，由单调性可解不等式．

【详解】由于函数是偶函数，在区间上单调递增，且，

所以，且函数在上单调递减.

由此画出函数图象，如图所示，

由图可知，的解集是.

故选：D.

【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性，属于基础题．

7．若且则的值是.

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】由题设，又，则，所以，，应选答案C．

点睛：角变换是三角变换中的精髓，也是等价化归与转化数学思想的具体运用，求解本题的关键是巧妙地将一个角变为已知两角的差，再运用三角变换公式进行求解．

8．已知函数， 若， 则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由函数的解析式，求得函数的定义域，再根据函数的奇偶性和复合函数的单调性，得出函数为奇函数且为单调递减函数，再根据函数的性质，列出不等式组，即可求解.

【详解】由题意，函数有意义，则满足，即，解得，

又由，所以函数为奇函数，

令，可得函数为单调递减函数，

根据复合函数的单调性，可得函数为定义域上的单调递减函数，

因为，即，

则满足，解得.

故选：B.

【点睛】求解函数不等式的方法：

1、解函数不等式的依据是函数的单调性的定义，

具体步骤：①将函数不等式转化为的形式；②根据函数的单调性去掉对应法则“”转化为形如：“”或“”的常规不等式，从而得解.

2、利用函数的图象研究不等式，当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数的图象上、下关系问题，从而利用数形结合求解.

二、多选题

9．下面给出的几个关系中正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】CD

【解析】根据集合的关系判断，注意集合中的元素．

【详解】A选项，中有元素，中有元素、，不包含于，A错，

B选项，中有元素，中有元素、，不包含于，B错，

C选项，∵，∴，正确，C正确，

D选项，是任意集合的子集，D对，

故选：CD．

10．已知，，且，则下列结论正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】AB

【解析】A．根据进行判断；B．根据进行判断；C．对赋值进行判断；D．取进行判断.

【详解】A．因为，所以，故正确；

B．因为，所以，故正确；

C．当时，此时，所以，故错误；

D．当时，此时，故错误，

故选：AB.

11．已知函数，则（    ）

A．的最小值为-1 B．点是的图象的一个对称中心

C．的最小正周期为 D．在上单调递增

【答案】ACD

【解析】结合正弦函数的性质判断．

【详解】由正弦函数性质知的最小值是，A正确；

令，，没有一个整数，能使，B错误；

，C正确；

，，时，而，D正确．

故选：ACD．

【点睛】本题考查三角函数的性质．解题时函数化为形式，然后结合正弦函数性质求解．

12．设常数，函数，若方程有三个不相等的实数根，且，则下列说法正确的是（    ）

A． B． C．的取值范围为 D．

【答案】ABD

【分析】由解析式作出图象，采用数形结合的方式可确定AC正确；由知B正确；根据分段函数的函数值求法可知D正确.

【详解】由解析式可得图象如下图所示，

有三个不等实根等价于与有三个不同交点，

由图像可知：，A正确；

若，则，即，，B正确；

，则，，C错误；

，D正确.

故选：ABD.

【点睛】思路点睛：本题考查根据方程根的个数求解参数范围、方程根的和等知识；解题的基本思路是根据解析式作出函数图象，采用数形结合的方式来进行观察求解.

三、填空题

13．______.

【答案】-5

【解析】根据对数与指数的运算求解即可.

【详解】.

故答案为：

【点睛】本题主要考查了指对数的基本运算,属于基础题.

14．函数，的图象恒过定点P，则P点的坐标是_____.

【答案】

【详解】令，解得，且恒成立，所以函数的图象恒过定点；故填.

15．每一个声音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是函数.若的部分图象如图所示，则的解析式为________.

【答案】

【解析】结合正弦函数的性质确定参数值．

【详解】由图可知，最小正周期，

所以，

所以.

故答案为：．

【点睛】本题考查由三角函数图象确定其解析式，掌握正弦函数的图象与性质是解题关键．

16．设函数（为常数），若对，恒成立，则实数的取值范围是______.

【答案】

【解析】根据题意可得，然后采用分离参数法可得，设，只需即可求解.

【详解】若对，恒成立，即，

所以，

设，令，

则，当时，，

所以.

故答案为：

【点睛】本题考查了不等式恒成立求参数的取值范围，同时考查了分离参数法以及二次函数的最值，属于中档题.

四、解答题

17．已知函数.

（1）求及的值；

（2）解关于的不等式.

【答案】（1）；；（2）

【解析】（1）根据分段函数的表达式，利用代入法进行求解即可.

（2）根据分段函数的表达式，讨论的取值范围进行求解即可.

【详解】（1），

，

（2）若时，由得，即，此时，

若时，由得，即，此时，

综上不等式的解集为.

【点睛】本题考查了分段函数的函数值以及解分段函数的不等式，考查了分类讨论的思想，属于基础题.

18．已知，求：

（1）的值.

（2）的值.

【答案】（1）-3；（2）.

【分析】（1）原式分子分母除以cosx，利用同角三角函数间基本关系化简，把tanx的值代入计算即可求出值；（2）原式分母看做“1”，利用同角三角函数间基本关系化简，把tanx的值代入计算即可求出值．

【详解】（1）∵tanx＝2，

∴；

（2）∵tanx＝2，

∴2sin2x﹣sinxcosx+cos2x．

【点睛】本题题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键，是基础题

19．已知集合,集合.

（1）当时,求；

（2）若,求实数的取值范围.

【答案】（1）（2）

【解析】（1）当时,,根据并集定义,即可求得;

（2）因为,分别讨论和两种情况,即可求得实数的取值范围.

【详解】（1）当时,

又,则

（2）因为,

当时,,解得

当时,,解得

综上所述,实数的取值范围为.

【点睛】本题考查了并集运算和子集运算.本题的解题关键是掌握当时,分别讨论和两种情况,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.

20．已知函数.

（1）求的最小正周期；

（2）当时，求函数的值域.

【答案】（1）；（2）

【解析】（1）利用二倍角的正弦公式可把化为的形式，由周期公式可求.

（2）由求出的取值范围，再利用三角函数的性质即可求解.

【详解】（1）

，

函数的最小正周期为.

（2）由，则，

所以，所以，

所以函数的值域为.

【点睛】本题考查了二倍角的正弦公式、三角函数的周期以及三角函数的值域，属于基础题.

21．为节约能源，倡导绿色环保，某主题公园有60辆电动观光车供租赁使用，管理这些电动观光车的费用是每日120元.根据经验，若每辆电动观光车的日租金不超过5元，则电动观光车可以全部租出；若超过5元，则每超过1元，租不出的电动观光车就增加2辆.为了便于结算，每辆电动观光车的日租金（元）只取整数，并且要求出租电动观光车一日的收入必须高于这一日的管理费用，用（元）表示出租电动观光车的日净收入（即一日出租电动观光车的总收入减去管理费用后的所得）.

（1）求函数的解析式及其定义域；

（2）试问当每辆电动观光车的日租金为多少元时，才能使一日的净收入最多？

【答案】（1）；

（2）当每辆电动观光车的日租金为或时，才能使一日的净收入最多.

【解析】（1）利用函数关系建立各个取值范围内的净收入与日租金的关系式，写出该分段函数即可.

（2）利用一次函数、二次函数的单调性解决最值问题，应取每段上最大值的较大的即为该函数的最大值.

【详解】（1）当时，，令，解得，

，，

当时，，

令，有

 上述不等式的整数解为，

，

综上所述可得

（2）对于

 显然当时，

对于，

当或时，，

综上所述，当每辆电动观光车的日租金为或时，才能使一日的净收入最多.

【点睛】本题考查了分段函数模型的应用，注意实际生活中自变量的取值范围，同时考查了二次函数的最值问题，属于基础题.

22．已知函数.

（1）求的定义域；

（2）若函数，且对任意的，，恒成立，求实数a的取值范围.

【答案】（1）.（2）（2，+∞）.

【解析】（1）使对数式有意义，即得定义域；

（2）命题等价于，如其中一个不易求得，如不易求，则转化为恒成立，再由其它方法如分离参数法求解或由二次不等式恒成立问题求解．

【详解】（1）由题可知且，

所以.

所以的定义域为.

（2）由题易知在其定义域上单调递增.

所以在上的最大值为，

对任意的恒成立等价于恒成立.

由题得.

令，则恒成立.

当时，，不满足题意.

当时，，

解得，因为，所以舍去.

当时，对称轴为，

当，即时，，所以；

当，即时，，无解，舍去；

当，即时，，所以，舍去.

综上所述，实数a的取值范围为（2，+∞）.

【点睛】本题考查求对数型复合函数的定义域，不等式恒成立问题．解题时注意转化与化归思想的应用．