2022-2023学年广东省佛山市南海艺术高级中学高一下学期第二次大测数学试题含解析

2022-2023学年广东省佛山市南海艺术高级中学高一下学期第二次大测数学试题

一、单选题

1．如果复数是纯虚数，则实数的值为（    ）

A．2或3 B．0或3 C．0 D．2

【答案】D

【分析】根据纯虚数的定义进行求解.

【详解】因为是纯虚数，

所以解得.

故选：D.

2．已知在中，点为边的中点，若，则（    ）

A． B． C．1 D．2

【答案】C

【分析】利用平面向量基本定理求得的值，进而求得的值.

【详解】在中，，

又点为边的中点，则，

则

又，则，

则

故选：C

3．已知为单位向量，，向量的夹角为，则在上的投影向量是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用投影向量定义即可求得在上的投影向量.

【详解】在上的投影向量是

故选：B

4．圆台的上､下底面半径分别是，且圆台的母线长为5，则该圆台的体积是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用圆台的体积公式即可求得该圆台的体积.

【详解】圆台的上､下底面半径分别是，且圆台的母线长为5，

则圆台的高为，

则该圆台的体积是

故选：B

5．已知在中，，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】直接利用余弦定理可解得，由此可知为直角三角形，所以.

【详解】由余弦定理可得，

解得，所以，

所以为直角三角形，

则在中，．

故选：A.

6．为了得到函数的图像，可以将函数的图像上（    ）

A．每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位

B．每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位

C．每个点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位

D．每个点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移个单位

【答案】B

【分析】由函数图像的伸缩变换和平移变化规律求解.

【详解】由可知，函数的图像每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，可得函数的图像，再向右平移个单位，得函数的图像.

故选：B

7．已知，则下列描述中正确的是（    ）

A．函数周期是

B．当，函数最大值是

C．直线不是该函数的一条对称轴

D．当，函数没有最小值

【答案】B

【分析】由三角恒等变换化简函数关系式，再根据三角函数的单调性、周期性、对称性判定选项即可.

【详解】，

显然周期,故A错误；

当时，，(时取得)，故B正确；

由B知，时函数取得最值，则是该函数的一条对称轴，故C错误；

当时，，函数有最小值，在时取得，故D错误.

故选：B.

8．在中，角所对的边分别为，且.若，则的最大值是（    ）

A．3 B． C． D．

【答案】C

【分析】由正弦定理和已知求出，再利用正弦定理求得，在中，运用余弦定理和的范围可得答案.

【详解】由正弦定理、可得，

因为，所以，

所以，

为三角形的内角，，

由正弦定理可得，其中为的外接圆半径，

，

，

在中，运用余弦定理，可得

，

化简，可得，

，

当时，取得最大值，

.

故选：C.

二、多选题

9．下列说法正确的是（    ）

A．圆柱的所有母线长都相等

B．棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形

C．底面是正多边形的棱锥是正棱锥

D．棱台的侧棱延长后必交于一点

【答案】ABD

【分析】利用圆柱的性质判断选项A；利用棱柱的性质判断选项B；利用正棱锥的定义判断选项C；利用棱台的性质判断选项D.

【详解】选项A：圆柱的所有母线长都相等.判断正确；

选项B：棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形.判断正确；

选项C：底面是正多边形且顶点在底面的射影为底面正多边形的中心的棱锥是正棱锥.判断错误；

选项D：棱台的侧棱延长后必交于一点.判断正确.

故选：ABD

10．在中，角所对的边分别为，则下列结论正确的是（    ）

A．若，则为锐角三角形

B．若为锐角三角形，则

C．若，则为等腰三角形

D．若，则是等腰三角形

【答案】BD

【分析】对于A，用余弦定理可以判定；对于B，利用正弦函数单调性及诱导公式即可判定；对于C，由正弦函数的性质结合三角形内角即可判定；对于D，利用正弦定理及两角和的正弦公式即可判定.

【详解】对于A，由余弦定理可得，即，但无法判定A、C的范围，故A错误；

对于B，若为锐角三角形，则有，由正弦函数的单调性可得，故B正确；

对于C，若，由正弦函数的性质可得或，又，故或，所以C错误；

对于D，若，由正弦定理可得，结合两角和的正弦公式得

又，所以，故，所以D正确.

故选：BD

11．已知函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为，则以下说法正确的是（        ）

A．

B．若为偶函数，则

C．若在区间上单调递增，则的最大值为

D．若的一个对称中心为，则

【答案】BC

【分析】求得的值判断选项A；求得的值判断选项B；求得的最大值判断选项C；求得的值判断选项D.

【详解】，

由图象的相邻两对称轴间的距离为，可得周期，

则.则.

选项A：由可得选项A判断错误；

选项B：若为偶函数，则，

则或，

又，则.判断正确；

选项C：由，可得，

又，且在区间上单调递增，

则，解之得，则的最大值为.判断正确；

选项D：由的一个对称中心为，

可得，则，

又，则.判断错误.

故选：BC

12．在中，，且，是所在平面内的一点，设，则以下说法正确的是（    ）

A．

B．若，则的最小值为2

C．若，设，则的最大值为

D．若在内部（不含边界），且，则的取值范围是

【答案】BC

【分析】A选项，根据向量数量积公式和得到三角形三边长，求出三角形面积；B选项，利用极化恒等式得到，点在以为圆心，为半径的圆上，数形结合得到的最小值；C选项，建立平面直角坐标系，设，得到点轨迹，可设，表达出，利用三角恒等变换求出最大值；D选项，先由面积得到点轨迹，得到，从而得到的取值范围.

【详解】A选项，因为，所以，

解得，

又，故，

所以，由勾股定理得，所以，故A错误；

B选项，取中点，因为，，

两式平方后相减得到则，

当时，，即，所以点在以为圆心，为半径的圆上，因为，所以的最小值为，故正确；

C选项，以为坐标原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，

则，设，则

当时，，整理，

所以点在以为圆心，3为半径的圆上，可设，

由得，，

则，

所以，其中，

故当时，取得最大值，最大值为，故C正确；

对于D选项，在取点，使得，过作交于，

由可得，在线段上（不含），

因为，则最小值为，又，

故，故，所以的取值范围是，故D错误.

故选：BC

【点睛】方法点睛：

平面向量解决几何最值问题，通常有两种思路：

①形化，即用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行求解；

②数化，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域，不等式的解集，方程有解等问题，然后利用函数，不等式，方程的有关知识进行求解.

三、填空题

13．复数____.

【答案】/

【分析】利用复数除法即可求得的化简结果.

【详解】

故答案为：

14．已知向量，，且，则__________.

【答案】

【分析】由向量共线求出m的值，再求向量的模长.

【详解】因为，，且，

所以，得，所以，

.

故答案为：.

15．已知函数的部分图象如图所示，且在上恰有一个最大值和一个最小值，则的取值范围是___________.

【答案】

【分析】根据图像先求，由图可知在第一个最小值点与第二个最大值点之间.

【详解】由图可知，得，，，

，

当时，，，

当时，，，

所以，得.

故答案为：

16．已知的三边长分别为，角A是直角，则的取值范围是__________.

【答案】

【分析】法一：分、和三种情况讨论，结合基本不等式和对勾函数分析运算；法二：根据直角三角形边化角结合三角恒等变换整理得，再结合正弦函数的有界性分析运算.

【详解】法一：

∵，则有：

①当时，则，

令，

则，

∵，

当且仅当，即时，等号成立，

∴，

故；

②当时，；

③当时，则，

令，可得，

则，

∵在上单调递减，则在上单调递增，

所以，即；

综上所述：，即的取值范围是.

法二：

角A是直角，则，

可得

，

∵，则，可得，

∴.

故答案为：.

四、解答题

17．如图，在平面四边形中，，，，.

(1)求的值；

(2)求边的值.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）△中应用正弦定理求出，根据三角形内角性质即可得结果.

（2）△中应用余弦定理求即可.

【详解】（1）由题设，，故，

又，则.

（2）由，，故，

所以，故.

18．已知向量.

(1)当时，求的值；

(2)设函数，且，求的最大值以及对应的的值.

【答案】(1)1；

(2)时，取最大值，最大值为

【分析】（1）利用题给条件列方程即可求得的值；

（2）先利用向量的数量积化简的解析式，再利用三角函数性质即可求得的最大值以及对应的的值.

【详解】（1），

，

，.

（2）因为，

所以，

，

所以，

所以，

由，可得，所以，

所以，

当，即时，取最大值，最大值为.

19．如图，函数的图象经过，，三点.

(1)求函数的解析式；

(2)将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标缩短到原来的，得到图象.若，求函数的单调增区间.

【答案】(1)

(2)，.

【分析】（1）求出函数的最小正周期，进而得到，带入特殊点坐标，得到，求出函数解析式；

（2）求出，整体法求出的单调增区间.

【详解】（1）由图可得函数的最小正周期

∴

又函数过点，且图象在该点附近单调递增，

∴，即，

又∵，∴，

∵过点，

∴，即

∴；

（2）将函数的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标缩短到原来的得到

.

∴

令，得：，

所以的单调增区间为，.

20．如图，在中，是边的中点，与交于点.

(1)求和的长度；

(2)求.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用三角函数定义即可求得的长；利用向量法即可求得的长度；

（2）利用向量夹角的余弦公式即可求得的值.

【详解】（1）是高，，在Rt中，，

所以.

是中线，，

，

（2），

.

另解：过D作交于，

是的中点，是的中点，

是的中位线，是的中位线，

，

.

21．设的内角的对边分别为，已知.

(1)求角；

(2)若是锐角三角形，且其外接圆半径，求的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用诱导公式及和差角公式得到，再由正弦定理将边化角，即可求出，从而得解；

（2）由正弦定理得到，，即可得到，再由内角和定理及三角恒等变换公式将式子转化为的三角函数，最后结合正弦函数的性质计算可得.

【详解】（1）由已知，有，

，

，

，又，

，

由正弦定理得，又，

，显然，

，.

（2）由正弦定理得，

，，

，

，，

，

，

是锐角三角形，，且，

，，

，

，

所以的取值范围是.

22．为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内（如示意图），飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离，请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；②用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤.

【答案】见解析

【详解】

要求长度，需要测量的数据有：点到，点的俯角，最后通过正弦定理得到最终结果.

①需要测量的数据有：点到，点的俯角；

点到，的俯角；，的距离 ……….

②第一步：计算. 由正弦定理　；

第二步：计算. 由正弦定理　；

第三步：计算. 由余弦定理