2022-2023学年贵州省遵义市南白中学高一下学期第一次联考数学试题含解析

2022-2023学年贵州省遵义市南白中学高一下学期第一次联考数学试题

一、单选题

1．设集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】选取不同的值，求出交集.

【详解】对于集合，当时，，

当取其他整数时，均不在内.

故.

故选：A.

2．（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用诱导公式可求得所求代数式的值.

【详解】.

故选：C.

3．已知，，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据给定条件，利用指数函数、对数函数的单调性，结合“媒介数”比较大小作答.

【详解】，，，

所以.

故选：B

4．如图，已知，用表示，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】结合平面图形的几何性质以及平面向量的线性运算即可求出结果.

【详解】因为，

所以，

又因为，，

所以，

故选：D.

5．已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边在直线上，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】在终边上取一点，由任意角的三角函数的定义求解即可.

【详解】直线过原点，经过第二象限与第四象限，

①若角的终边在第二象限，在终边上取一点，由任意角的三角函数定义，

，，

；

②若角的终边在第四象限，在终边上取一点，由任意角的三角函数定义，

，，

.

综上所述，.

故选：A.

6．若三点共线，则（    ）

A． B．5 C．0或 D．0或5

【答案】D

【分析】由题意可得，再利用向量共线求解即可.

【详解】因为，

若三点共线，则，

所以，

解得或5．

故选：D.

7．关于向量，，下列命题中，正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，，则 D．若，则

【答案】B

【分析】利用向量的概念可判断ABD选项，取可判断C选项.

【详解】对于A选项，若，但、不一定相等，A错；

对于B选项，若，则，B对；

对于C选项，取，则，成立，但、不一定共线，C错；

对于D选项，若，但、不能比较大小，D错.

故选：B.

8．数学中处处存在着美，莱洛三角形就给人以对称的美感.莱洛三角形的画法如下：先画等边三角形，再分别以点为圆心，线段长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形（如图所示）.若莱洛三角形的周长为，则其面积是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据图形分析，利用扇形面积和三角形的面积公式，即可求解.

【详解】莱洛三角形的周长为，可得弧长，

则等边三角形的边长，

分别以点A、B、C为圆心，圆弧所对的扇形面积均为，

等边的面积，

所以莱洛三角形的面积是.

故选：C.

二、多选题

9．下列两个向量，能作为平面中一组基底的是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】AD

【分析】判断两向量是否平行，如平行则不可以作为基底.

【详解】对于A，因为，则，不平行，故，能作为基底；

对于B，零向量和任意向量平行，所以，不能作为基底；

对于C，，所以，平行，不能作为基底；

对于D，因为，则，不平行，故，能作为基底.

故选：AD.

10．若点在第一象限，则在内的可能取值有（    ）

A． B． C． D．

【答案】BC

【分析】由题意，又，根据三角函数的图象与性质即可求解.

【详解】解：由点在第一象限，得，即，

因为，所以的取值范围是.

故选：BC.

11．已知角、、是锐角三角形的三个内角，下列结论一定成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AB

【分析】利用诱导公式可判断ABD选项；利用正弦函数的单调性可判断C选项.

【详解】对于A选项，，A对；

对于B选项，，B对；

对于C选项，因为为锐角三角形，则，，且，

所以，，

因为函数在上单调递增，所以，，C错；

对于D选项，，D错.

故选：AB.

12．如图，正方形中，为中点，为线段上的动点，，则下列结论正确的是（    ）

A．当为线段上的中点时，

B．的最大值为

C．的取值范围为

D．的取值范围为

【答案】ABC

【分析】以为原点，为轴正方向建立平面直角坐标系，结合向量的坐标表示及向量的坐标运算表示条件，由此判断各选项.

【详解】以为原点，为轴正方向建立平面直角坐标系，设，

则，

设，则，

因为，所以，

所以，即，

对于选项A，因为为线段上的中点，所以，故，A正确；

对于选项B，，，当时，取最大值为，B正确；

对于选项C，因为，，所以，的取值范围为，C正确；

对于选项D，，，所以，所以的取值范围为，D错误.

故选：ABC.

三、填空题

13．与终边相同的最小正角是______．

【答案】

【分析】用诱导公式（一）转化即可.

【详解】因为，所以与终边相同的最小正角是.

故答案为：.

14．甲、乙两人参加知识竞赛，甲、乙两人能荣获一等奖的概率分别为和，且两人是否获得一等奖相互独立，则两人中恰有一个人获得一等奖的概率是__________.

【答案】

【分析】两人中恰有一个人获得一等奖分为甲获一等奖乙未获一等奖，甲未获一等奖乙获一等奖，由互斥事件概率公式计算可得．

【详解】两人中恰有一个人获得一等奖分为甲获一等奖乙未获一等奖，甲未获一等奖乙获一等奖，

∴所求概率为．

故答案为：．

【点睛】本题考查相互独立和互斥事件的概率求法，解题时把一个事件拆成两个互斥事件是解题关键．

15．若，则__________.

【答案】/

【分析】根据三角函数诱导公式即可求解.

【详解】.

故答案为：.

16．已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点，已知平面内点，点，把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点，则点的坐标_____.

【答案】

【分析】利用新定义，根据两个向量坐标形式的运算法则，即可求解.

【详解】由题意可得，

因为点绕点沿逆时针方向旋转角得到点，

所以，

设点坐标为，则，

解得，，

即点的坐标为，

故答案为：

四、解答题

17．已知向量，，.

(1)求；

(2)若，求实数的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用平面向量的坐标运算可求得向量的坐标；

（2）求出向量、的坐标，利用平面向量共线的坐标表示可求得实数的值.

【详解】（1）解：因为，，.

所以，.

（2）解：由已知可得，

，

因为，则，解得.

18．已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边过点.

(1)求的值；

(2)求的值.

【答案】(1)

(2)-1

【分析】（1）根据三角函数的定义，即可求得的值；

（2）方法：1：由（1）知，结合诱导公式和三角函数的基本关系式，化为齐次式，代入，即可求解；

方法2：利用三角函数的定义求得，结合诱导公式，代入即可求解.

【详解】（1）解：因为角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边过点，

由三角函数的定义，可得.

（2）解：方法1：由（1）知，

则.

方法2：由角终边过点，可得，则，，

所以.

19．已知、是方程的两个实数根，其中.

(1)求的值；

(2)求的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用以及，结合韦达定理可求得实数的值；

（2）利用同角三角函数的平方关系求出的值，即可得出的值.

【详解】（1）因为、是方程的两个实数根，

所以，，可得，

又因为，即，解得，合乎题意.

因此，.

（2）由（1）知，，

因为，则，，所以，，

所以，则，

因此，.

20．某中学为研究本校高一学生市联考的语文成绩，随机抽取了100位同学的语文成绩作为样本，按分组，，，，，，整理后得到如下频率分布直方图.

(1)求图中的值；

(2)请用样本数据估计本次联考该校语文平均成绩（同一组数据用该组区间的中点值代替）；

(3)用分层随机抽样的方法，从样本内语文成绩在，的两组学生中抽取5名学生，再从这5名学生中随机选出2人，求选出的两名学生中恰有一人语文成绩在的概率.

【答案】(1)

(2)107.4分

(3)

【分析】（1）根据频率分布直方图中小矩形面积和为1，求得x；

（2）用每一组区间的中点值代替该组数据，计算平均数；

（3）计算分层抽样每层抽取人数，列出所有选出2人的基本事件，求出概率.

【详解】（1）由频率分布直方可知，

，

解得；

（2）由图可知，语文成绩在，，，，，，的频率

分别为0.12，0.22，0.28，0.18，0.10，0.08，0.02，设样本数据中语文平均成绩为，

则

故估计本次联考该校语文平均成绩为107.4分；

（3）由题知，样本内语文成绩在，的学生分别有8名和2名，

按分层随机抽样抽取的5名学生中，分数在的学生有4名，记为A，B，C，D，

在的学生有1名，记为e，

从这5名学生中随机选出2人，所有的情况有10种：AB，AC，AD，Ae，BC，BD，Be，CD，Ce，De，

其中恰有一人语文成绩在的有4种：Ae，Be，Ce，De，

则这5名学生中随机选出2人，恰有一人语文成绩在的概率为.

21．如图所示，在中，，，，．

（1）试用向量，来表示，；

（2）交于点，若，求的值．

【答案】（1），；（2）

【分析】（1）利用平面向量的线性运算求解即可.

（2）首先根据三点共线，得到，从而得到，同理根据三点共线，得到，从而得到，再解方程组即可.

【详解】（1）因为，，

所以.

因为，，

所以.

（2）因为三点共线，

所以存在实数，使得，

所以①，

因为三点共线，

所以存在实数，使得②.

由①②得：，解得.

所以，，即.

22．在平行四边形中，过点的直线与线段、分别相交于点、，若，.

(1)求关于的函数解析式；

(2)设函数为上的偶函数，当时，，又函数的图象关于直线对称.当方程在上有两个不同的实数解时，求实数的取值范围.

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）由平面向量加法的平行四边形法则可得，设，可得出，利用平面向量的基本定理可得出关于的函数解析式，根据题意可得出的取值范围；

（2）求出函数在上的解析式，分析可知是周期为的周期函数，的关于直线对称，数形结合可得出关于实数的不等式组，即可解得实数的取值范围.

【详解】（1）解：由平面向量加法的平行四边形法则可得，则，

因为、、三点共线，设，则，

所以，，

因为、不共线，则，消去可得，所以，，

由图可知，关于的函数解析式为，其中.

（2）解：因为的图象关于直线对称，且函数为上的偶函数，

即，所以，，

故当时，，则，

故当时，，

对任意的，，

所以，函数是周期为的周期函数，

对任意的，，的关于直线对称，

因为函数的图象过定点，

当时，如图所示：

结合图象可知，解得.

故实数的取值范围为.