2022-2023学年河北省保定市第一中学高一贯通创新实验班下学期第二次阶段检测数学试题含解析

2022-2023学年河北省保定市第一中学高一贯通创新实验班下学期第二次阶段检测数学试题

一、单选题

1．已知命题，则的否定为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据全称命题的否定可得答案.

【详解】的否定为，

故选：C

2．“”是“函数（为常数）为幂函数”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

【答案】A

【分析】根据函数是幂函数，求得参数的值，再集合集合之间的关系，即可判断充分性和必要性.

【详解】∵当函数为幂函数时，，

解得或，

集合是集合的真子集，

故“”是“函数为幂函数”的充分不必要条件.

故选：A.

【点睛】本题考查充分不必要条件的判定，涉及由函数是幂函数求参数值，属综合基础题.

3．已知f（2x﹣1）＝4x+6，则f（5）的值为（　　）

A．26 B．24 C．20 D．18

【答案】D

【分析】可把f（5）中的5拆成2×3﹣1的形式，即可利用已知关系式求值.

【详解】由于f（2x﹣1）＝4x+6，则f（5）＝f（2×3﹣1）＝4×3+6＝18.

故选：D.

4．函数的值域为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】换元设，可得，再结合与二次函数的范围求解即可.

【详解】设，则，所以，因为，所以，所以函数的值域为.

故选：A．

5．我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微．数形结合百般好，隔离分家万事休．”在数学的学习和研究中．有时可凭借函数的图象分析函数解析式的特征．已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式可能为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据图象函数为奇函数，排除D；再根据函数定义域排除C；再根据时函数值为正排除A即可得出结果.

【详解】由题干中函数图象可知其对应的函数为奇函数，

而D中的函数为偶函数，故排除D；

由题干中函数图象可知函数的定义域不是实数集，故排除C；

对于A，当时，，不满足图象，故排除A，选B.

故选：B

6．函数的定义域为，值域为，那么函数的定义域和值域分别是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】D

【分析】根据复合函数的定义域和值域求解即可.

【详解】因为函数的定义域为，所以，

所以，所以函数的定义域.

将函数的图象向左平移2个单位，

可得的图象，故其值域不变．

故选：D.

7．已知，，，则，，的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】通过作差法，，确定符号，排除D选项；

通过作差法，，确定符号，排除C选项；

通过作差法，，确定符号，排除A选项；

【详解】由，且，故；

由且，故；

且，故.

所以，

故选：B.

8．已知函数､是定义在上的函数，其中是奇函数，是偶函数，且，若对于任意，都有，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由函数的奇偶性可得，从而可求得函数的解析式，再根据，可得，令，则函数在上递增，再根据函数的单调性分和结合二次函数的单调性即可得出答案.

【详解】解：因为是奇函数，是偶函数，

所以，

又，则，

两式相加可得，

若对于任意，都有，

可变形为，

令，则函数在上递增，

当时，在上递增，符合题意，

当时，则函数为二次函数，对称轴为，

因为函数在上递增，

所以或，解得或，

综上所述，.

故选：C.

二、多选题

9．设，则下列不等式一定成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】AC

【分析】A选项，由不等式的基本性质求解；

BD选项，可举出反例；

C选项，作差法比较大小.

【详解】因为，为分母，所以，由不等式的基本性质可知：，A正确；

不妨设，满足，但，B错误；

，

因为，所以，且恒成立，

所以，故，C正确；

当时，，D错误.

故选：AC

10．已知，且.则下列不等式恒成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AC

【分析】结合基本不等式对选项进行分析，从而确定正确选项.

【详解】当时，，所以BD选项错误.

A，，当且仅当时，等号成立，A正确.

C，，，当且仅当时，等号成立，C正确.

故选：AC

11．已知函数，且的对称中心为，当时，，则下列选项正确的是（    ）

A．在上单调递减 B．的最小值是-1

C．在上的函数值大于0 D．的图像关于直线对称

【答案】BD

【分析】根据函数的性质以及时，可得函数的部分图象，进而结合图象即可求解.

【详解】根据可得为偶函数，对称中心为，可知的图象关于对称，

结合时，，可画出的部分图象如下：

由图象可知：的最小值是，在上单调递增，

的图像关于直线对称，在上的函数值小于0，

故AC不正确，BD正确，

故选：BD

12．已知函数，若关于的不等式恰有1个整数解，则实数的取值可以为（    ）

A．-2 B．3 C．5 D．8

【答案】CD

【分析】由解析式可作出图象，将所求不等式变为，分别在、和三种情况下得到不等式的解，通过图象观察可确定1个整数解的值，由此确定临界状态得到取值范围.

【详解】由解析式可得图象如下图所示，

由得：，

当时，，不等式无解；

当时，由得：，

若不等式恰有1个整数解，则整数解为，

又，，，所以；

当时，由得：，此时有多个解，故舍去；

综上所述：实数的取值范围为.

故选：CD.

三、填空题

13．函数的定义域为________．

【答案】

【分析】根据题意列关于的不等式组即可求解.

【详解】由题要使得有意义，则，

故且，

从而的定义域为，

故答案为：.

14．已知函数且，则的值为__________

【答案】

【分析】由函数的解析式发现，它是由一个奇函数加一个常数的形式，再注意到已知的函数值和要求的函数值，它们的自变量互为相反数，所以可以直接代入利用奇函数的性质求解.

【详解】因为，所以，

所以，

所以

             ，

故答案为：.

15．函数的单调递减区间为_____________．

【答案】

【分析】首先求函数的定义域，求函数的单调区间，再根据复合函数的单调性，求函数的单调性.

【详解】，即，解得：，

函数的对称轴是，

当时，单调递增，当时，单调递减，

根据复合函数的单调性可知，的单调递减区间是.

故答案为：

16．已知函数，若、、、、满足，则的取值范围为______.

【答案】

【分析】设，作出函数的图象，可得，利用对称性可得，由可求得，进而可得出，利用二次函数的基本性质可求得的取值范围.

【详解】作出函数的图象如下图所示：

设，

当时，，

由图象可知，当时，直线与函数的图象有五个交点，

且点、关于直线对称，可得，同理可得，

由，可求得，

所以，

.

因此，的取值范围是.

故答案为：.

【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.

四、解答题

17．已知集合，，．

(1)求，．

(2)若______，求实数m的取值范围．

请从①，②，③这三个条件中选一个填入（2）中横线处，并完成（2）问的解答．

【答案】(1)，或

(2)

【分析】（1）根据不等式的运算得出集合，根据集合的交并补运算得出答案；

（2）根据各条件分析可得，即可根据集合间的包含关系得出答案.

【详解】（1），，

，，

或，

（2）若选①：，则，

若，则，解得，

若，则，解得，

综上，则，

若选②：，

若，则，解得，

若，则，解得，

综上，则，

若选③：，则，

若，则，解得，

若，则，解得，

综上，则，

故实数m的取值范围为：.

18．已知不等式的解集为或（其中）．

(1)求实数，的值；

(2)解关于的不等式．

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)根据不等式与对应方程的根的关系求解；(2)分式不等式转化为一元二次不等式求解即可.

【详解】（1）由题意可得的解集为或，

则且1和为方程的两个根．

则，解得．

（2）不等式化为，

转化为，即

所以，解集为．

19．已知函数是定义在上的奇函数，当时，．

(1)求函数的解析式．

(2)若，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）设，利用，可得解析式；

（2）利用函数的奇偶性，根据单调性可去掉符号“f”，再考虑到定义域即可求出a的范围．

【详解】（1）因为为奇函数，，设，则，

则,

因为为奇函数，则 ，

则．

（2）当时，为单调递增函数，

由奇函数可知是定义在[﹣3，3]上的增函数，

又∵，∴，

故有：，则有，解得：

所以实数a取值范围是：

20．已知函数，．

(1)当时，求的最小值；

(2)对任意，恒成立，求a的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）化简得到，再利用均值不等式计算得到最值.

（2）不等式变换为，利用均值不等式计算最值得到答案.

【详解】（1），当，即时等号成立.

的最小值为.

（2），即，

设，，故，

，当，即时等号成立，

故.

21．我国是用水相对贫乏的国家，据统计，我国的人均水资源仅为世界平均水平的．因此我国在制定用水政策时明确提出“优先满足城乡居民生活用水”，同时为了更好地提倡节约用水，对水资源使用进行合理配置，对居民自来水用水收费采用阶梯收费．某市经物价部门批准，对居民生活用水收费如下：第一档，每户每月用水不超过立方米，则水价为每立方米元；第二档，若每户每月用水超过立方米，但不超过立方米，则超过部分水价为每立方米元；第三档，若每户每月用水超过立方米，则超过部分水价为每立方米元，同时征收其全月水费的用水调节税．设某户某月用水立方米，水费为元．

(1)试求关于的函数；

(2)若该用户当月水费为元，试求该年度的用水量；

(3)设某月甲用户用水立方米，乙用户用水立方米，若之间符合函数关系：．则当两户用水合计达到最大时，一共需要支付水费多少元？

【答案】(1)

(2)立方米

(3)元

【分析】（1）根据题意分类讨论可得函数解析式；（2）结合（1）中的函数解析式，代入求解；（3）根据题意整理可得，结合二次函数的性质运算求解.

【详解】（1）因为某户该月用水立方米，

按收费标准可知，当时，；

当时，；

当时，．

所以

（2）由题可得，当该用户水费为元时，处于第二档，

所以， 解得．

所以该月的用水量为立方米．

（3）因为，

所以．

当时，，此时．

所以此时两户一共需要支付的水费是元．

22．定义两个函数的关系，函数，的定义域为，，若对任意的，均存在，使得，我们就称为的“子函数”．

(1)若，，判断是否为的“子函数”，并说明理由；

(2)若是的“子函数”，求的取值范围．

【答案】(1)是为的“子函数”；理由见解析

(2)

【分析】（1）先求出和的值域，根据子函数定义判断的值域是否是值域的子集即可．

（2）先求出的值域，再根据轴动区间定讨论的值域，利用子函数的定义建立关于的不等式关系，即可求出的范围．

【详解】（1）由“子函数”的定义可知，若为的“子函数”，则的值域是的值域的子集，故只需要判断的值域是否是值域的子集即可，

因为开口向上，对称轴为，

所以当时，，

又，，故，

所以的值域为，

因为在上单调递增，且，，

所以的值域为，

显然，所以是的“子函数”；

（2）因为，

所以当时，，易得；

当时，，由得，即，

综上：的值域为，

因为，开口向上，对称轴为，

所以当时，在上单调递增，故，即，

根据子函数的定义及数轴法得，即，故；

当时，在上单调递减，故，即，

所以，即，故；

当时，在上单调递减，在上单调递增，且，，故，

所以，解得，故；

当时，在上单调递减，在上单调递增，且，，故，

所以，解得，故；

综上：，即.