2022-2023学年上海市复兴高级中学高一下学期期中数学试题含解析

2022-2023学年上海市复兴高级中学高一下学期期中数学试题

一、填空题

1．设为实数，点为角的终边上一点，且，则＝________．

【答案】

【分析】利用任意角的三角函数的定义即可求解．

【详解】解：点为角的终边上一点，且，

解得．

故答案为：．

2．已知，则在方向上的投影为________．

【答案】

【分析】直接根据向量的投影公式计算得到答案.

【详解】在方向上的投影为.

故答案为：

3．把函数图象上每一个点的横坐标变为原来倍，纵坐标不变，则所得图象的函数解析式为________．

【答案】

【分析】利用三角函数图象变换可得出变换后的函数解析式.

【详解】将函数图象上每一个点的横坐标变为原来倍，纵坐标不变，

所得图象的函数解析式为.

故答案为：.

4．若，则＝________．

【答案】

【分析】由已知结合三角函数的诱导公式求解的值．

【详解】解：，

，

故答案为：．

5．设向量满足，则________．

【答案】

【分析】根据向量的数量积公式计算，得到答案.

【详解】，

故.

故答案为：.

6．若函数的图像关于直线对称，则___________.

【答案】

【分析】由题知，进而解方程即可得答案.

【详解】解：因为函数的图像关于直线对称，

所以函数在时取得最值，

所以，结合辅助角公式得：，即，

整理得：，解得.

故答案为：

7．函数的值域为________．

【答案】

【分析】设，则函数化成，其中，．然后根据二次函数在闭区间上的最值，即可求出函数的值域．

【详解】解：设，则，

，

当时，；当时，；

因此，函数的值域是，．

故答案为：，．

8．若、是关于x的方程的两个根，则__________.

【答案】

【分析】先通过根与系数的关系得到的关系，再通过同角三角函数的基本关系即可解得.

【详解】由题意：，所以或，且，

所以，即，因为或，所以.

故答案为：.

9．赵爽是我国古代数学家、天文学家，约公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方程”亦称“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的个大正方形，如图是一张弦图已知大正方形的面积为25，小正方形的面积为1，若直角三角形较小的锐角为，则的值为________．

【答案】

【分析】结合已知条件设直角三角形两直角边分别为、，由勾股定理求出的值，进而可得的值，由两角差的正切公式即可求解.

【详解】设直角三角形的较小的直角边为，则较长的直角边为，

因为大正方形的面积为25，所以有正方形的边长为，

每一个直角三角形中由勾股定理可得：，

即，解得或（舍），

直角三角形较小的锐角为，

可得，

所以，

故答案为：.

10．已知函数y＝sin在区间[0，t]上至少取得2次最大值，则正整数t的最小值是_____

【答案】8

【分析】由函数，求得最小正周期为，得到，根据函数在区间上至少取得2次最大值，结合图象得，即可求解，得到答案.

【详解】由题意，函数，可知最小正周期为，可得

又由函数在区间上至少取得2次最大值，

如图所示，则满足，又因为，所以正整数的最小值为.

【点睛】本题主要考查了三角函数图象与性质的应用，其中解答中熟记三角函数的图象与性质，结合图象得到实数满足的不等关系式是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于基础题.

11．对于函数，其中．若，则________．

【答案】

【分析】代入计算得到，再计算，得到答案.

【详解】，故，

.

故答案为：

12．函数在区间内不存在零点，则正实数的取值范围是________．

【答案】

【分析】由题意利用正弦函数的零点，可得，或，，由此求得正实数的取值范围．

【详解】解：函数在区间内不存在零点且，所以，即，所以，

因为，所以，

或，解得或，

因为，所以或，

故正实数的取值范围为，

故答案为：．

二、单选题

13．设，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】利用二倍角公式及充分条件必要条件的概念即得.

【详解】由，可得，

所以由可推出，而由推不出，

所以“”是“”的充分不必要条件.

故选：A.

14．下列等式中不恒成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据向量的数量积的运算公式和向量的运算律，准确化简，即可求解。

【详解】由题意，根据向量的数量积的运算公式，可得，所以是正确；

根据向量的数量积的运算律，可得是正确；

由向量的数量积的运算公式，可得，所以不恒成立；

由，所以是正确的。

故选：C。

【点睛】本题主要考查了向量的数量积的运算公式及其运算律的应用，其中解答中熟记向量的数量积的运算公式和运算律是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。

15．在ABC中，．则的取值范围是（ ）

A．（0，] B．[，） C．（0，] D．[，）

【答案】C

【详解】试题分析：

由于，根据正弦定理可知，故．又，则的范围为.故本题正确答案为C.

【解析】三角形中正余弦定理的运用.

16．定义运算：，对于函数和，把函数在闭区间上的最大值称为与在闭区间上的“绝对差”，记为，则

A． B． C．1 D．

【答案】A

【解析】根据题意将写成分段函数的形式,再分段讨论求解即可.

【详解】由题意,先化简,则.

故,故.

故答案为：

【点睛】本题主要考查了新定义与三角函数值域的问题,需要根据题意分段讨论三角函数的范围,再根据新定义的问题进行分析即可.属于中等题型.

三、解答题

17．已知向量是同一平面内的两个向量，其中．

(1)若，且与垂直，求与的夹角；

(2)若，向量满足，且，求的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据垂直得到，得到答案.

（2）计算得到，得到答案.

【详解】（1）与垂直，则，

故，，故.

（2），故，即，

即，故.

18．设函数

（I）求函数的最小正周期；

（II）设函数对任意，有，且当时，；求函数在上的解析式．

【答案】（I）；（II）

【详解】

（I）函数的最小正周期

（2）当时，

当时，

当时，

得：函数在上的解析式为

19．在数学建模课上，老师给大家带来了一则新闻：“2019年8月16日上午，高423米的东莞第一高楼民盈·国贸中心2号楼（以下简称“国留中心’）正式封顶，随着最后一方混凝土浇筑到位，标志着东堇最高楼纪录诞生，由东莞本地航母级企业民盈集团刷新了东莞天际线，比之前的东莞第一高楼台商大厦高出134米，“在同学们的叹中，老师提出了问盈：国贸中心真有这么高我我们能否运用所学知识测量脸证一下？一周后，两个兴趣小组分享了他们各自的测量方案．

第一小组采用的是“两次测角法”，他们在国贸中心隔壁的会展中心广场上的A点测得国贸中心顶部的仰角为，正对国贸中心前进了s米后，到达B点，在B点测得国贸中心顶部的仰角为，然后计算出国贸中心的高度（如图1）．

第二小组采用的是“镜面反射法”，在国贸中心后面的新世纪豪园一幢11层楼（与国贸中心于同一水平面，每层约3米）楼顶天台上，进行两个操作步骤：

①将平面镜置于天台地面上，人后退至从镜中能看到国贸大厦的顶部位置，测量出人与镜子的距离为米；

②正对国贸中心，将镜子前移a米，重复①中的操作，测量出人与镜子的距离为米，然后计算出国贸中心的高度（如图2）．

实际操作中，第一小组测得米，，最终算得国贸中心的高度为；第二小组测得米，米，米，最终算得国贸中心的高度为假设测量者的身高h都为1.60米．

(1)请你用所学知识后两个小组完成计算（参考数据：，结果保留整数）；

(2)你认为哪个小组的方案更好？请说明理由．

【答案】(1)；

(2)第一组方案更好，理由见解析

【分析】（1）根据三角函数知识得到，根据相似得到，代入数据计算得到答案.

（2）第一组方案测量方法容易理解，普适性强，计算思路简洁，操作性强，故更好.

【详解】（1）第一小组：，，，

故，

；

第二小组：，，

，，

故，故，

故.

（2）第一组方案更好：

①：测量方法容易理解，普适性强；

②：计算思路简洁；

③：操作性强；

20．设函数定义域为D，对于区间，如果存在，使得，则称区间I为函数的“P区间”．

(1)求证：是函数的“P区间”；

(2)判断是否是函数的“P区间”，并说明理由；

(3)设为正实数，若是函数的“P区间”，求的取值范围．

【答案】(1)证明见解析

(2)不是，理由见解析

(3)

【分析】（1）取特殊值验证得到答案.

（2）根据三角函数的有界性得到，得到答案.

（3）代入计算得到区间至少上有两个不同的偶数，考虑，，，四种情况，计算得到答案.

【详解】（1），取，，则，

故是函数的“P区间”；

（2），

则，

故不是函数的“P区间”，

（3），，

则，故，

故，，不妨设，

则，，故，

即在区间至少上有两个不同的偶数，，即，

当，区间为，满足；

当时，，不满足；

当时，，满足；

当时，，区间至少上有两个不同的偶数，满足；

综上所述：

21．对于函数（），若存在非零常数，使得对任意的，都有成立，我们称函数为“函数”，若对任意的，都有成立，则称函数为“严格函数”．

(1)求证：，是“函数”；

(2)若函数是“函数”，求的取值范围；

(3)对于定义域为的函数，．函数是奇函数，且对任意的正实数，均是“严格函数”．若，，求的值

【答案】(1)证明见解析

(2)

(3)0

【分析】（1）取非零常数，证明函数满足即可；

（2）根据函数是“函数”，可推出恒成立，化简为，结合余弦函数性质可得答案；

（3）由“严格函数”的定义可知函数为单调递增函数，再结合是奇函数，利用其对称性即可求得答案.

【详解】（1）证明：取非零常数，

则对任意的，都有，

因为，即成立，

故，是“函数”.

（2）函数是“函数”，，

则，即，

整理得，而，

故，

即的取值范围为；

（3）因为对于任意，对任意的，都有成立，

则在R上为单调增函数，

令，，由题意知为奇函数，

因为，，

所以，

所以，则.

【点睛】关键点睛：本题是给出新的函数定义，然后根据该定义解决问题，解答此类题目的关键是理解新定义，明确其含义，根据其含义明确函数的性质，继而解决问题.