2022-2023学年上海市七宝中学高一下学期期中数学试题含解析

2022-2023学年上海市七宝中学高一下学期期中数学试题

一、填空题

1．角度大小为7弧度的角是第________象限角

【答案】一

【分析】把弧度化为度数并结合终边相同角的定义变形判断．

【详解】7弧度，所以第一象限．

故答案为：一．

2．已知向量，，则的坐标为__________.

【答案】

【分析】运用向量坐标加、减、数乘运算求解即可.

【详解】因为，，

所以.

故答案为：.

3．的值为__________.

【答案】

【分析】由两角差的余弦公式化简求值.

【详解】.

故答案为:.

4．若，则与的夹角为__________.

【答案】

【分析】根据数量积的定义结合已知计算即可.

【详解】解：因为，

所以，

又因，

所以与的夹角为.

故答案为：.

5．函数，的最大值为______

【答案】1

【分析】求出的范围，然后由正弦函数性质得最大值．

【详解】，则，所以当，即时，．

故答案为：1．

6．已知2弧度的圆心角所对的弧长为4厘米，则此圆心角所夹的扇形面积为_____.

【答案】4

【分析】运用扇形的弧长公式求得扇形的半径，再运用扇形的面积公式计算即可.

【详解】由题意知，，，

所以扇形的半径，

所以扇形的面积.

故答案为：4.

7．函数的定义域为______．

【答案】

【分析】利用整体代入法求得的定义域.

【详解】令，，可得，，

故函数的定义域为．

故答案为：

8．在中，内角所对的边分别为 ，若 ，则的值为____________.

【答案】/

【分析】利用正弦定理将边化角，再利用两角和的正弦公式计算可得.

【详解】在中，∴，

由正弦定理可得，

即，

因为，，可得.

故答案为：

9．已知点在直线上，点在直线外，若，且，，则的最小值为______.

【答案】

【分析】根据条件可得出 从而得出，进而得出BC，根据题意知，当时，最小，从而得出可得出的最小值．

【详解】根据题意，当时，最小；

 由，

  ，

∴ ，即，

∴ ，

∴当时，由面积法得 ，，

所以的最小值为.

故答案为：

10．已知函数（），其图像的最高点从左到右依次记为，其图像与轴的交点从左到右依次记为，则____.

【答案】

【分析】由函数可得,分别写出各点坐标,进一步得到向量坐标,求数量积时会发现每一个数量积均为,整理后即可得到结果.

【详解】由题可知，，

,,为，…，，

,,，…，，

所以，

，

所以，

所以.

故答案为：.

11．函数在区间内不存在零点，则正实数的取值范围是________．

【答案】

【分析】由题意利用正弦函数的零点，可得，或，，由此求得正实数的取值范围．

【详解】解：函数在区间内不存在零点且，所以，即，所以，

因为，所以，

或，解得或，

因为，所以或，

故正实数的取值范围为，

故答案为：．

12．设函数，其中k是一个正整数，若对任意实数a，均有，则k的最小值为______．

【答案】

【分析】首先化简函数，

，

根据题意最小正周期，可得，即可得解.

【详解】

，

若对任意实数a，均有，

则最小正周期，即，即，

由，所以，所以则k的最小值为.

故答案为：

二、单选题

13．如果角的终边经过点，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由三角函数的定义可求得的值.

【详解】由三角函数的定义可得.

故选：D.

【点睛】本题考查利用三角函数的定义求值，考查计算能力，属于基础题.

14．中，“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】等价于，由正弦定理以及充分必要条件的定义判断即可.

【详解】在三角形中，因为，所以，即

若，则，即，

若，由正弦定理，得，根据大边对大角，可知

所以“”是“”的充要条件

故选：C

15．函数在区间上的图像如图所示，将该函数图像上各点的横坐标缩短到原来的一半（纵坐标不变），再向右平移个单位长度后，所得到的图像关于点对称，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由周期求出，代点求出的值，可得函数的的解析式，再根据函数的对称性求出的值，进而可得结论．

【详解】由函数的图象可得

，

又函数过点，得，又，可知．

故函数的解析式为．

把的图象各点的横坐标缩小到原来的一半（纵坐标不变），再向右平移个单位长度后，得到的图象，

∵所得图象关于点对称，，即

即，解得：，，

由，可得当时，的最小值为．

故选：C

16．在△中，为中点，为中点，则以下结论：① 存在△，使得；② 存在三角形△，使得∥，则 （    ）

A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立

C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立

【答案】B

【分析】建立坐标系，设出坐标，利用坐标关系表示出即可判断.

【详解】不妨设，，，，，

① ，，若，∴，

∴，满足条件的明显存在，∴①成立；

② F为AB中点，，与交点即重心，

∵为三等分点，为中点，∴与不共线，即②不成立；

故选：B

三、解答题

17．已知函数.

(1)求函数的最小正周期；

(2)设，且，求的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用二倍角公式及辅助角公式化简函数并运用三角函数周期公式求解即可.

（2）由范围可得的范围，进而由同角三角函数的平方关系可求得的值，再利用配凑角及两角和的正弦公式可求得的值.

【详解】（1）因为，

所以.

即的最小正周期为.

（2）因为，

所以，

又因为，

所以，

所以，

所以.

18．在中，内角的对边分别为，，，已知．

(1)求的值；

(2)若，，求的周长．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）直接利用余弦定理求解；

（2）化简得，求出，，即得解.

【详解】（1）解：由已知得：          

由余弦定理得.

（2）解：，解得，

所以，，       

由余弦定理知 ，

于是，

解得，             

故的周长为.

19．如图，有一条宽为的笔直的河道（假设河道足够长），规划在河道内围出一块直角三角形区域（图中）养殖观赏鱼，，顶点A到河两岸的距离两点分别在两岸上，设.

(1)若，求养殖区域面积的最大值；

(2)现拟沿着养殖区域三边搭建观赏长廊（宽度忽略不计），若，求观赏长廊总长的最小值.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）由题可得，再利用基本不等式即得；

（2）由题可知，利用同角关系式可转化为，然后利用函数的单调性即求.

【详解】（1）当时，，

所以，

又因为（当且仅当时等号成立），

所以，

于是，

因此，养殖区域面积的最大值为.

（2）由题意，，

所以，

所以的周长，

其中.

设，则，

所以.

所以，

于是当时，，即，

因此，观赏长廊总长的最小值为.

20．已知O为坐标原点，对于函数，称向量为函数的伴随向量，同时称函数为向量的伴随函数.

(1)设函数，试求的伴随向量；

(2)记向量的伴随函数为，求当且时的值；

(3)由（1）中函数的图象（纵坐标不变）横坐标伸长为原来的2倍，再把整个图象向右平移个单位长度得到的图象，已知，，问在的图象上是否存在一点P，使得.若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由.

【答案】(1)

(2)

(3)存在点，使得.

【分析】（1）利用诱导公式求出，从而得到的伴随向量；（2）根据向量得到，利用利用凑角法得到；（3）先求出，再设出P点坐标，利用向量垂直关系得到方程，变形整理后得到，根据等式左右两边的取值范围，得到当且仅当时，和同时等于，此时.

【详解】（1），故；

（2）由题意得：，故，由于，所以，所以，所以

.

（3），所以，假设存在点，使得，则即，因为，所以，所以，又因为，所以当且仅当时，和同时等于，此时，故在函数的图象上存在点，使得.

21．已知向量，，函数.

(1)求函数的解析式和单调递增区间；

(2)若在中，内角所对的边分别为 ，,试判断这个三角形解的个数，并说明理由；

(3)若时，关于的方程恰有三个不同的实根，，，求实数的取值范围及的值．

【答案】(1)，增区间是；

(2)答案见解析；

(3)时，原方程有三个解，且．

【分析】（1）由数量积的坐标表示计算出并由两角和的正弦公共化简；

（2）由正弦定理求得，再利用的范围得出三角形解的个数；

（3）化简方程得或，由此可得时原方程有三解，从而求得三解的和．

【详解】（1）由题意，

由，得，

所以增区间是；

（2），又，即，

所以，，

由正弦定理，，

当时，，，因此，只有一解；

时，，无解；

时，，，三角形只有一解，

时，，又，因此，所以有两解，可能为锐角也可能为钝角．

综上，时，三角形无解，或时三角形只有一解，时，三角形有两解；

（3）方程为，即，，

，或，

因为，所以，

记，原方程有三个解，则，

时，递增，时，递减，，，，

所以，即时，有两解，记两解为，则，

综上，时，原方程有三个解，且．