2022-2023学年上海市青浦高级中学高一下学期期中数学试题含解析

2022-2023学年上海市青浦高级中学高一下学期期中数学试题

一、填空题

1．若点是角终边上的一点，则______

【答案】/

【分析】由终边上的点及三角函数的定义求余弦值即可.

【详解】由三角函数定义.

故答案为：

2．若扇形的圆心角为，半径为4，则扇形的面积是______

【答案】/

【分析】利用扇形面积公式求扇形面积即可.

【详解】扇形弧长为，则扇形面积为.

故答案为：

3．已知，若与的终边相同，且，则______

【答案】

【分析】根据已知条件，结合终边相同的角的定义，即可求解.

【详解】因为与的终边相同，

且，即，

所以，

故答案为：或

4．已知，则______

【答案】

【分析】利用诱导公式化简求值.

【详解】.

故答案为：

5．已知函数是偶函数，则的取值是______

【答案】

【分析】根据诱导公式以及函数的奇偶性，求得的值.

【详解】解：根据诱导公式可知，当时，，

而为偶函数，所以的值为.

故答案为：.

6．已知向量、、满足关系式，那么可用向量、表示向量______

【答案】

【分析】由等式变形可得出关于、的表达式.

【详解】因为，所以，，则.

故答案为：.

7．已知，______

【答案】/

【分析】由，利用齐次运算及商数关系求值即可.

【详解】由.

故答案为：

8．已知，且有，则___________.

【答案】

【解析】运用正弦、余弦的二倍角公式化简已知等式，结合同角的三角函数关系式进行求解即可.

【详解】，

因为，所以，

因此由，

而，把代入得：

，而，

因此.

故答案为：

9．函数的定义域是_________

【答案】

【分析】根据函数的解析式，列出解析式成立的条件，即可求得函数的定义域．

【详解】由题意知，，

即，

所以的定义域为：

故答案为：

【点睛】关键点点睛：本题主要考查了函数的定义域的求解，根据函数的解析式列出满足的条件是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．

10．在中，已知，，设，以下说法正确的是______

①若有两解，；②若有唯一解，

③若无解，；④当，外接圆半径为6

【答案】①③④

【分析】由题设可得到上的高为，根据各项三角形解的个数及三角形性质判断的范围，应用正弦定理求外接圆半径.

【详解】

由，即到上的高为，

若有两解，则，即，①对；

若有唯一解，则或，即，②错；

若无解，则，即，③对；

当时，△ABC外接圆半径，④对.

故答案为：①③④

11．若，，且，则______（提示：在上严格增函数）

【答案】1

【分析】根据已知条件先分析的单调性和奇偶性，然后将已知等式变形可得，根据单调性奇偶性可知的关系，则结果可求.

【详解】因为，所以，

所以，所以且，

设，在上单调递增，在上单调递增，

所以在上单调递增，

又因为，定义域关于原点对称，

所以为奇函数，

由可知，所以，

所以，所以，所以，

故答案为：.

【点睛】思路点睛：利用函数单调性和奇偶性解形如的等式的思路：

（1）利用奇偶性将等式变形为；

（2）根据单调性得到与的等量关系；

（3）结合函数定义域完成相关计算.

12．已知函数，，若在区间内没有零点，则的取值范围是____________________.

【答案】

【分析】化简变形，根据三角函数的性质求出的零点，根据条件得出区间内不存在整数，再根据可得为或的子集，从而得出的范围．

【详解】．

令，可得，．

令，解得，

∵函数在区间内没有零点，∴区间内不存在整数．

又，∴，

又，∴或．

∴或，解得或．

∴的取值范围是，故答案为．

【点睛】本题主要考查了通过降幂公式化简三角函数，正弦函数的性质，函数零点的计算，解题的关键是将题意转化为集合间的关系，得到不等关系，属于中档题．

二、单选题

13．下列式子中，不能化简为的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】利用向量加减法法则化简各式，即可得答案.

【详解】A：；

B：；

C：；

D：；

故选：B

14．在中，若，则下列结论错误的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由正弦定理结合三角形中的大边对大角得，由余弦函数性质判断B，然后结合二倍角公式判断CD．

【详解】设三边所对的角分别为，

由，则∴，正确；

由余弦函数性质知，B正确；

，，

当为钝角时就有，C错误，；

，，∴，D正确．

故选：C．

【点睛】本题考查三角形内角和定理，考查正弦定理、余弦函数性质，考查正弦、余弦的二倍角公式，考查学生的逻辑推理能力，属于中档题．

15．已知，关于该函数有下列四个说法：

①的最小正周期为；

②在上单调递增；

③当时，的取值范围为；

④的图象可由的图象向左平移个单位长度得到．

以上四个说法中，正确的个数为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】A

【分析】由正弦型函数的性质判断最小正周期、区间单调性和值域，以及图象平移过程.

【详解】对于，它的最小正周期为，故①错误；

在上，，函数单调递增，故②正确；

当时，的取值范围为，故③错误；

的图象向右平移个单位长度得到，故④错误，

故选：A

16．克罗狄斯·托勒密（Ptolemy）所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号，根据以上材料，完成下题：如图，半圆的直径为2，为直径延长线上的一点，，为半圆上一点，以为一边作等边三角形，则当线段的长取最大值时，（ ）

A．30° B．45° C．60° D．90°

【答案】C

【解析】根据已知条件先分析出的最大值并得到之间的关系，由此借助余弦定理求解出的长度，再利用余弦定理即可求解出的大小.

【详解】因为，且为等边三角形，，

所以，所以，所以的最大值为，取等号时，

所以，不妨设，

所以，所以解得，

所以，所以，

故选：C.

【点睛】关键点点睛：解答问题的关键是理解题中所给的定理，由此分析得到角的关系，并借助余弦定理即可求解出结果.

三、解答题

17．已知是锐角，是钝角，，，

(1)求和；

(2)求的值．

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）由平方关系求得、，再应用差角正余弦公式求值即可；

（2）应用二倍角正切公式求值.

【详解】（1）由题设，，

，

.

（2）由（1）知：，而.

18．在△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c

(1)若，求∠B；

(2)若，试判断△ABC的形状．

【答案】(1)

(2)△ABC是等腰三角形

【分析】（1）由二倍角正弦公式及三角形内角的性质可得，进而确定其大小；

（2）由余弦边角关系可得，整理化简即可确定形状.

【详解】（1）由，而，故，

又，故.

（2），故，即，

所以△ABC是等腰三角形.

19．已知函数．

(1)求的单调递增区间；

(2)若对任意都有，求实数t的取值范围．

【答案】(1)单增区间为

(2)

【分析】（1）利用倍角正余弦公式、辅助角公式化简函数式，由整体法求增区间；

（2）由题设知，结合给定闭区间列不等式求参数范围.

【详解】（1）由，

令，则，

所以的单调递增区间为.

（2）由，则，故，

又，则，所以，即.

20．落户上海的某休闲度假区预计于2022年开工建设.如图，拟在该度假园区入口处修建平面图呈直角三角形的迎宾区，，迎宾区的入口设置在点A处，出口在点B处，游客可从入口沿着观景通道A-C-B到达出口，其中米，米，也可以沿便捷通道A-P-B到达出口（P为△ABC内一点）.

(1)若△PBC是以P为直角顶点的等腰直角三角形，某游客的步行速度为每分钟50米，则该游客从入口步行至出口，走便捷通道比走观景通道可以快几分钟？（结果精确到1分钟）

(2)园区计划将△PBC区域修建成室外游乐场，若，该如何设计使室外游乐场的面积最大，请说明理由.

【答案】(1)3

(2)当时，室外游乐场的面积最大.

【分析】（1）由三角形PBC为等腰直角三角形，利用勾股定理求出PC的长，在三角形PAC中，利用余弦定理求出的PA长即可，进而计算即可得出结果；

（2）在三角形PBC中由的度数表示出的度数，利用正弦定理表示出PB与PC，进而表示出三角形PBC面积利用正弦函数的值域确定出面积的最大值即可.

【详解】（1）由题设，米，米，在中，由余弦定理得

，于是 米.

游客可从入口沿着观景通道A-C-B到达出口，所需时间为分钟，

游客沿便捷通道A-P-B到达出口所需时间为分钟，

所以该游客从入口步行至出口，走便捷通道比走观景通道可以快分钟.

（2）,设则 ，

在中，.由正弦定理得 ，

得.

所以面积，

当时，面积的最大值为平方米.

【点睛】思路点睛：以三角形为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强解答这类问题，两角和与差的正余弦公式，诱导公式以及二倍角公式，一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.

21．对于函数，若在其定义域内存在实数，t，使得成立，称是“t跃点”函数，并称是函数的“t跃点”．

(1)若函数，x∈R是“跃点”函数，求实数m的取值范围；

(2)若函数，x∈R，求证：“”是“对任意t∈R，为‘t跃点’函数”的充要条件；

(3)是否同时存在实数m和正整数n使得函数在上有2021个“跃点”？若存在，请求出所有符合条件的m和n的值；若不存在，请说明理由．

【答案】(1)

(2)见解析

(3)存在，或或.

【分析】（1）根据函数解析式计算，，，根据“跃点”函数的定义，利用辅助角公式和三角函数的性质求得实数的取值范围；

（2）先将“对任意t∈R，为‘t跃点’函数”等价转化为“对于任意实数，关于的方程都有解”，然后利用取特值证明“”的必要性，利用三角函数的诱导公式证明充分性；

（3）代入计算，化简得，根据正弦函数的周期性和图象，讨论可得答案.

【详解】（1）由已知得存在实数，使得，

∴，

∴实数m的取值范围是.

（2）由题意得“对任意t∈R，为‘t跃点’函数”等价于：

对是任意实数，关于的方程都有解，

则对于时有解，即,∴；

反之，当时，,等价于

，显然，是此方程的解，故此方程对于任意实数都有实数解.

综上所述，“”是“对任意t∈R，为‘t跃点’函数”的充要条件；

（3）由已知得，，

化简得，的最小正周期为；

根据函数在上的图象可知：

①当时，在有个“跃点”，故不可能有2021个“跃点”；

②当时，在有个“跃点”，此时；

③当或时，在上有个“跃点”，故；

综上：或或.

【点睛】关键点睛：本题考查函数的新定义，关键在于紧抓函数的新定义，综合运用函数的单调性、周期性、值域等性质，运用参变分离等方法得以解决.