2022-2023学年上海市外国语大学附属外国语学校高一下学期期中数学试题含解析

这是一份2022-2023学年上海市外国语大学附属外国语学校高一下学期期中数学试题含解析，共14页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年上海市外国语大学附属外国语学校高一下学期期中数学试题 一、填空题1．两个非零平面向量的夹角的取值范围是____________．【答案】【分析】根据平面向量的夹角的定义即可得夹角的取值范围.【详解】由题意两个非零平面向量的夹角的取值范围是，故答案为：2．函数的最小正周期为___________．【答案】【分析】根据正切函数的周期公式即可求得答案.【详解】由题意函数的最小正周期为，故答案为：3．若，且，则的坐标为____________．【答案】或【分析】根据向量共线设，再结合向量的模求解即可.【详解】由，可设，则，由，得，解得，故或，故答案为：或4．已知，点D满足，若，则_________．【答案】【分析】由平面向量基本定理结合可得，即可求出的值.【详解】由，得，所以，即，所以，所以，，故．故答案为：.5．若方程的两根为与，则___________．【答案】【分析】根据两角和差的正余弦公式化简后转化为正切函数即可得解.【详解】由题意，，，故答案为：6．若，且与的夹角为钝角，则实数t的取值范围是__________．【答案】【分析】由已知得且不共线，结合向量的坐标运算可得出关于的不等式组，由此可解得实数的取值范围.【详解】因为，，且与的夹角为钝角，所以且不共线，则，解得且，即.故答案为：.7．若，点D在第一象限且，则实数的取值范围是____________．【答案】【分析】根据向量的坐标运算结合已知可求得点D的坐标，根据其在第一象限即可求得答案.【详解】由题意得，设，由可得，则，故，故D点坐标为，由于D在第一象限，故，即实数的取值范围是，故答案为：8．定义在上的函数的图像与的图像的交点为P，则点P到x轴的距离为____________．【答案】3【分析】设交点，则，联立和，变形整理即可求得答案.【详解】由题意设交点，则因为，则，令，即，所以，即，解得（负值舍去），即点P到x轴的距离为3，故答案为：39．在边长为的正六边形中，点为其内部或边界上一点，则的取值范围是___________．【答案】【分析】利用数量积的几何意义去求的取值范围即可解决.【详解】正六边形中，过点作于，  则，，，，由图可知，在方向上的投影的取值范围是，所以，，即，故的取值范围为.故答案为：.10．若，则的取值范围是_______________．【答案】【分析】根据已知条件，结合辅助角公式，化简得到，利用正弦函数的性质，即可求解.【详解】由，可得，因为，可得，所以.故答案为：.11．如图，在中，，为中点，为上一点，且满足，若的面积为，则的最小值为__________. 【答案】【分析】设，由，可得：再由，可得：，则，最后由可得解.【详解】设的面积为，为中点，又C、P、Q三点共线，，即则当且仅当时取得最小值.【点睛】本题考查了向量的模的运算和数量积运算及三角形的面积公式，考查了计算能力，属于中档题.12．在中，，且，则的取值范围是__________．【答案】【分析】运用余弦定理先求出，再利用正弦定理求出关于的表达式，作恒等变换，根据正弦函数的性质求出的值域.【详解】，由正弦定理得，。又， ， ；令，，则，；故答案为：. 二、单选题13．在中， “”是“”的                          A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】先判定充分性，然后判定必要性【详解】在中，，三角形中大边对大角，则由正弦定理可得，，，，充分性成立，由正弦定理可得，，则三角形中大边对大角，则，必要性也成立故选【点睛】本题主要考查了充分条件和必要条件的成立，在三角形中运用正弦定理进行求解，注意在三角形内角的取值范围．14．若所在平面内一点P满足，则P是的（    ）．A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心【答案】C【分析】设中点为D，根据向量等式结合向量的线性运算可推出点共线。，结合三角形重心性质，可得答案.【详解】设中点为D，  由可得，即点共线，且，则P为的重心.故选：C15．某人要作一个三角形，要求它的三条高的长度分别是，则该三角形（    ）．A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形C．一定是钝角三角形 D．有可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形【答案】C【分析】设的边上的高分别为,由此可令，，由余弦定理即可判断三角形形状.【详解】设的内角的对边分别是，且边上的高分别为,则,令，则，故，故A为钝角，又，A为三角形最大角，故该三角形为钝角三角形，故选：C16．锐角三角形中，是边上的高，若，则可表示为（    ）．A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意，求得向量在方向上投影的数量为，进而求得，即可求解.【详解】如图所示，因为，根据向量的数量积的几何意义，可得向量在方向上投影的数量为，所以.故选：D. 三、解答题17．如图，摩天轮上一点P在时刻t（单位:分钟)距离地面的高度y(单位:米)满足，已知该摩天轮的半径为50米，圆心O距地面的高度为60米，摩天轮做匀速转动，每3分钟转一圈，点P的起始位置在摩天轮的最低点处.（1）根据条件写出y关于t的函数解析式；（2）在摩天轮转动的一圈内，有多长时间点P距离地面的高度超过85米?【答案】（1）；（2）分钟【分析】（1）根据题意得到，，当时，，解得答案.（2）解不等式得到答案.【详解】（1）根据题意：，故，，，故.当时，，即，，故..（2），故，.解得，解得，故有分钟长的时间点P距离地面的高度超过85米.【点睛】本题考查了三角函数的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.18．已知两个平面向量与的夹角为，且记.（1）若，求实数的值；（2）若，求与的夹角.【答案】（1）；（2）；【分析】（1）根据得，进而根据向量数量积的运算律计算即可得答案；（2）由题知，进而计算得，，，进而结合夹角公式计算即可.【详解】（1）由得，即：，解得：，所以当时，.（2）当时，，所以，，，所以，所以与的夹角为【点睛】本题考查向量的数量积运算，夹角的计算，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于熟练掌握模的公式，夹角公式等.19．在平行四边形中，是的中点，交于点．(1)若，求实数与的值；(2)若，，且，则当点在边上运动时，求的取值范围．【答案】(1)，(2) 【分析】（1）以为基底可表示出，再以为基底表示出，进而得到的值；（2）设，以为基底表示出，根据向量数量积的定义和运算律，结合的范围可得结果.【详解】（1）  ，，；，，，，，.（2）  设，则，，，，即的取值范围为.20．已知数．(1)将函数解析式化为的形式；(2)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围；(3)将的图象先向左平移个单位，再将各点的横坐标伸长为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象.若关于的方程在上有且只有一个实数解，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）利用降幂公式、诱导公式以及辅助角公式可化简函数的解析式；（2）利用正弦型函数的基本性质求出函数在上的最大值和最小值，由参变量分离法可得出，即可求得实数的取值范围；（3）利用三角函数图象变换求出函数的解析式，分析可知直线与函数在上的图象只有一个公共点，数形结合可得出实数的取值范围.【详解】（1）解：.（2）解：因为，则，所以，，所以，，，因为不等式对任意恒成立，则，所以，对任意恒成立，则，解得.因此，实数的取值范围是.（3）解：将的图象向左平移个单位，可得到函数，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的倍（纵坐标不变），可得到函数的图象，当时，，因为关于的方程在上有且只有一个实数解，所以，直线与函数在上的图象只有一个公共点，如下图所示：由图可知，当时，直线与函数在上的图象只有一个公共点.因此，实数的取值范围是.21．已知函数，函数，设.（1）求证：是函数f（x）的一个周期；（2）当k=0时，求F（x）在区间上的最大值；（3）若函数F（x）在区间内恰好有奇数个零点，求实数k的值.【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）或或.【分析】（1）根据周期函数的定义进行证明即可；（2）利用换元法，结合二次函数的性质进行求解即可；（3）根据绝对值的性质，利用分类讨论思想、换元法，结合正弦型函数的性质进行求解即可.【详解】（1）因为，所以是函数f（x）的一个周期；（2）当k=0时，因为，所以，令，因为，所以，因此，即，因为，所以，因此有，对称轴为：，因为，所以当时，函数，即F（x）在区间上的最大值为；（3）当时，由可得：，令，因为，所以，因此，即，因为，所以，因此，该二次函数的对称轴为：，因此当时，该二次函数单调递减，所以所以当时，即时，有一解，当时，即时，有一解，当时，即时，有二解，当时，由可得：，令，因为，所以，因此，即，因为，所以，因此，该二次函数的对称轴为：，因此当时，该二次函数单调递增，所以所以当时，即时，有一解，当时，即时，有一解，当时，即时，有二解，综上所述：当函数F（x）在区间内恰好有奇数个零点，或或.【点睛】关键点睛：利用分类讨论思想，结合换元法是解题的关键.