2022-2023学年上海市文来中学高一下学期期中数学试题含解析

2022-2023学年上海市文来中学高一下学期期中数学试题

一、填空题

1．扇形的半径为2，弧长为4，则该扇形的面积为___________.

【答案】4

【分析】利用扇形的面积计算公式即可得出．

【详解】根据扇形的面积公式得，．

故答案为：4

2．已知，且是第二象限角，则___________．

【答案】

【详解】∵是第二象限角，

∴．

又，

∴．

答案：

3．在中，，，，那么的面积等于______．

【答案】

【分析】由三角形面积公式即可求

【详解】由三角形面积公式得.

故答案为：

4．已知向量，，则与共线，则实数_________．

【答案】

【分析】根据向量平行得到，解得答案.

【详解】向量，，与共线，则，解得.

故答案为：

5．已知，，则满足条件的__________（用反三角记号表示）

【答案】

【分析】根据反三角函数求解即可.

【详解】因为，，所以.

故答案为：

6．已知，则在上的数量投影为__________．

【答案】

【分析】根据题意，由向量的数量投影的定义，代入计算，即可得到结果.

【详解】因为，设与的夹角为，

则在上的数量投影为

故答案为:

7．设是两个单位向量，向量，且，则的夹角为______.

【答案】/

【分析】利用向量数量积的定义和运算律求解即可.

【详解】由可得，

又因为是两个单位向量，所以，

所以，

解得，即的夹角为，

故答案为：

8．函数的定义域是_________

【答案】

【分析】根据函数的解析式，列出解析式成立的条件，即可求得函数的定义域．

【详解】由题意知，，

即，

所以的定义域为：

故答案为：

【点睛】关键点点睛：本题主要考查了函数的定义域的求解，根据函数的解析式列出满足的条件是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．

9．已知函数，如果存在实数，，使得对任意的实数，都有，则的最小值为______．

【答案】

【解析】根据存在实数，，使得对任意的实数，都有，得到分别是函数的最小值和最大值，则一定是半个周期的整数倍，再求出函数的最小正周期即可.

【详解】因为存在实数，，使得对任意的实数，都有，

所以分别是函数的最小值和最大值，

所以一定是半个周期的整数倍，

又函数的最小正周期是，

所以，

所以的最小值为

故答案为：

【点睛】本题主要考查三角函数的周期性的求法及应用以及最值问题，还考查了分析求解问题的能力，属于基础题.

10．已知函数，且，则___．

【答案】/

【分析】利用正弦函数的的对称性可得，由此求得的值．

【详解】∵函数，

，

（），

则由正弦函数的对称性可得：，

所以，

故答案为：.

11．海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得，，，，则A、B两点的距离为___________m．

【答案】

【分析】根据已知的边和角，在中，由正弦定理解得，在中，由余弦定理得.

【详解】因为，，所以，，所以，

又因为，所以，，

在中，由正弦定理得，即，解得，

在中，由余弦定理得，

所以，解得．

故答案为：

12．已知满足，当，，若函数在上恰有八个不同的零点，则实数的取值范围为_____.

【答案】

【分析】根据函数的周期性，作出函数在上的图象，将函数的零点个数问题转化为函数的图象的交点个数问题，数形结合，可得答案.

【详解】由题意知满足，故是以8为周期的函数，

结合，作出函数在上的图象，如图示：

因为，

故时，即或，

则在上恰有八个不同的零点，即等价于的图象和直线有八个不同的交点，

由图象可知，和的图象有6个不同的交点，

则和的图象需有2个不同的交点，即，

故，

则实数的取值范围为，

故答案为：

【点睛】方法点睛：根据函数的周期以及解析式，可作出函数的图象，将零点问题转化为函数图象的交点问题，数形结合，列出不等式，即可求解.

二、单选题

13．下列说法正确是（    ）

A．角60和角600是终边相同的角

B．第三象限角的集合为

C．终边在轴上角的集合为

D．第二象限角大于第一象限角

【答案】C

【分析】根据终终边相同角的表示，可以判断A错误，C正确；根据象限角的表示可以判断B错误；举特例可以判断D错误.

【详解】，与终边不相，故A错误；

第三象限角的集合为，故B错误；

终边在轴上角的集合为，

即，

即，故C正确；

是第二象限角，第一象限角，，

故D错误；

故选：C.

14．函数的图像向左平移个单位得到下列哪个函数（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据相位平移,结合诱导公式即可求解.

【详解】的图像向左平移个单位得到，

故选：D

15．阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置.我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“定楼神器”，如图1.由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移和时间的函数关系为，如图2，若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为，，，且，，则在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m的总时间为（    ）

A． B． C．1 D．

【答案】C

【分析】先根据周期求出，再解不等式，得到的范围即得解.

【详解】因为，，，所以，又，所以，

则，由可得，

所以，

所以，故，

所以在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m的总时间为1s．

故选：C.

16．已知，给出下述四个结论:

①是偶函数;  ②在上为减函数;

③在上为增函数; ④的最大值为.

其中所有正确结论的编号是（    ）

A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①④

【答案】D

【分析】利用偶函数的定义即可判断①；利用举反例即可判断②和③；分四个范围对进行化简，然后利用三角函数的性质进行求值域，即可得到时的最值，结合偶函数即可判断

【详解】解：对于①，易得的定义域为，关于原点对称，

因为，所以是偶函数，故正确；

对于②和③，因为，

，

且，所以在不是减函数，在也不是增函数，故②，③错误；

对于④，当时，，

因为，所以，

所以，所以；

当时，，

因为，

所以，所以；

当时，；

当时，，

因为，

所以，所以，

所以，综上所述，当时，的最大值为，由于为偶函数，所以当时，的最大值也为，故的最大值为，故④正确；

故选：D

【点睛】方法点睛：利用四个象限对进行讨论，根据三角函数符号去掉绝对值，然后利用三角函数的性质进行求解值域

三、解答题

17．已知.

(1)化简；

(2)已知，求的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）直接利用诱导公式及同角三角函数基本关系化简；

（2）直接利用倍角公式求解.

【详解】（1）；

（2）由（1）得，

，

.

18．已知单位向量，，与的夹角为.

(1)求证；

(2)若，，且，求的值.

【答案】(1)证明见解析

(2)或.

【分析】(1)利用向量数量积的运算即可证明；

(2)根据向量的模和数量积的计算公式即可求解.

【详解】（1）因为，与的夹角为，

所以，

所以.

（2）由得，

即.

因为，与的夹角为，

所以，，

所以，

即.所以或.

19．已知向量.

(1)求函数的最小正周期和严格増区间，

(2)求函数在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时的值.

【答案】(1)最小正周期为；严格增区间为

(2)故时，取得最大值为；当时，取得最小值，最小值为.

【分析】（1）首先根据平面向量数量积运算公式求出的解析式，然后通过三角函数恒等变换公式将其化简整理成余弦型函数，最后根据余弦型函数图像求解其周期与增区间.

（2）直接根据三角函数的图像及其性质求解上的最大值与最小值即可.

【详解】（1）已知向量，，

所以.

故函数的最小正周期为；

由，解得：，，

故函数的严格增区间为.

（2）由于，得.

故当，即时，取得最大值，最大值为；

当，即时，取得最小值，最小值为.

20．在中，角的对边分别为，已知.

(1)求角的大小；

(2)若，且为锐角三角形，求的周长的取值范围；

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）直接利用正余弦定理即可求解；

（2）利用正弦定理将周长转化为关于角的三角函数，利用三角函数的值域即可求解；

【详解】（1）由正弦定理，，

由

可得，

由余弦定理，

则，则，

因为，所以；

（2）由为锐角三角形，，可得，

由正弦定理，则，

则，

则的周长为，

由，则，因为，整理得：

，解得或（舍去），

所以，则周长范围是.

21．已知函数，，如果对于定义域D内的任意实数x，对于给定的非零常数P，总存在非零常数T，恒有成立，则称函数是D上的P级递减周期函数，周期为T；若恒有成立，则称函数是D上的P级周期函数，周期为T.

(1)判断函数是R上的周期为1的2级递减周期函数吗，并说明理由？

(2)已知，是上的P级周期函数，且是上的严格增函数，当时，.求当时，函数的解析式，并求实数P的取值范围；

(3)是否存在非零实数k，使函数是R上的周期为T的T级周期函数？请证明你的结论.

【答案】(1)是，理由见解析；

(2)当时，，且；

(3)存在，.

【分析】（1）利用P级递减周期函数定义，计算验证作答.

（2）根据给定条件，利用P级周期函数定义，依次计算时解析式，根据规律写出结论作答.

（3）假定存在符合题意的k值，利用P级周期函数定义列出方程，探讨方程解的情况即可作答.

【详解】（1）依题意，函数定义域是R，

，

即，成立，

所以函数是R上的周期为1的2级递减周期函数.

（2）因，是上的P级周期函数，则，即，

而当时，，当时，，，

当时，，则，

当时，，则，

……

当时，，则，

并且有：当时，，当时，，当时，，……，

当时，，

因是上的严格增函数，则有，解得，

所以当时，，且.

（3）假定存在非零实数k，使函数是R上的周期为T的T级周期函数，

即，恒有成立，则，恒有成立，

即，恒有成立，当时，，则，，

于是得，，要使恒成立，则有，

当，即时，由函数与的图象存在交点知，方程有解，

此时恒成立，则，即，

当，即时，由函数与的图象没有交点知，方程无解，

所以存在，符合题意，其中满足.

【点睛】思路点睛：涉及函数新定义问题，理解新定义，找出数量关系，联想与题意有关的数学知识和方法，再转化、抽象为相应的数学问题作答.