2022-2023学年上海市朱家角中学高一下学期期中数学试题含解析

2022-2023学年上海市朱家角中学高一下学期期中数学试题

一、填空题

1．若函数的最小正周期是______

【答案】

【分析】根据二倍角的余弦公式化简，再由余弦函数的周期性求解.

【详解】，

所以函数的最小正周期是.

故答案为:.

2．已知扇形的弧长为2cm，半径为2cm，则该扇形的圆心角______

【答案】

【分析】根据弧长公式直接求解.

【详解】设弧长为，半径为,则cm，2cm，

.

故答案为:.

3．已知，若与的终边相同，且，则___________.

【答案】

【分析】将角化成，再根据给定条件写出作答.

【详解】因，所以在间与的终边相同的角为，

依题意，.

故答案为：

4．为第三象限的角，且，则是第________象限的角．

【答案】二

【分析】根据为第三象限的角，写出的范围，再根据题意得，即可判断所在象限．

【详解】因为为第三象限的角，有，

所以，又，所以；

当为偶数时，是第二象限角，满足；

当为奇数时，是第四象限角，不满足；

故答案为二．

【点睛】本题主要考查象限角的范围以及三角函数值在各象限的符号．

5．已知，则______

【答案】1

【分析】根据诱导公式直接求解即可.

【详解】.

故答案为:1.

6．若，，则______.

【答案】

【分析】先由已知条件求出，然后利用两角差的正弦公式计算即可得到答案.

【详解】，，

，

故答案为：

【点睛】本题考查“给值求值”问题：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系.

7．若函数的振幅为3，最小正周期为，初相为，则它的解析式是___________________.

【答案】

【分析】根据振幅求得，根据最小正周期求得，根据初相求得，由此求得函数解析式.

【详解】由于函数振幅为，故，由函数的最小正周期得，初相即，所以函数的解析式为.

故填：.

【点睛】本小题主要考查的振幅、最小正周期和初相等知识，属于基础题.

8．函数在的递减区间是__________

【答案】

【分析】利用两角和的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后由正弦函数的性质得出结论．

【详解】，

由得，，

时，．即所求减区间为．

故答案为．

【点睛】本题考查三角函数的单调性，解题时需把函数化为一个角一个三角函数形式，然后结合正弦函数的单调性求解．

9．设函数（）满足，当时，，则______.

【答案】

【分析】根据题中条件（）把转化为，从而可求值.

【详解】因为函数（）满足，且当时，，

所以

.

故答案为：.

10．设函数定义域为，值域为，则的最大值为______

【答案】

【分析】作出函数的部分图像，由图像即可求解.

【详解】作出函数的部分图像如图所示：

因为的值域为，不妨设,

由图像可得.

故答案为:.

11．已知，下列四个命题中正确的序号为______

①函数的图像关于直线对称；

②函数在上单调递增；

③函数的图像关于点对称；

④函数在上的值域是.

【答案】③

【分析】根据正弦函数的图像与性质判断函数的对称性、单调性与值域即可.

【详解】对于①，，

所以函数的图像不关于直线对称，故①错误；

对于②，由，可得，

因为，所以函数在上不单调，故②错误；

对于③，，

所以函数的图像关于点对称，故③正确；

对于④，若，则，

所以，

所以函数在上的值域是，故④错误.

故答案为:③.

12．已知函数若存在实数a、b、c、d满足（其中），则的取值范围是______.

【答案】

【分析】首先作出函数的图像，然后利用对称性得到a+b,c+d的值，再通过图像求出c的取值范围，然后消去d，利用二次函数的图像和性质求出范围.

【详解】根据函数的性质作出图像，如图所示：

由图像的对称性可知：，，所以，

所以，

因为，结合二次函数的图像，3代入有：，

6代入有：，所以.

故答案为：.

【点睛】分段函数求值域或者范围的问题一般采用图像法，这里要求对初等函数的图像和性质必须要熟练掌握；另外求cd的范围很容易想到用基本不等式，但切忌一定要注意变量的范围，所以这里我们通过消元，最后通过函数的角度求出范围.

二、单选题

13．点是第 象限角终边上的点.（    ）

A．一 B．二 C．三 D．四

【答案】C

【分析】根据终边相同的角的定义可得点为,由,,

即可判定点所在位置

【详解】由题,,则点为,即为

,

点是第三象限角终边上的点

故选C

【点睛】本题考查终边相同的角,考查象限角,考查三角函数值的符号

14．已知，且，则的值为

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】试题分析：根据题意，由于，且有，说明，那么可知，因此结合二倍角公式可知，故选C.

【解析】二倍角公式

点评：解决的关键是对于半角公式和的运用，属于基础题．

15．为得到函数的图像，只需将函数的图像（    ）

A．向左平移个长度单位 B．向右平移个长度单位

C．向左平移个长度单位 D．向右平移个长度单位

【答案】A

【分析】设出向左平移个长度，利用诱导公式将余弦函数变为正弦函数，列出方程，求出答案.

【详解】，

将函数向左平移个长度单位，得到，

故，解得，

即向左平移个长度单位.

故选：A

16．已知函数，若在区间内有零点，则的取值范围是  

A． B．

C． D．

【答案】D

【详解】将化简可得，由得，当时，，由题意知存在，，即，所以，由知，当时，，，，…，所以选D.

点睛：本题主要考查了三角函数的化简，考查了三角函数的零点问题以及学生计算能力，难度一般；考查其性质时，首先应将其化为三角函数的一般形式，在化简过程中应注意降幂公式及辅助角公式的熟练运用，易得，由的范围，可得，即的取值范围，解出，根据可得结果.

三、解答题

17．已知α为第三象限角，.

(1)化简；

(2)若，求的值.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据诱导公式化简即可；

（2）由诱导公式可求，再由二倍角的余弦公式求解.

【详解】（1）

.

（2）,则.

所以.

18．已知.求

（1）的值；

（2）的值

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）根据同角三角函数关系可求得；利用两角和差正弦公式求得，结合的范围可求得结果；

（2）根据（1）可求得和；利用两角和差正切公式可求得结果.

【详解】（1），    ，，

又，    ，

又    

（2）由（1）知：，

【点睛】本题考查利用三角恒等变换公式求角或三角函数值的知识，涉及到两角和差正弦公式和正切公式的应用；易错点是忽略角所处的范围，造成求解错误.

19．在中，角的对边分别为，.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求的面积.

【答案】（1）.

(2) .

【详解】试题分析：（Ⅰ）由同角三角函数关系式由可得．由诱导公式和两角和差公式可得．（Ⅱ）由正弦定理可求得,根据三角形面积公式可求得三角形面积．

试题解析：解（Ⅰ）∵A、B、C为△ABC的内角，且，

∴，

∴ 6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

又∵，∴在△ABC中，由正弦定理，得

∴．

∴△ABC的面积 12分

【解析】1诱导公式,两角和差公式;2正弦定理．

20．已知函数，．

（1）求的最大值和最小值；

（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围．

【答案】（1）

（2）

【详解】（1）．

又，，即，

．

（2），，

且，

，即的取值范围是．

21．如图，某生态园将一三角形地块ABC的一角APQ开辟为水果园种植桃树，已知角A为的长度均大于200米，现在边界AP，AQ处建围墙，在PQ处围竹篱笆.

（1）若围墙AP,AQ总长度为200米，如何围可使得三角形地块APQ的面积最大？

（2）已知AP段围墙高1米，AQ段围墙高1.5米，造价均为每平方米100元.若围围墙用了20000元，问如何围可使竹篱笆用料最省？

【答案】（1）当米时，三角形地块APQ的面积最大为平方米；

（2）当米米时，可使竹篱笆用料最省．

【详解】试题分析：（1）易得的面积．当且仅当时，取“”．即当米；（2）由题意得，要使竹篱笆用料最省，只需其长度最短，又 ，当时, 有最小值,从而求得正解．

试题解析：设米，米．

（1）则的面积．

当且仅当,即时，取“”．即当米,米时, 可使三角形地块的面积最大．

（2）由题意得，即，要使竹篱笆用料最省，只需其长度最短，所以

，当时, 有最小值,此时当米,米时, 可使篱笆最省．

【解析】1、解三角形；2、重要不等式．