2021-2022学年浙江省湖州市吴兴区八年级（下）期末数学试卷(含解析)

2021-2022学年浙江省湖州市吴兴区八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本题共10小题，共30分）

1. 使二次根式有意义的的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 第届冬奥会计划于年月日在北京开幕，北京将成为全球首个既举办过夏季奥运会又举办过冬季奥运会的城市．下列各届冬奥会会徽部分图案中，是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 已知反比例函数的图象经过点，那么这个反比例函数的解析式是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 下列算式中，计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5. 用配方法解方程时，原方程应变形为(    )

A.  B.  C.  D.

6. 下列说法正确的是(    )

A. 一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形
B. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形
C. 对角线相等的四边形是矩形
D. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形

7. 一组数据：，，，，若添加一个数据，则不发生变化的统计量是(    )

A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差

8. 随着生产技术的进步，某制药厂生产成本逐年下降，两年前生产一吨药的成本是元，现在生产一吨药的成本是元．设生产成本的年平均下降为，下列所列的方程正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

9. 如图，菱形的边与轴平行，点的横坐标为，，反比例函数的图象经过，两点，则菱形的面积是(    )

A.  B.  C.  D.

10. 如图，在平行四边形中，，，是锐角，于点，为中点，连接，，若，则的长是(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本题共6小题，共24分）

11. 计算：______．
12. 一个六边形的内角和是______．
13. 若一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是______．
14. 某人次射击命中的环数分别为，，，，若这组数据的中位数为，则这组数据的方差为______ ．
15. 如图，反比例函数的图象上有一点，作轴，轴，交函数图象上点，，且，，则______．

16. 如图，在矩形中，，，为对角线所在直线的一个动点，点是平面上一点．若四边形为平行四边形，，则的值为______．

三、解答题（本题共8小题，共66分）

17. 计算：．
18. 解方程：．
19. 某单位名职工积极参加想贫困地区捐书活动，为了解职工的捐书两，采用随机抽样的方法抽取了名职工作为样本，对他们的涓蜀梁进行统计，统计结果共有本，本，本，本，本，五类，分别用，，，，表示，根据统计数据绘制成了如图所示不完整的条形统计图，用图中所给的信息解答下列问题：
    补全条形统计图；
    求这名职工捐书本书的平均数；
    估计该单位名职工共捐书多少本？

20. 如图所示，已知点，在▱的对角线上，且．
    求证：≌；
    连接，，求证：四边形是平行四边形．

21. 如图一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点．
    求，的值；
    连接，，求的面积．

22. 某超市销售一种饮料，平均每天可售出箱，每箱利润元．天气渐热，为了扩大销售，增加利润，超市准备适当降价．据测算，若每箱饮料每降价元，每天可多售出箱．针对这种饮料的销售情况，请解答以下问题：
    当每箱饮料降价元时，这种饮料每天销售获利多少元？
    在要求每箱饮料获利大于元的情况下，要使每天销售饮料获利元，问每箱应降价多少元？
23. 矩形的顶点，分别在，轴的正半轴上，点是边上的一个动点不与点，重合，过点的反比例函数的图象与边交于点，．
    如图，若．
    求反比例函数的表达式；
    将矩形折叠，使点与点重合，折痕分别与，轴交于点，，求线段的长度．
    如图，连接，，请用含的关系式表示的面积，并求的面积的最大值．
     

24. 在边长为的正方形中，点，分别是边，上的动点，且．
    如图，连接和交于点，求证：．
    如图，连接和交于点，连接，若点为的中点，求的长．
    如图，连接，，则的最小值为______．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：由题意得，，
解得．
故选：．
根据被开方数大于等于列式计算即可得解．
本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
 

2.【答案】 

【解析】解：选项A、、均不能找到这样的一个点，使形绕某一点旋转后原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
选项C能找到这样的一个点，使形绕某一点旋转后原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故选：．
把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称图形的概念求解．
本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
 

3.【答案】 

【解析】解：设反比例函数解析式为，
将代入，得：，
解得，
所以这个反比例函数解析式为，
故选：．
已知函数图象上一点的坐标求反比例函数解析式，可先设出解析式，再将点的坐标代入求出待定系数的值，从而得出答案．
本题主要考查待定系数法求反比例函数解析式，用待定系数法求反比例函数的解析式要注意：
设出含有待定系数的反比例函数解析式为常数，；
把已知条件自变量与函数的对应值带入解析式，得到待定系数的方程；
解方程，求出待定系数；
写出解析式．
 

4.【答案】 

【解析】解：、与不是同类二次根式，故不能合并，故A不符合题意．
B、原式，故B不符合题意．
C、原式，故C不符合题意．
D、原式，故D符合题意．
故选：．
根据二次根式的加减运算、二次根式的乘除法运算即可求出答案．
本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练运用二次根式的加减运算、乘除法运算，本题属于基础题型．
 

5.【答案】 

【解析】解：
移项，得：，
配方：，
即．
故选C．
配方法的一般步骤：
把常数项移到等号的右边；
把二次项的系数化为；
等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为，一次项的系数是的倍数．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了正方形的判定，平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，掌握这些判定定理是本题的关键．
根据平行四边形的判定，菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定依次判断可求解．
【解答】
解：、两组对边平行或两组对边相等或一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故选项A不合题意；
B、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故选项B符合题意；
C、对角线相等的平行四边形是矩形，故选项C不合题意；
D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故选项D不合题意；
故选：．  

7.【答案】 

【解析】解：、原来数据的平均数是，添加数字后平均数为，故不符合题意；
B、原来数据的中位数是，添加数字后中位数仍为，故符合题意；
C、原来数据的众数是，添加数字后众数为和，故不符合题意；
D、原来数据的方差，
添加数字后的方差，故方差发生了变化，故不符合题意；
故选：．
依据平均数、中位数、众数、方差的定义和公式求解即可．
本题主要考查的是众数、中位数、方差、平均数，熟练掌握相关概念和公式是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：依题意得：．
故选：．
利用现在生产一吨药的成本两年前生产一吨药的成本生产成本的年平均下降率，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：作交的延长线于，
反比例函数的图象经过，两点，点的横坐标为，
，
设菱形的边长为，
，
，
，
，
，
，舍去，
，
菱形的面积，
故选：．
作交的延长线于，根据反比例函数解析式求出的坐标，设菱形的边长为，易证得，即可得到，则点，求出，根据菱形的面积公式计算即可．
本题考查的是反比例函数的系数的几何意义、菱形的性质，根据反比例函数解析式求出的坐标，表示出点的坐标是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：如图，延长交的延长线于，连接，设，
四边形是平行四边形，
，
，
，，
≌，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
整理得：，
解得或舍去，
，
，
故选：．
延长交的延长线于，连接，设首先证明，利用勾股定理构建方程即可解决问题．
本题考查平行四边形的性质，线段的垂直平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
 

11.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数．就可以用平方差公式计算．结果是乘式中两项的平方差相同项的平方减去相反项的平方．
本题应用了平方差公式，使计算比利用多项式乘法法则要简单．
 

12.【答案】 

【解析】解：由内角和公式可得：．
故答案为：．
根据多边形内角和公式进行计算即可．
此题主要考查了多边形内角和公式，关键是熟练掌握计算公式：且为整数．
 

13.【答案】 

【解析】

【分析】
根据已知条件“一元二次方程有两个相等的实数根”可知根的判别式，据此可以求得的值．
本题考查了根的判别式．一元二次方程根的情况与判别式的关系：
方程有两个不相等的实数根；
方程有两个相等的实数根；
方程没有实数根．
【解答】
解：一元二次方程的二次项系数为，一次项系数为，常数项为，且一元二次方程有两个相等的实数根，
，
解得．
故答案是：．  

14.【答案】 

【解析】解：根据题意，数据，，，，的中位数为，
则有，
这组数据的平均数为，
则这组数据的方差，
故答案为：．
根据题意，由中位数的定义可得的值，计算出这组数据的平均数，再根据方差计算公式列式计算即可．
本题考查中位数和数据的方差计算，关键是由中位数的定义求出的值．
 

15.【答案】 

【解析】解：设，
则，，
，，
，
，
，
又，
，
，
，
，
故答案为：．
设，由，，则，，然后根据建立方程，得出的横坐标和纵坐标的关系，再根据在反比例函数，即可求出的坐标，代入即可求得的值．
本题考查了反比例函数图象的特征，关键是根据反比例函数图象上的点的横坐标纵坐标之积为常数列方程．
 

16.【答案】或 

【解析】解：分两种情况：
如图，在对角线上时，设四边形对角线和交于，过作于，

四边形为平行四边形，
，，
四边形是矩形，
，
，，
，
，
，
，
，
中，，
，，
设，则，
中，，
，
解得：舍或；
如图，在的延长线上时，过作于，

同理得：，，，
设，则，
中，，
，
解得：或舍；
综上，的长为或；
故答案为：或．
分两种情况：如图，在对角线上时，设四边形对角线和交于，过作于；如图，在的延长线上时，过作于；设，表示的长，先根据直角三角形度角的性质可得和的长，在直角三角形中列方程可得结论．
本题考查了矩形性质，平行四边形的判定，勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质，设未知数列方程是解决问题的关键．
 

17.【答案】解：原式． 

【解析】化简同时计算除法，再合并同类二次根式即可．
本题主要考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则和性质是解题的关键，混合运算时注意运算顺序．
 

18.【答案】解：      ，
，
   或，   
  ，   ． 

【解析】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握因式分解法解一元二次方程的步骤是解题的关键．属于基础题．
关键在于利用因式分解法解出方程．
 

19.【答案】解：捐类书的有人，
补全的条形统计图如右图所示；
本，
答：这名职工捐书本数的平均数为本；
本，
答：估计该单位名职工共捐书本． 

【解析】根据题目中的数据和条形统计图中的数据，可以计算出捐类书的人数，从而可以将条形统计图补充完整；
根据条形统计图中的数据，可以计算出平均数；
根据中的平均数，可以计算出该单位名职工共捐书多少本．
本题考查条形统计图、用样本估计总体、加权平均数，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．
 

20.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
在和中，
，
≌；
≌，
，，
，
，
四边形是平行四边形． 

【解析】由平行四边形的性质可知：，再利用已知条件和三角形全等的判定方法即可证明≌；
由可知≌，所以，进而可得，所以，根据平行四边形的判定定理即可得到结论．
本题考查了平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定和性质熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．
 

21.【答案】解：把代入中，得到，
反比例函数的解析式为，
把代入中，得到．
一次函数的图象过点和点．
，解得，
一次函数为，
令，则，解得，
，
． 

【解析】利用待定系数法即可解决问题；
利用待定系数法求得一次函数的解析式，即可求得直线与轴的交点，然后根据求得即可．
本题是一次函数与反比例函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形面积，解题的关键是灵活应用待定系数法确定函数解析式，属于中考常考题型．
 

22.【答案】解：每箱应降价元，依据题意得总获利为：，
当时，元；

要使每天销售饮料获利元，每箱应降价元，依据题意列方程得，
，
整理得，
解得，；
要求每箱饮料获利大于元，

答：每箱应降价元，可使每天销售饮料获利元． 

【解析】此题利用的数量关系：销售每箱饮料的利润销售总箱数销售总利润，由此列出算式后代入即可求解；
利用上题得到的算式进一步得到方程求解即可解答．
本题考查了一元二次方程的应用，此题考查最基本的数量关系是：销售每箱饮料的利润销售总箱数销售总利润．
 

23.【答案】解：，，
，，
，
，
反比例函数表达式为；
当时，，
，
，
设，则，，
由勾股定理得，
，
解得，
；
点、在反比例函数的图象上，
，
，
四边形的面积为，
，
当时，四边形的面积最大为． 

【解析】首先求出的长，从而得出点的坐标，即可得出的值；
利用反比例函数图象上点的坐标的特征求出的长，设，则，，利用勾股定理列方程，从而解决问题；
利用反比例函数图象上点的坐标的特征求出，再利用矩形面积减去和的面积，从而表示出四边形的面积，再利用配方法求出最大值．
本题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数图象上点的坐标的特征，翻折的性质，勾股定理，配方法求代数式的最值等知识，表示出四边形的面积是解题的关键．
 

24.【答案】 

【解析】证明：四边形是正方形，
，，
又，
≌，
，
，
，
，
；
解：延长，交的延长线于点，

由可知≌，
，
，
，
，，
≌，
，
四边形是正方形，
，
，
由知，
，
；
解：如图，连接，延长至，使，连接，，

≌，
，
，，，
≌，
，
，
当点，点，点三点共线时，有最小值为，
，，
，
的最小值为；
故答案为：．
由“”可证≌，可得，，可证；
延长，交的延长线于点，由可知≌，得出，证明≌，由全等三角形的性质得出，证出，则可得出答案；
连接，延长至，使，连接，，由“”可证≌，可得，则当点，点，点三点共线时，有最小值为，由勾股定理可求解．
本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解本题的关键．