精品解析：云南省临沧市民族中学2022-2023学年上学期高二第三次月考数学试题（解析版）

临沧市民族中学2022--2023学年上学期

高二年级第三次月考数学试卷

一、单选题（本题共8小题，每小麒5分，共40分.在每小题给出的四个选项中.只有一项是符合涅目要求的）

1. 复数的共轭复数为，则的虚部为（    ）

A. 1 B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】由共轭复数定义写出，再根据复数的概念得其虚部．

【详解】由已知，所以其虚部为1．

故选：A．

2. 已知集合，则中元素的个数为

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

【答案】C

【解析】

【分析】化简集合A，求出交集即可得到结果.

【详解】,，

,

元素个数为4个，

故选：C

【点睛】本题主要考查了分式不等式，集合的交集，属于容易题.

3. “幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间内的一个数来表示，该数越接近表示满意程度越高，现随机抽取位小区居民，他们的幸福感指数分别为、、、、、、、，则这组数据的第百分位数是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】本题可根据百分位数的计算方式得出结果.

【详解】该组数据从小到大排列依次是：、、、、、、、，

且，

则这组数据的第百分位数是，

故选：C.

4. 函数（且）的图象恒过定点P，点P又在幂函数的图象上，则的值为（    ）

A. 4 B. 8 C. 9 D. 16

【答案】C

【解析】

【分析】

先求出定点P的坐标，然后代入幂函数中，即可求出幂函数的解析式，进而可以求出的值.

【详解】∵，令得，

∴，

∴的图象恒过点，

设，把代入得，

∴，∴，∴.

故选：C.

【点睛】关键点点睛：对于指数型和对数型函数图象恒过定点问题，要熟练掌握指数函数、对数函数恒过定点问题，指数函数恒过定点，对数函数恒过定点，然后对于指数型函数和对数型函数，类比进行即可.

5. 今年6月初，某市采取了鼓励地摊经济的做法，该市各区的地摊的摊位数和食品摊位比例分别如图1、图2所示，现用分层抽样的方法抽取的摊位进行调查，则抽取的样本容量与A区被抽取的食品摊位数分别为（    ）

A. 210，24 B. 210，50 C. 1500，24 D. 1500，50

【答案】A

【解析】

【分析】根据题目条件直接求出样本容量与A区被抽取的食品摊位数.

【详解】样本容量为

A区被抽取的食品摊位数.

故选：A.

【点睛】本题考查分层抽样的知识点，属于基础题型.

6. 设是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在上且，则的面积为（    ）

A.  B. 3 C.  D. 2

【答案】B

【解析】

【分析】由是以P为直角直角三角形得到，再利用双曲线的定义得到，联立即可得到，代入中计算即可.

【详解】由已知，不妨设，

则，因为，

所以点在以为直径的圆上，

即是以P为直角顶点的直角三角形，

故，

即，又，

所以，

解得，所以

故选：B

【点晴】本题考查双曲线中焦点三角形面积的计算问题，涉及到双曲线的定义，考查学生的数学运算能力，是一道中档题.

7. 如果椭圆的离心率为，那么双曲线的离心率是 （ ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据椭圆的离心率求得的值，进而求得双曲线的离心率.

【详解】根据椭圆的离心率有，所以双曲线的离心率为，故选A.

【点睛】本小题主要考查椭圆的离心率和双曲线的离心率的计算公式，属于基础题.

8. 已知双曲线，分别为双曲线的左右焦点，为双曲线上一点，且位于第一象限，若三角形为锐角三角形，则的取值范围为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】因为位于第一象限，所以恒为锐角，由为锐角可得，，由为锐角得，利用平面向量积可得答案.

【详解】由得、，

因为位于第一象限，所以恒为锐角，

因为三角形为锐角三角形，所以为锐角，为锐角，

由为锐角得，所以，因为，所以，

由为锐角得，

所以，

所以，

所以，

又，所以，即，又，所以，

综上所述：.

故选：C.

【点睛】本题考查了双曲线的几何性质，考查了平面向量数量积，考查了运算求解能力，考查了锐角三角形的概念，属于基础题.

二、多选题（本题共4小题，共20分.全部选对得5分，部分选对得2分，有错选不得分）

9. 以下四个命题表述正确的是（    ）

A. 直线恒过定点

B. 已知直线过点，且在轴上截距相等，则直线的方程为

C. ，“直线与直线垂直”是“”必要不充分条件

D. 直线的距离为

【答案】ACD

【解析】

【分析】对于A，求出直线所过定点即可判断，对于B，漏掉了过原点的直线，对于C，两条直线垂直求出的值有2个，对于D，求出两条平行线的距离可判断.

【详解】对于A，，即，

直线恒过与的交点，解得，恒过定点，A正确；

对于B，直线过点，在轴上截距相等，当截距不为0时为，

截距为0时为，故B错误；

对于C，由题意，“直线与直线垂直”

则，解得或，

所以“直线与直线垂直”是“”的必要不充分条件，C正确；

对于D，直线的距离为，故D正确；

故选：ACD

10. 已知实数，满足方程，则下列说法错误的是（    ）

A. 直线被圆截得的弦长为 B. 的最大值

C. 的最大值为 D. 的最大值为

【答案】AB

【解析】

【分析】根据题意，利用点到直线的距离公式、两点之间的距离公式计算，将表示为圆上的点到原点的距离的平方，、分别表示直线、与圆有公共点，结合直线与圆的位置关系计算依次判断选项，即可求解.

【详解】A：实数，满足方程，
所以把看作是以为圆心，以为半径的圆；
由点到直线的距离公式得圆心到直线的距离，
于是弦长，故A错误；

B：原点到圆心的距离为，所以圆上的点到原点的距离的范围为，
所以，即，
所以的最大值为，故B错误．

C：令，则直线与圆有公共点，所以，，
解得，所以的最大值为．故C正确；

D：令，则直线与圆有公共点，所以，
解得，所以的最大值为．故D正确.

故选：AB.

11. 已知椭圆的左、右两个焦点分别为F1，F2，P为椭圆上一动点，M，则下列结论正确的有（    ）

A. 的周长为6 B. 的最大面积为

C. 存在点P使得 D. 的最大值为5

【答案】ABD

【解析】

【分析】对选项A，利用椭圆定义即可判断A正确；对选项B，根据，即可判断B正确；对选项C，根据以为圆心，的圆与椭圆不相交，即可判断C错误；对选项D，根据，即可判断D正确.

【详解】椭圆，，，，

对选项A，的周长，

故A正确.

对选项B，，故B正确；

对选项C，若存在点P使得，则，

即存在以为圆心，的圆与椭圆相交.

因为，即圆与椭圆不相交，所以不存在点P使得，故C错误；

对选项D，，故D正确.

故选：ABD

12. 如图，已知正方体的棱长为2，点M为的中点，点P为正方形上的动点，则（    ）

A. 满足MP//平面的点P的轨迹长度为

B. 满足的点P的轨迹长度为

C. 存在点P，使得平面AMP经过点B

D. 存在点P满足

【答案】AD

【解析】

【分析】利用线面平行的判定定理可以证得点的轨迹，进而判断A；建立空间直角坐标系，得到，，为正方形上的点，可设，且，，进而对BCD各个选项进行计算验证即可判断并得到答案.

【详解】对于A，取的中点，的中点，又点为的中点，

由正方体性质知，，，，

所以平面平面，又平面，平面，

故点的轨迹为线段，故A正确；

对B，方法一：在平面中过作，交于，设，

则，，，

由，可解得，

同理，在平面中过作，交于，可得，

因为，所以平面，

因为，所以平面，所以点P的轨迹为线段，长度为，故B不正确；

方法二：以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，

则，，设，且，，

，，

，即，

又，，则点的轨迹为线段，,

且，故B错误；

对于C，方法一：取中点，连接，正方体中，易得，所以平面截正方体的截面为平面，显然平面，故不存在点P，使得平面AMP经过点B，故C错误；

方法二：设，且，，

若平面AMP经过点B，则，且，

又,

所以，即，

因此，从而，不合题意，所以不存在点P，使得平面AMP经过点B,故C错误；

对于D，方法一：延长至，令，则，

所以，

因为，所以存在点满足，故D正确.

方法二：点关于平面的对称点的为，三点共线时线段和最短，

故，故存在点满足，故D正确.

故选：AD.

三、填空题（本愿共计4小恩，每题5分，共20分）

13. 已知，，则______.

【答案】

【解析】

【分析】

先由同角三角函数的关系求出的值，然后求出的值，由正切的二倍角公式可得答案.

【详解】已知，,则，所以

故答案为：

14. 已知直线：，：.当时，___________.

【答案】

【解析】

【分析】根据直线方程一般式中平行满足的系数关系即可列方程组求解.

【详解】当时，则需满足，解得，

故答案为：

15. 甲､乙两位同学进行羽毛球赛，采取三局两胜制.设甲每一局获胜的概率为，乙每一局获胜的概率为，且甲已获得第一局胜利.求甲获得最终比赛胜利的概率为________.

【答案】

【解析】

【分析】直接法：分成甲胜第二局直接取胜和乙胜第二局甲胜第三局两种情况，由此可求出结论；

间接法：求出乙获胜的概率，再根据对立事件的概率公式求解即可．

【详解】解：直接法：分成甲胜第二局直接取胜和乙胜第二局甲胜第三局两种情况，

甲胜第二局概率为：，乙胜第二局甲胜第三局概率为，

∴甲获胜概率为：；

间接法：乙获胜概率为，所以甲获胜概率为；

故答案为：．

16. 已知焦点为，的双曲线的离心率为，点为上一点，且满足，若的面积为，则双曲线的实轴长为________

【答案】

【解析】

【分析】由和双曲线定义可得，再结合余弦定理和可得，利用面积公式可解得，即得解.

【详解】由题意，

由双曲线定义可知，

又

又

又

故双曲线的实轴长为

故答案为：.

四、解答愿（本题共6小题，共0分.第17题10分，其余每题12分）

17. 已知的三个顶点的坐标分别为，，.

（1）求边上中线所在直线的方程；

（2）求边上高所在直线的方程.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】（1）求得中点坐标后可得中线斜率，由点斜式可得直线方程；

（2）根据垂直关系可求得，由点斜式可得直线方程.

【详解】（1）中点为，，

直线方程为：，即；

（2），，

直线方程为：，即.

18. 的内角的对边分别为，已知．

（1）求；

（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．

【答案】(1) ;(2).

【解析】

【分析】(1)利用正弦定理化简题中等式，得到关于B的三角方程，最后根据A,B,C均为三角形内角解得.

(2)根据三角形面积公式，又根据正弦定理和得到关于的函数，由于是锐角三角形，所以利用三个内角都小于来计算的定义域，最后求解的值域.

【详解】(1)

[方法一]【最优解：利用三角形内角和为结合正弦定理求角度】

由三角形的内角和定理得，

此时就变为．

由诱导公式得，所以．

在中，由正弦定理知，

此时就有，即，

再由二倍角的正弦公式得，解得．

[方法二]【利用正弦定理解方程求得的值可得的值】

由解法1得，

两边平方得，即．

又，即，所以，

进一步整理得，

解得，因此．

[方法三]【利用正弦定理结合三角形内角和为求得的比例关系】

根据题意，由正弦定理得，

因为，故，

消去得．

，，因为故或者，

而根据题意，故不成立，所以，

又因为，代入得，所以.

(2)

[方法一]【最优解：利用锐角三角形求得C的范围，然后由面积函数求面积的取值范围】

因为是锐角三角形，又，所以，

则．

因为，所以，则，

从而，故面积的取值范围是．

[方法二]【由题意求得边的取值范围，然后结合面积公式求面积的取值范围】

由题设及（1）知的面积．

因为为锐角三角形，且，

所以即

又由余弦定理得，所以即，

所以，故面积的取值范围是．

[方法三]【数形结合，利用极限的思想求解三角形面积的取值范围】

如图1，在中，过点A作，垂足为，作与交于点．

由题设及（1）知的面积，因为为锐角三角形，且，

所以点C位于在线段上且不含端点，从而，

即，即，所以，

故面积的取值范围是．

【整体点评】(1)方法一：正弦定理是解三角形的核心定理，与三角形内角和相结合是常用的方法；

方法二：方程思想是解题的关键，解三角形的问题可以利用余弦值确定角度值；

方法三：由正弦定理结合角度关系可得内角的比例关系，从而确定角的大小.

(2)方法一：由题意结合角度的范围求解面积的范围是常规的做法；

方法二：将面积问题转化为边长的问题，然后求解边长的范围可得面积的范围；

方法三：极限思想和数形结合体现了思维的灵活性，要求学生对几何有深刻的认识和灵活的应用.

19. 某新能源汽车制造公司，为鼓励消费者购买其生产的新能源汽车，约定从今年元月开始，凡购买一辆该品牌汽车，在行驶三年后，公司将给予适当金额的购车补贴．某调研机构对已购买该品牌汽车的消费者，就购车补贴金额的心理预期值进行了抽样调查，得其样本频率分布直方图如图所示．

（1）求实数的值；

（2）估计已购买该品牌汽车的消费群体对购车补贴金额的心理预期值的平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）和中位数；（精确到0.01）

（3）现在要从购车补贴金额的心理预期值在间用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行调查，求抽到2人中购车补贴金额的心理预期值都在间的概率．

【答案】（1）；   

（2）平均数的估计值为3.5万元，中位数的估计值为3.33万元；   

（3）

【解析】

【分析】（1）由频率分布直方图所有频率和为1可求得；

（2）利用频率分布直方图中每组数据区间的中点值乘以相应频率相加可求得平均数，判断中位数对应的区间，求出频率0.5对应的值即为中位数；

（3）先算出从购车补贴金额的心理预期值在 的6人中，在 间的有4人，然后根据列举法列出所有可能的基本事件15种，选出都在预期值间的情况6种，利用古典概型公式计算即可。

【小问1详解】

由题意知，，解得．

【小问2详解】

平均数的估计值为

万元

因为，则中位数在区间（3，4）内．

设中位数为，则，

得，所以中位数的估计值为3.33万元．

【小问3详解】

从购车补贴金额的心理预期值在[3，5）间用分层抽样的方法抽取6人，则购车补贴金额的心理预期值在[3，4）间的有4人，记为a，b，c，d，购车补贴金额的心理预期值在[4，5）间的有2人，记为A，B，则基本事件有（a，b），（a，c），（a，d），（a，A），（a，B），（b，c），（b，d），（b，A），（b，B），（c，d），（c，A），（c，B）（d，A），（d，B），（A，B），共15种情况．

其中购车补贴金额心理预期值都在[3，4）间有（a，b），（a，c），（a，d），（b，c），（b，d），（c，d），共6种情况，所以抽到2人中购车补贴金额的心理预期值都在[3，4）间的概率．

20. 已知圆：.

（1）若直线与交于A，两点，线段的中点为，求；

（2）已知点的坐标为，求过点的圆的切线的方程.

【答案】（1）   

（2）或

【解析】

【分析】（1）根据运算求解；

（2）根据直线与圆相切可得，结合点到直线的距离公式运算求解，注意讨论直线l的斜率是否存在.

【小问1详解】

：的圆心，半径

设线段的中点为，则

∴.

【小问2详解】

当的斜率不存在时，则：，圆心到直线的距离为，即与圆相切，

∴符合题意；

当的斜率存在时，设为，则直线：，即

由题意可得：，解得，

∴直线：；

综上所述：的方程为或.

21. 如图，在四棱锥中，平面，且，为的中点.

（1）求证：平面；

（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值；

（3）在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

【答案】（1）见解析    （2）   

（3）存在，且.

【解析】

【分析】（1）过作于，以为原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量和直线的向量，从而可证明线面平行.

（2）求出平面的法向量，利用向量求夹角公式解得.

（3）令，，设，求出，结合已知条件可列出关于方程，从而可求出的值.

【小问1详解】

过作，垂足为，则，

如图，以为坐标原点，分别以，，为轴建立空间直角坐标系，

则，，， ，，，

为的中点，，则，

设平面的一个法向量为，，，

则，令，解得：.

，即，

又平面，所以平面．

【小问2详解】

设平面的一个法向量为，，，

所以，令，解得.

所以.

即平面与平面所成锐二面角的余弦值为.

【小问3详解】

假设线段上存在一点，设，，.

，，则

又直线与平面所成角的正弦值为，平面的一个法向量

，

化简得，即，

，，故存在，且.

22. 已知的上顶点到右顶点的距离为，离心率为，右焦点为F，过点F的直线（不与x轴重合）与椭圆C相交于A、B两点，直线与x轴相交于点H，过点A作，垂足为D．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）①求四边形OAHB（O为坐标原点）面积的取值范围；

②证明直线BD过定点E，并求出点E的坐标．

【答案】（1）   

（2）①；②证明见解析，

【解析】

【分析】（1）根据椭圆的性质，可得上顶点与右顶点的坐标，由离心率与三参数之间的关系，可得方程，进而解得答案；

（2）①设过定点的直线方程，联立方程，消元整理一元二次方程，写出韦达定理，将四边形分割成两个顶底的三角形，根据面积公式，可得答案；②由题意设出两点，整理出直线方程，由①中的直线与韦达定理，进行等量代还，可得答案.

【小问1详解】

由题可知：，所以，，

故椭圆的标准方程为；

【小问2详解】

①由题，设直线，，，

联立，消去x，得，

因为，，，

则

所以四边形OAHB的面积，

令，∴，∴

因为（当且仅当即时取等号），所以，

所以四边形OAHB的面积取值范围为；

②∵，，所以直线BD的斜率，

所以直线BD的方程为，

令，可得，①

由（1）可得，，∴

化简①可得

则直线BD过定点．